Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Tiết 23: Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản

Chương ii Tổ hợp và xác suất Trong khoa học cũng như trong đời sống, chúng ta thường phải xác định số phân tử của một tập hợp hoặc phải tính toán xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên là bao nhiêu. Các kiến thức về tổ hợp và xác suất trong chương này sẽ bước đầu giúp chúng ta giải được một số bài toán đơn giản thuộc loại đó. tổ hợp tiết 23: Đ 1. Hai quy tắc đếm cơ bản i. mục đích - yêu cầu a) Về kiến thức: Sau khi học xong bài này học sinh thực hiện được các công việc sau: - Phát biểu được quy tắc cộng. - Phát biểu được quy tắc nhân. b) Về kĩ năng: Học sinh rèn luyện được kĩ năng vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân vào giải các bài toán liên quan. ii. chuẩn bị - Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập. - Học sinh làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. III. Gợi ý phương pháp: Gợi mở ,vấn đáp IV. tiến trình lên lớp 1. ổn định tổ chức: 2.Bài mới: Hoạt động 1: Tìm hiểu về quy tắc cộng Phiếu học tập số 1 + Nội dung quy tắc cộng? + áp dụng để giải bài tập: Hãy viết một mật khẩu có 6 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số (trong số 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái) và mật khẩu phải có ít nhất là một chữ số. Hoạt động của thầy - trò Nội dung KT - Giáo viên phát phiếu học tập số 1 cho học sinh để học sinh thực hiện. - Giáo viên hỏi học sinh: Có thể liệt kê hết các mật khẩu được không ? Hãy ước đoán thử xem có thể viết được bao nhiêu mật khẩu khác nhau? - Giáo viên đặt vấn đề: Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta hai quy tắc đếm cơ bản nhờ đó có thể tính chính xác số phần tử của một tập hợp mà không cần đếm trực tiếp. Sau đó một số học sinh đứng dậy đọc mật khẩu của mình và viết lên bảng. - Học sinh suy nghĩ và trả lời (rất nhiều- nhưng đếm trực tiếp lâu quá) - Giáo viên phân tích ví dụ 1 ở sách giáo khoa, từ đó đưa ra quy tắc cộng. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. - Giáo viên phân tích ví dụ 2 ở sách giáo khoa. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. 1. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc được thực hiện bởi n + m cách. - Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau: Giả sử một công việc có thể được thực hiện trong k phương án A1, A2 Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + + nk cách. - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi H2. + Cá nhân học sinh suy nghĩ, trả lời + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. H2: Trong một cuộc thi tìm hiểu lịch sử Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hoá. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? Giải: Theo quy tắc cộng, ta có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 khả năng lựa chọn đề tài. - Giáo viên lưu ý học sinh Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. Chú ý: - Số phân tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là ẵXẵ hoặc n(X)). - Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A ẩ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là: ẵAẩBẵ=ẵAẵ+ẵBẵ. Hoạt động 2: Tìm hiểu về quy tắc nhân Phiếu học tập số 2 + Nội dung của quy tắc nhân? + áp dụng giải bài tập: Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ 6 chữ số đó? A. 36 B. 120 C. 256 D. 216 Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên phân tích ví dụ 3 ở sách giáo khoa, từ đó đưa ra quy tắc nhân. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. 