Bài giảng môn học Vật lý lớp 10 - Phương pháp giải bài toán chuyển động tròn

Phương pháp giải bài toán chuyển động tròn Viết bởi Trần Nghiêm Thứ bảy, 29 Tháng 9 2012 20:49 10/10 - 1628 lượt đọc (Được đọc nhiều) Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973. Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh. §8. Phương pháp giải bài toán chuyển động tròn GV: Từ kinh nghiệm tôi thấy các câu hỏi và bài toán về chuyển động của một vật theo một vòng tròn hóa ra là cực kì khó đối với nhiều thí sinh. Câu trả lời của họ cho những câu hỏi như vậy thường có rất nhiều lỗi căn bản. Để chứng minh điều này, ta hãy mời thêm một học sinh nữa tham gia vào cuộc thảo luận của mình. Người học sinh này không biết cái chúng ta đã nói ở những bài trước. Ta tạm gọi cậu ta là “học sinh B” (từ phần này về sau người học sinh thứ nhất sẽ được gọi là “học sinh A”). Học sinh B hãy cho biết các lực tác dụng lên một vệ tinh trên quỹ đạo vòng quanh Trái đất? Chúng ta sẽ thống nhất bỏ qua sức cản của khí quyển và lực hút của mặt trăng, mặt trời và những thiên thể khác. HS B: Vệ tinh chịu tác dụng của hai lực: lực hút của trái đất và lực li tâm. GV: Tôi không phản đối lực hút của trái đất, nhưng tôi không hiểu từ đâu mà em có lực li tâm. Hãy giải thích xem. HS B: Nếu không có một lực như vậy thì vệ tinh không thể ở trong quỹ đạo được. GV: Và điều gì sẽ xảy ra với nó? HS B: Tại sao hả, nó sẽ rơi xuống trái đất. GV (quay sang học sinh A): Hãy nhớ cái tôi đã nói với em trước đây! Đây là một ví dụ hoàn hảo của một nỗ lực muốn chứng minh rằng một lực nhất định có tồn tại, không dựa trên cơ sở sự tương tác của các vật, mà theo mẹo đi cửa sau – từ bản chất của sự chuyển động của các vật. Như em thấy, vệ tinh phải ở lại trong quỹ đạo, nên cần có một lực giữ nó lại. Thật bất ngờ, nếu lực li tâm này thật sự có tồn tại, thì vệ tinh không thể ở trong quỹ đạo nữa vì các lực tác dụng lên vệ tinh sẽ triệt tiêu nhau và nó sẽ bay với vận tốc không đổi và theo một đường thẳng. HS A: Lực li tâm không bao giờ tác dụng lên một vật đang quay. Nó tác dụng lên chỗ buộc (sợi dây hay vật liên kết khác). Lực hướng tâm mới tác dụng lên vật đang quay. HS B: Ý thầy nói là chỉ có trọng lực tác dụng lên vệ tinh thôi đúng không? GV: Vâng, chỉ có trọng lực của nó thôi. HS B: Vậy tại sao nó không rơi xuống trái đất? GV: Chuyển động của một vật chịu tác dụng của trọng lực được gọi là sự rơi. Vì thế, vệ tinh đang rơi. Tuy nhiên, “sự rơi” của nó là ở dạng chuyển động trong một vòng tròn xung quanh trái đất và do đó có thể tiếp tục mãi mãi. Chúng ta đã biết rằng hướng chuyển động của một vật và các lực tác dụng lên nó không nhất thiết trùng nhau (xem §4). HS B: Khi nói lực hút của trái đất và lực li tâm, em phát biểu dựa trên công thức GmM/r2 = mv2/r                      (34) Trong đó vế trái là lực hút (m là khối lượng vệ tinh, M là khối lượng trái đất, r là bán kính của quỹ đạo, và G là hằng số hấp dẫn), và vế phải là lực li tâm (v là vận tốc của vệ tinh). Ý thầy nói công thức này không đúng sao? GV: Không phải, công thức khá chính xác. Cái không đúng là cách em lí giải công thức. Em xem phương trình (34) là một sự cân bằng giữa hai lực. Thật ra, nó là một biểu diễn của định luật II Newton của chuyển động F = ma                        (34a) Trong đó F = GmM/r2 và a = v2/r là gia tốc hướng tâm. HS B: Em đồng ý rằng cách lí giải của thầy cho phép chúng ta giải bài toán mà không cần lực li tâm. Nhưng, nếu không có lực li tâm, thì ít nhất phải có một lực hướng tâm. Tuy nhiên, thầy không có nhắc tới lực nào như vậy. GV: Trong trường hợp của chúng ta, lực hướng tâm là lực hút giữa vệ tinh và trái đất. Tôi muốn nhấn mạnh thật ra đây không phải là hai lực khác nhau. Không khác gì hết. Đây là cùng một lực. HS B: Vậy rốt cuộc tại sao lại đưa ra khái niệm lực hướng tâm? GV: Tôi hoàn toàn tán thành với em về điểm này. Theo quan điểm của tôi, khái niệm “lực hướng tâm” chẳng mang đến cái gì, mà còn gây hiểu nhầm. Cái được hiểu là lực hướng tâm nói chung không phải là một lực độc lập tác dụng lên một vật cùng với những lực khác. Thay vậy, nó là hợp của tất cả các lực tác dụng lên một vật đang chuyển động trong một vòng tròn với vận tốc không đổi. Đại lượng mv2/r không phải là một lực. Nó biểu diễn tích của khối lượng m của vật với gia tốc hướng tâm v2/r. Gia tốc này hướng thẳng về tâm và hệ quả là hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên một vật đang chuyển động trên một vòng tròn với vận tốc không đổi, hướng thẳng về tâm. Như vậy, có một gia tốc hướng tâm và có những lực, cộng gộp lại, truyền một gia tốc hướng tâm cho vật. HS B: Em phải thừa nhận rằng cách tiếp cận này với chuyển động của một vật trong một vòng tròn là cách em yêu thích. Thật vậy, chuyển động này không phải là trường hợp tĩnh, trong đó sự cân bằng của các lực là cái đặc trưng, mà là một trường hợp động. HS A: Nếu chúng ta bác bỏ khái niệm lực hướng tâm, thì có lẽ chúng ta cũng sẽ bỏ đi khái niệm “lực li tâm”, thậm chí khi xét các mối buộc. GV: Việc đưa vào khái niệm “lực li tâm” còn kém thuyết phục hơn. Lực hướng tâm thật sự tồn tại, cho dù nó chỉ là một hợp lực. Lực li tâm thì thậm chí không tồn tại trong nhiều trường hợp. HS A: Em không hiểu nhận xét vừa rồi của thầy. Lực li tâm được đưa vào dưới dạng là một phản tác dụng của lực hướng tâm. Nếu nó không luôn luôn tồn tại, như thầy nói, thì định luật III Newton cũng không luôn luôn đúng. Có phải vậy không? GV: Định luật III Newton chỉ đúng đối với những lực có thật được xác định bởi sự tương tác của các vật, chứ không đúng với hợp của những lực này. Tôi có thể chứng minh điều này với ví dụ con lắc hình nón mà các em đã quen thuộc (Hình 33). Quả cầu chịu tác dụng của hai lực: trọng lực P và lực căng T của sợi dây. Hai lực này, cùng với nhau, gây ra gia tốc hướng tâm của quả cầu, và tổng của chúng được gọi là lực hướng tâm. Lực P là do sự tương tác của quả cầu với trái đất. Phản lực của lực này là lực P1 tác dụng lên trái đất. Lực T là do sự tương tác của quả cầu và sợi dây. Phản lực của lực này là lực T1 tác dụng lên sợi dây. Nếu các lực P1 và T1 được cộng lại chính thức thì ta thu được một lực thường được hiểu là lực li tâm (xem các đường đứt nét ở Hình 33). Nhưng lực này tác dụng lên cái gì? Chúng ta gọi nó là một lực thì có đúng không, khi mà một thành phần của nó thì tác dụng lên trái đất, còn thành phần kia thì tác dụng lên một vật hoàn toàn khác – tức sợi dây? Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, khái niệm lực li tâm không có ý nghĩa vật lí. HS A: Trong những trường hợp nào thì tồn tại lực li tâm? GV: Trong trường hợp một vệ tinh trong quỹ đạo, chẳng hạn, khi chỉ có hai vật tương tác – trái đất và vệ tinh. Lực hướng tâm là lực do trái đất hút lấy vệ tinh. Lực li tâm là lực do vệ tinh hút lấy trái đất. HS B: Thầy nói định luật III Newton không đúng cho hợp lực của những lực thực tế. Em nghĩ trong trường hợp này nó cũng sẽ không đúng cho các thành phần của một lực thực tế. Đúng vậy không thầy? GV: Vâng, khá đúng. Trong liên hệ này, tôi sẽ trích dẫn một ví dụ chẳng có cái gì chung với chuyển động quay hết. Một quả cầu nằm trên sàn nhà và chạm vào một bức tường hợp một góc tù với sàn nhà (Hình 34). Ta hãy phân tích trọng lượng của quả cầu thành hai thành phần: vuông góc với tường và song song với sàn nhà. Chúng ta sẽ xét hai thành phần này thay cho trọng lượng của quả cầu. Nếu định luật III Newton có thể áp dụng cho những thành phần lực độc lập, thì chúng ta có thể trông đợi một phản tác dụng của tường trực đối với thành phần trọng lượng vuông góc với nó. Khi đó, thành phần trọng lực song song với sàn nhà sẽ vẫn không được cân bằng và quả cầu sẽ có một gia tốc theo phương ngang. Rõ ràng điều này là vô lí. HS A: Cho đến nay, thầy chỉ mới đề cập đến chuyển động tròn đều. Thầy xử lí bài toán vật chuyển động tròn không đều như thế nào? Chẳng hạn, một vật trượt xuống từ đỉnh của một cái vòng được giữ thẳng đứng. Trong khi trượt theo cái vòng, vật chuyển động trong một vòng tròn. Tuy nhiên, đây không thể là chuyển động đều vì vận tốc của vật tăng lên. Thầy làm gì trong những trường hợp như vậy? GV: Nếu vật chuyển động trong một vòng tròn với vận tốc không đổi, thì hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên vật phải hướng vào tâm; nó truyền gia tốc hướng tâm cho vật. Trong trường hợp khái quát hơn của chuyển động tròn không đều, hợp lực không hướng thẳng về tâm quỹ đạo. Trong trường hợp này nó có một thành phần hướng theo bán kính về tâm quỹ đạo và một thành phần khác tiếp tuyến với quỹ đạo của vật (tức là tiếp tuyến với vòng tròn). Thành phần thứ nhất gây ra gia tốc hướng tâm của vật, và thành phần thứ hai, còn gọi là gia tốc tiếp tuyến, đi cùng với sự biến thiên vận tốc. Nên nói rằng vì vận tốc của vật biến thiên, nên gia tốc hướng tâm v2/r cũng phải biến thiên. HS A: Điều đó có nghĩa là tại mỗi thời điểm gia tốc hướng tâm sẽ được xác định bởi công thức a = v2/r, trong đó v là vận tốc tức thời? GV: Đúng. Trong khi gia tốc hướng tâm là không đổi trong chuyển động tròn đều, thì nó biến thiên trong quá trình chuyển động tròn không đều. HS A: Ta làm sao tính được vận tốc v biến thiên như thế nào trong chuyển động quay không đều? GV: Thông thường, định luật bảo toàn năng lượng được dùng đến cho mục đích này. Ta hãy xét một ví dụ đặc biệt. Giả sử một vật trượt không ma sát từ đỉnh của một cái vòng bán kính R được giữ thẳng đứng. Vật sẽ đè lên