Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Chủ đề 15: Giới hạn của hàm số

Chủ đề 15: giới hạn của hàm số I/ Kiến thức cơ bản. a.Giới hạn hữu hạn. Giả sử là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên khoảng . Khi đó nếu trong tập hợp mà ,ta đều có . b.Giới hạn vô cực. nếu dãy mà , ta đều có . 2.Giới hạn hàm số tại vô cực. +/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến nếu với mọi dãy trong khoảng mà ,ta đều có . Ta viết . 2.Một số định lý về giới hạn. Định lý 1: Giả sử . Khi đó: a/ b/ c/ d/. Định lý 2: Giả sử , khi đó: a/. b/ . c/ Nếu ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm thì . 4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng .Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến (hoặc tại điểm ),nếu với mỗi dãy trong khoảng mà ,ta đều có . Ta viết . +/ Định nghĩa tương tự cho . +/ Hàm số có giới hạn tại và tồn tại , và . Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. +/ Nếu thì . +/ Quy tắc 1. Nếu ,thì cho bởi bảng sau: Dấu của L Quy tắc 2: và , trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm ,thì cho bởi bảng sau: Dấu của L Dấu của f(x) 6. Một số dạng vô định Dạng : Cách khử : +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. Dạng : +/ Chia cả tử và mẫu cho ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử rồi giản ước). +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x. Dạng và dạng : +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức. II. Kĩ năng cơ bản. Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số. III. Một số ví dụ: A.Ví dụ tự luận: Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính . Giải : +/ Hàm số xác định trên . +/ Giả sử là dãy số tùy ý mà . Khi đó +/ Vậy . Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính . Giải : +/ Hàm số xác định trên . +/ Giả sử là dãy số tùy ý mà . Khi đó +/ Vậy . Ví dụ 3: Tính 1/ 2/. Giải : 1/ Ta có : . 2/ Ta có : . Lưu ý : Do nên . Ví dụ 3: Cho hàm số . Tính . Giải : +/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập . +/ . +/ . +/ Do nên . Ví dụ 4: Tính 1/ 3/ 2/ . Giải : 1/ Ta có . Ví dụ 5: Tính 1/ 2/ 2/ 4/ . Giải : 2/ Ta có 4/ Ta có . Mặt khác Vậy . Ví dụ 6: Tính Giải: B. Ví dụ trắc nghiệm. Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau: Ví dụ 7: bằng: A.0 B. C. D.2 Ví dụ 8 : bằng: A.1 B.0 C. D. Ví dụ 9: bằng: A.2 B.4 C. D. Ví dụ 10: bằng: A. B. 2 C.1 D.2 Ví dụ 11: Cho hàm số Khi đó bằng A.1 B.2 C.không tồn tại D.3 Ví dụ 12: bằng: A.2 B.0 C.1 D. Ví dụ 13: bằng: A.1 B.1,5 C.3 D.3,5 Ví dụ 14: bằng: A. B. C.1 D.0 Ví dụ 15: bằng: A. B. C.1 D.2 Đáp án: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 B C D C D A C C D II.Bài tập A.Bài tập tự luận Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn. . HD: +/ Xem lại ví dụ 1. +/ Đ/S: 1/ 2/ 1 . Bài 2 : Tính HD : 1/ Để ý: 2/ Để ý: Bài 3: Tìm a để hàm số Có giới hạn khi x dần đến 2. HD: +/ Phải có . +/ Vậy với thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2. . Bài 4: Tính HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5. Đ/S: 1/ 2/ 3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi Nên giới hạn cần tính bằng: 4/ Để rút gọn ta biến đổi: Như vậy giới hạn cần tính bằng Bài 5:Tính HD: 1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng 2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử. +/ Đáp số . 3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu. +/ Đáp số: 1 4/ +/ Biến đổi: +/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng . Bài 6 :Tính HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6. Đ/S: 1/ 5 2/ 3/ 4/ 0 5/ 6/ 7/ 1 8/ 2 Bài 7: Tính giới hạn sau theo a. HD: 1/ Ta có +/ Trường hợp 1: +/ Trường hợp 2: . +/ Vậy . 2/ Ta có: . +/ Trường hợp 1: . +/ Trường hợp 2: +/ Trường hợp 3: . Vậy B.Bài tập trắc nghiệm. Bài 1). Giới hạn bằng : A). 3. B). 2. C). 1. D). . Bài 2). Giới hạn bằng : A). 3. B). 1. C). 6. D). 2,5. Bài 3). Giới hạn bằng : A). B). C). D). Bài 4). Giới hạn bằng : A). . B). 1 C). 0. D). . Bài 5). Giới hạn bằng : A). . B). 2. C). . D). 4. Bài 6). Giới hạn bằng : A). B). C). D). Bài 7). Giới hạn bằng : A). 2. B). 3. C). . D). . Bài 8). Giới hạn bằng : A). . B). . C). . D). . Bài 9). Giới hạn bằng : A). . B). . C). . D). . Bài 10). Giới hạn bằng : A). 3. B). 11. C). 14. D). 13. Bài 11). Giới hạn bằng : A). 8. B). 4. C). 0. D). 2. Bài 12). Giới hạn bằng : A). 12. B). 6. C). 4. D). 8. Bài 13). Giới hạn bằng : A). B). C). D). Bài 14). Giới hạn bằng : A). - 2. B). 2. C). . D). 4. Bài 15). Giới hạn bằng : A). . B). . C). . D). . Bài 16). Giới hạn bằng : A). B). C). 0. D). Đáp án: Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Bài 7 Bài 8 B B D C C B D D Bài 9 Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16 B B B A B B D C