2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n m cách. - Giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng quy tắc nhân để trả lời câu hỏi H3. + Cá nhân học sinh suy nghĩ, trả lời + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. H3: Nhãn của một chiếc ghế trong mội hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái), phần hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau? Giải áp dụng quy tắc nhân, ta có 24.25 = 600 chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau. - Giáo viên định hướng học sinh đưa ra quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn. + Học sinh thảo luận theo nhóm dưới sự định hướng của giáo viên, rút ra quy tắc nhân. + Giáo viên thể chế, hợp thức hoá kiến thức. - Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, A2 có thể thực hiện theo n2 cách, Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 nk cách. - Giáo viên định hướng để học sinh làm bài tập ở ví dụ 4 và thú dụ 5 của sách giáo khoa. + Cá nhân học sinh thực hiện theo định hướng của giáo viên. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. Ví dụ 5: Trở lại bài toán mở đầu. Hãy tính xem: a) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự, mỗi kí tự hoặc là 1 chữ cái (trong bảng 24 chữ cái) hoặc là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9). b) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự nói ở câu a) không phải là mật khẩu. c) Có thể lập được nhiều nhất bao nhiêu mật khẩu? - Giáo viên yêu cầu học sinh hoàn thành phiếu học tập số 2. + Cá nhân học sinh suy nghĩ và hoàn thành phiếu học tập số 2. + Giáo viên nhận xét, hợp thức hoá kiến thức. Ví dụ 4: Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự , trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái), kí tự ở vị trí thứ 2 là một chữ số thuộc tập {1, 2, ,9}, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0, 1, 2, ,9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau? Đáp số Theo quy tắc nhân ta có: 27 . 9 . 10 . 10 . 10 . 10 = 2.160.000 (biển số xe) Đáp số Ví dụ 5 a) 346 b) 246 c) 346 - 246 Kết quả phiếu học tập số 2 Có 6.5.4 = 120 số iv. củng cố – luyện tập - Yêu cầu học sinh nhắc lại nội dung của quy tắc cộng và quy tắc nhân. - Dùng bài tập 1, 2, 3 trang 54 sách giáo khoa để củng cố. v. hướng dẫn bài tập về nhà - Ôn tập các quy tắc cộng và quy tắc nhân. - Giải các bài tập còn lại trong sách giáo khoa (thuộc phần này). iết 24,25,26: Đ2. hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp i. mục đích - yêu cầu a) Về kiến thức: Sau khi học xong bài này học sinh thực hiện được các công việc sau: - Phát biểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. - Viết được biểu thức tính số các hoán vị, số các chỉnh hợp và số các tổ hợp. - Viết được biểu thức biểu diễn hai tính chất cơ bản của Cnk. b) Về kĩ năng: Học sinh rèn luyện được kĩ năng vận dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán liên quan. ii. chuẩn bị - Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập. - Học sinh làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. III. Gợi ý phương pháp: Gợi mở ,vấn đáp IV. tiến trình lên lớp tiết 24 1. ổn định tổ chức: 2. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Phát biểu hai quy tắc đếm cơ bản. Chữa bài tập về nhà 2 h/s lên bảng làm theo yêu cầu của GV 3. Bài mới : Hoạt động 1: Nghiên cứu phép hoán vị Phiếu học tập số 1 + Thế nào là phép hoán vị? + áp dụng phép hoán vị làm bài tập. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn Sơn, Thái, Trâm vào 3 chiếc ghế? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên phân tích ví dụ 1 ở sách giáo khoa, từ đó đưa ra khái niệm hoán vị. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. 1. Hoán vị: a) Hoán vị là gì? Cho tập hợp A có n (n ³1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi H1. + Cá nhân học sinh suy nghĩ, trả lời. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. H1. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Hãy viết 8 hoán vị của A. - Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời phiếu học tập số 1. + Có những cách nào để giải? + Hãy liệt kê để tìm số cách sắp xếp. + Có thể sử dụng cách khác, đó là sử dụng quy tắc nhân. Mỗi cách sắp xếp được thực hiện theo bao nhiêu công đoạn? + Công đoạn 1 là gì? Có bao nhiêu cách thực hiện? + Công đoạn 2 là gì? Có bao nhiêu cách thực hiện? + Công đoạn 3 là gì? Có bao nhiêu cách thực hiện? + Theo quy tắc nhân, chúng ta tính được bao nhiêu cách sắp xếp? - Cá nhân học sinh suy nghĩ, thực hiện theo sự định hướng của giáo viên. - Giáo viên hỏi học sinh: có bao nhiêu cách sắp xếp n bạn vào n bàn ghế? Giáo viên định hướng: + Công việc gồm bao nhiêu giai đoạn? + Công đoạn 1 có bao nhiêu cách thực hiện? + Công đoạn 2 có bao nhiêu cách thực hiện? .. + Công đoạn n có bao nhiêu cách thực hiện? + Theo quy tắc nhân, có bao nhiêu cách sắp xếp? - Giáo viên thể chế hoá, rút ra định lí về số tổ hợp. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi H2. + Cá nhân học sinh thực hiện. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. b) Số hoán vị Phiếu học tập số 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn Sơn, Thái, Trâm vào 3 ghế? Giải: Cách 1: Liệt kê Sơn - Thái - Trâm Sơn - Trâm - Thái Thái - Sơn - Trâm Thái - Trâm - Sơn Trâm - Sơn - Thái Trâm - Thái - Sơn Như vậy có 6 cách sắp xếp Cách 2: Mỗi cách sắp xếp được thực hiện qua 3 công đoạn sau: Công đoạn 1: Xếp một bạn vào ghế thứ nhất, có 3 cách. Công đoạn 2: Xếp một trong 2 bạn còn lại vào ghế thứ 2, có 2 cách. Công đoạn 3: Xếp bạn còn lại vào ghế thứ 3, có 1 cách. Vậy theo quy tắc nhân có 3.2.1 = 6 cách sắp xếp. định lí: Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n. (n - 1).(n - 2)1 H2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được tất cả bao nhiêu sô tự nhiên có năm chữ số khác nhau? Kết quả Có 5! = 120 số iv. củng cố – luyện tập - Yêu cầu học sinh nhắc lại nội dung của định nghĩa hoán vị, nêu số hoán vị - Dùng bài tập 5 trang 62 sách giáo khoa để củng cố. v. hướng dẫn bài tập về nhà - Ôn tập các quy tắc cộng và quy tắc nhân. định nghĩa hoán vị, nêu số hoán vị. - Giải các bài tập 10,11 trong sách bài tập (thuộc phần này). tiết 25 1. ổn định tổ chức: 2. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Phát biểu định nghĩa hoán vị, nêu số hoán vị . Chữa bài tập về nhà 2 h/s lên bảng làm theo yêu cầu của GV 3. Bài mới Hoạt động 2: Nghiên cứu phép chỉnh hợp Phiếu học tập số 2 + Thế nào là phép chỉnh hợp? + Dùng phép chỉnh hợp để trả lời yêu cầu sau: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 Ê k Ê n. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự k phần tử của A? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên phân tích ví dụ 3 ở sách giáo khoa, từ đó đưa ra khái niệm chỉnh hợp. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. 2. Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp là gì? Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 Ê k Ê n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi H3. + Cá nhân học sinh thực hiện. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập 2 của A. Giải ab, ba, ac, ca, bc, cb. - Giáo viên học sinh: Hai chỉnh hợp khác nhau khi nào? + Học sinh suy nghĩ và trả lời + Giáo viên nhận xét. Nhận xét Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi: hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này mà không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. - Giáo viên định hướng học sinh giải ví dụ 4 ở SGK. Giáo viên định hướng: + Huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn cầu thủ để đá quả đầu tiên? + Huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn cầu thủ để đá quả thứ 2? + Huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn cầu thủ để đá quả thứ 5? + Theo quy tắc nhân, có bao nhiêu cách lập danh sách 5 cầu thủ? - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi ở phiếu học tập số 2. + Học sinh thảo luận theo nhóm, trả lời. + Giáo viên nhận xét, thể chế hoá kiến thức và rút ra định lí về cách tính số chỉnh hợp. b) Số các chỉnh hợp Ví dụ 4: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách 5 cầu thủ. Kết quả: Có: 11.10.9.8.7 = 55440 cách lập danh sách. định lí Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 Ê k Ê n) là: Ank = n(n – 1)(n – 2) (n – k + 1) (1) - Giáo viên hỏi học sinh: mối quan hệ giữa chỉnh hợp và hoán vị? + Học sinh suy nghĩ, trả lời. + Giáo viên nhận xét. Nhận xét: Từ định nghĩa ta thất một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên: Ann = Pn = n! - Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập ở ví dụ 5. + Cá nhân học sinh thực hiện. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp này? Kết quả Số vectơ cần tìm là - Giáo viên lưu ý học sinh Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. Chú ý: - Với 0<k<n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng: (2) - Ta quy ước: 0! = 1 và Khi đó công thức 2 đúng cho cả k = 0 và k = n. Vậy công thức (2) đúng với 0 Ê k Ê n. iv. củng cố – luyện tập - Yêu cầu học sinh nhắc lại nội dung của chỉnh hợp - Dùng bài tập 6 trang 62 sách giáo khoa để củng cố. v. hướng dẫn bài tập về nhà - Ôn tập các quy tắc cộng và quy tắc nhân. định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, nêu số hoán vị, chỉnh hợp, - Giải các bài tập còn lại trong sách giáo khoa (thuộc phần này). tiết 26 1. ổn định tổ chức: Lớp Có mặt Ngày dạy 11 2. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Phát biểu định nghĩa chỉnh hợp, nêu số chỉnh hợp . Chữa bài tập về nhà 2 h/s lên bảng làm theo yêu cầu của GV Hoạt động 3: Nghiên cứu phép tổ hợp Phiếu học tập số 3 + Thế nào là phép tổ hợp? + áp dụng phép tổ hợp để giải bài toán sau: Trong một lớp chuyên Toán chỉ có 4 bạn học sinh nữ: Hảo, Thuỷ, Kim, Quỳnh. Thầy Hiệu trưởng cần cử 2 bạn đi tham gia cuộc thi “Nữ công gia chánh” do nhà trường tổ chức vào dịp 8/3. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách để lựa chọn? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên phân tích thí dụ ở phiếu học tập số 3, lưu ý với học sinh rằng: Mỗi cách chọn như vậy, không phân biệt thứ tự là một tổ hợp chập 2 của 4 học sinh. - Từ đó giáo viên đưa ra khái niệm tổ hợp. - Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi ở phiếu học tập số 3. + Cá nhân học sinh suy nghĩ, trả lời. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. 3. Tổ hợp: a) Tổ hợp là gì? Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 0 Ê k Ê n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự. Cách 1: Liệt kê: Hảo và Thuỷ, Hảo và Kim, Hảo và Quỳnh, Thuỷ và Kim, Thuỷ và Quỳnh, Kim và Quỳnh. Như vậy có 6 cách để lựa chọn. Cách 2 - Mỗi cặp sắp xếp thứ tự 2 bạn được chọn ra trong 4 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 4. Do đó có cặp sắp thứ tự. - Tuy nhiên, ở đây không có sự phân biệt về thứ tự của 2 bạn được chọn, vì vậy số cách chọn cần tìm là: - Giáo viên định hướng cho học sinh rút ra công thức tính số các tổ hợp: + Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự k phần tử từ n phần tử khác nhau? + ứng với mỗi tổ hợp chập k cảu n có bao nhiêu cách sắp thứ tự k phần tử đã được chọn? + Như vậy số tổ hợp liên hệ như thế nào với số chỉnh hợp? + Giáo viên thể chế hoá, đưa ta định lí. - Giáo viên lưu ý học sinh Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. b) Số các tổ hợp Định lí 3: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (0 Ê k Ê n) là: (3) Chú ý: - Với 0 Ê k Ê n ta có thể viết công thức (3) dưới dạng: (4) - Ta có quy ước: . Khi đó công thức (4) đúng cho cả k = 0. Vậy công thức (3) đúng với 0 Ê k Ê n - Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập ở ví dụ 6 và ví dụ 7 sách giáo khoa. + Cá nhân học sinh suy nghĩ, tiến hành giải. + Giáo viên kiểm tra, nhận xét Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P? Đáp số Có: tam giác Ví dụ 7. Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” của Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Đáp số Có: cách chọn. Hoạt động 4: Nghiên cứu hai tính chất cơ bản của số Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên thông báo công thức biểu diễn các tính chất của . Yêu cầu học sinh chứng minh. 4. Hai tính chất cơ bản của số a) Tính chất 1 Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 Ê k Ê n. Khi đó Chứng minh Ta có Do đó b) Tính chất 2 (hăng đẳng thức Paxcan): Cho các số nguyên n và k với 0 Ê k Ê n. Khi đó Chứng minh Ta có: Vậy: iv. củng cố – luyện tập - Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Biểu thức tính số các hoán vị, số các chỉnh hợp và số các tổ hợp. - Giáo viên nhắc lại hai tính chất cơ bản của . v. hướng dẫn bài tập về nhà - Ôn tập lại lý thuyết đã học. - Làm tất cả các bài tập 7, 8 ,13,14 trong sách giáo khoa (thuộc phần này). tiết 27-Đ3. Nhị thức NIU – Tơn i. mục đích – yêu cầu a) Về kiến thức: Sau khi học xong bài này học sinh thực hiện được các công việc sau: - Viết được biểu thức biểu diễn nhị thức Niu-tơn, từ đó rút ra số hạng tổng quát của nó. - Nêu lên được quy luật của tam giác Paxcan. b) Về kĩ năng: Học sinh rèn luyện được kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài tập liên quan. Đặc biệt là dạng bài tập tìm hệ số trong khai triển một đa thức nào đó. ii. chuẩn bị - Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập. - Học sinh làm bài tập của bài tập cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. iii. nội dung và tiến trình lên lớp 1. ổn định tổ chức: Lớp Có mặt Ngày dạy 11 2. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Phát biểu định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nêu số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . Chữa bài tập về nhà 2 h/s lên bảng làm theo yêu cầu của GV Bài mới: Hoạt động 1: Công thức nhị thức Niu-tơn Phiếu học tập số 1 + Nhị thức Niu-tơn? + áp dụng nhị thức Niu-tơn để giải bài tập Cho (1 + 2x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn. trong đó a0 + a1 + a2 + + an = 729. Tìm n và số hạng thứ 5? A. n = 7; 560x4 B. n= 6; 60x4 C. n = 6; 240x4 D. n = 7; 280x4 Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên yêu cầu học sinh khai triển biểu thức (a + b)4 + Cá nhân học sinh thực hiện + Giáo viên kiểm tra, nhận xét - Giáo viên tổng quát hoá công thức khai triển. 1. Công thức nhị thức Niu-tơn Ví dụ: (a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = Tổng quát, người ta chứng minh được: (1) - Giáo viên lưu ý một số vấn đê về nhị thức Niu-tơn. Học sinh tiếp thu, ghi nhớ. Chú ý: 1) Số hạng tử trong (1) là n +1 2) Trong vế phải của (1), số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. 3) Số hạng thứ k trong (1) là 4) Số hạng tổng quát trong khai triển là: (Số hạng thứ k + 1) - Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài tập ở ví dụ 1, ví dụ 2. - Học sinh thực hiện dưới sự định hướng, giúp đỡ của giáo viên Ví dụ 1: Tính hệ số của x12y13 trong khai triển (x + y)25. Giải Theo công thức nhị thức Niu-tơn, hệ số này là: Ví dụ 2: Tính hệ số của x3 trong khai triển (3x – 4)5. Giải Theo nhị thức Niu-tơn, số hạng chứa x3 là . Vậy hệ số của x3 là 10.33. (-4)2 = 4320. - Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi H1. + Học sinh suy nghĩ, trả lời + Giáo viên kiểm tra, nhận xét - Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập ở ví dụ 3 + Học sinh tiến hành giải + Giáo viên kiểm tra, nhận xét. H1. Tính hệ số của x2 trong khai triển (3x – 4)5. Giải Theo nhị thức Niu-tơn, số hạng chứa x2 là 10.33. (-4)3 = 5760. Ví dụ 3: Khai triển ( x- 2)6 thành đa thức bậc 6. Giải Theo công thức nhị thức Niu-tơn (x – 2)6 = (- 2 + x)6 = - Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài tập ở ví dụ 4. Học sinh thực hiện dưới sự định hướng, giúp đỡ của giáo viên. + Số tập con có 0 phần tử là bao nhiêu? + Số tập con có 1 phần tử là bao nhiêu? + Số tập con có k phần tử là bao nhiêu? + Tổng số tập con là bao nhiêu? - Giáo viên yêu cầu học sinh hoàn thành phiếu học tập số 1. - Cá nhân học sinh suy nghĩ, tiến hành giải. - Giáo viên kiểm tra, nhận xét. Ví dụ 4. Gọi T là số các tập con (kể cả tập rỗng) của một tập hợp có n phần tử. Chứng minh rằng T – 2n Giải + Số tập con có 0 phần tử là + Số tập con có 1 phần tử là + Số tập con có k phần tử là + Số tập con có n phần tử là Vậy, tổng số tập con là: Trong nhị thức Niu-tơn, đặt a = b = 1 ta được => Dddpcm. Kết quả phiếu học tập số 1 - n = 6 - Số hạng thứ 5 là 240x4 (chọn phương án C) Hoạt động 2: Tam giác Paxcan Phiếu học tập số 2 + Nội dung của tam giác Paxcan? + áp dụng tam giác Paxcan để giải bài toán sau: Viết dãy các số hạng ở hàng thứ 1000 trong tam giác Paxcan. Dãy này có bao nhiêu số? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức - Giáo viên đặt ra vấn đề: Trên đây ra muốn khai triển (a + b)n thành đa thức, ta cần biết n + 1 số có mặt trong nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể được tính nhờ công thức (4) ở Đ2. Ngoài ra còn có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bảng số sau gọi là tam giác Paxcan. - Giáo viên lưu ý học sinh quy luật của tam giác Paxcan Học sinh tiếp thu, ghi nhớ 2. Tam giác Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 .. Tam giác Paxcan được lập theo quy luật sau: - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi 2 số 1. - Nếu biết hàng thứ n (n ³ 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. - Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập ở H1. + Học sinh tiếp thu, ghi nhớ + Giáo viên kiểm tra, nhận xét H2. Điền tiếp tục các số vào hàng thứ 7 và thứ 8 trong bảng số trên. - Giáo viên yêu cầu học sinh hoàn thành phiếu học tập số 2. - Cá nhân học sinh suy nghĩ, tiến hành giải. - Giáo viên kiểm tra, nhận xét. Kết quả phiếu học tập số 2 - Dãy các số hạng ở hàng thứ 1000 trong tam giác Paxcan: Dãy này có 1001 số. iv. củng cố – luyện tập - Giáo viên yêu cầu học sinh xem lại nhị thức Niu-tơn, từ đó rút ra số hạng tổng quát của nó. - Nêu lên được quy luật của tam giác Paxcan. - Dùng bài tập 17, 18 sách giáo khoa để củng cố. v. hướng dẫn bài tập về nhà - Yêu cầu học sinh giải các bài tập còn lại ở sách giáo khoa (thuộc phần này). Luyện tập i. mục đích – yêu cầu Sau khi học xong bài này, học sinh làm được những công việc sau: - Nắm vững các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. - Nhớ được công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. - Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán đếm số phần tử của tập hợp và kĩ năng vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. ii. chuẩn bị - Giáo viên chuẩn bị các phiếu trắc nghiệm. - Học sinh làm các bài tập về nhà. iii. nội dung và tiến trình lên lớp Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức Phiếu học tập số 1 Các kiến thức cần nhớ: + Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. + Công thức khai triển nhị thức Niu – Tơn. + Tam giác Paxcan. Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài học - Giáo viên gọi lần lượt từng học sinh đứng tại chỗ trả lời các nội dung như trong phiếu học tập số 1. + Cả lớp cùng lắng nghe và cùng với giáo viên bổ sung và hoàn thiện câu trả lời, ghi vào phiếu học tập của mình. + Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. + Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. + Tam giác Paxcan Hoạt động 2: Các bài tập luyện tập Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài học - Giáo viên định hướng để học sinh giải bài tập 1. + Nếu không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau thì trật tự sắp xếp có dạng như thế nào? + Nêu phương pháp sắp xếp chỗ ngồi? + Nếu không có 2 bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau thì trật tự sắp xếp có dạng như thế nào? - Giáo viên định hướng để học sinh giải bài tập 2. a) +Mỗi cách phan công lao động bao gồm mấy công đoạn? + Có bao nhiêu cách chọn 7 học sinh từ 50 học sinh? + Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh quét sân từ 7 học sinh trên? + Do vậy có bao nhiêu cách phân công lao động. b) + Mỗi cách phân công lao động bao gồm mấy công đoạn? + Có bao nhêu cách chọn 4 học sinh từ 5 học sinh để rẫy cỏ. + Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong số 46 học sinh còn lại để quét sân. + Do vậy có bao nhiêu cách phân công lao động? Đối chiếu với kết quả ở câu a) có kết luận gì? - Giáo viên gọi 2 học sinh lên bảng làm bài tập 3 và bài tập 4. - Sau đó giáo viên kiểm tra, nhận