cái vòng một lực bằng bao nhiêu khi nó đi qua một điểm nằm dưới đỉnh vòng một khoảng h cm? Vận tốc ban đầu của vật tại đỉnh vòng là bằng không. Trước tiên, ta cần tìm có những lực nào tác dụng lên vật. HS A: Hai lực tác dụng lên vật: trọng lực P và phản lực pháp tuyến N. Chúng được vẽ trên Hình 35. GV: Đúng. Em sẽ làm gì tiếp theo nào? HS A: Em sẽ làm như thầy nói. Em sẽ tìm hợp lực của hai lực này và phân tích nó thành hai thành phần: một hướng theo bán kính và một tiếp tuyến với vòng tròn. GV: Khá chính xác. Tuy nhiên, rõ ràng cái dễ làm hơn là bắt đầu với việc phân tích hai lực tác dụng lên vật theo hai chiều đó thay vì đi tìm hợp lực, cái dễ hơn nữa là ta sẽ chỉ cần phân tích một lực – trọng lực. HS A: Em phân tích lực như trên Hình 35. GV: Lực P2 gây ra gia tốc tiếp tuyến của vật, lúc này ta không quan tâm đến nó. Hợp lực của lực P1 và N gây ra gia tốc hướng tâm của vật, tức là HS B: Thầy giả sử tại điểm A vật vẫn còn ở trên mặt vòng. Nhưng nó có thể bay ra khỏi vòng trước khi nó đi tới điểm A. GV: Chúng ta có thể tìm điểm tại đó vật rời khỏi mặt vòng. Điểm này tương ứng với trường hợp khi áp lực mà vật tác dụng lên cái vòng giảm xuống bằng không. Như vậy, trong phương trình (37), ta giả sử N = 0 và giải tìm h, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng tính từ đỉnh vòng đến điểm tại đó vật bay ra. Như vậy h0 = R/3                                   (38) Nếu trong bài toán như đã phát biểu giá trị của h tuân theo điều kiện h < h0, thì kết quả của phương trình (37) là đúng; còn nếu h ³ h0 thì N = 0. HS A: Như em hiểu thì hai định luật vật lí, phương trình (35) và (36), được dùng để giải bài toán này. GV: Ở đây em nhận xét rất tốt. Khá chính xác, hai định luật được sử dụng khi giải bài toán này: định luật II Newton của chuyển động [xem phương trình (35)] và định luật bảo toàn năng lượng [xem phương trình (36)]. Thật không may, các thí sinh không phải lúc nào cũng hiểu rõ họ sử dụng những định luật vật lí nào trong khi giải những bài toán nhất định. Theo tôi nghĩ, đây là một điểm thiết yếu. Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây. Truyền cho một vật một vận tốc ban đầu v0 sao cho nó có thể chuyển động từ điểm A đến điểm C. Có hai đường đi khác nhau dẫn từ A đến C (xem hình 36 a và b). Trong cả hai trường hợp, vật phải đi tới cùng một độ cao H nhưng theo những quỹ đạo khác nhau. Hãy tìm vận tốc ban đầu tối thiểu v0 cho mỗi trường hợp. Bỏ qua ma sát. HS B: Em nghĩ vận tốc ban đầu tối thiểu sẽ là bằng nhau trong cả hai trường hợp, vì không có ma sát và cùng đi tới một độ cao H giống nhau. Vận tốc này có thể tính từ định luật bảo toàn năng lượng GV: Câu trả lời của em sai rồi. Em đã bỏ qua thực tế là trong trường hợp thứ nhất, vật đi qua điểm trên của quỹ đạo của nó khi nó ở trong một trạng thái chuyển động quay. Điều này có nghĩa là tại điểm B ở phía trên (Hình 36a), nó sẽ có một vận tốc v1 được xác định từ một phương trình động lực học tương tự như phương trình (35). Vì bài toán yêu cầu đi tìm giá trị nhỏ nhất, nên ta sẽ xét trường hợp khi áp lực của vật tác dụng lên vật đỡ của nó tại điểm B giảm bằng không. Khi đó chỉ có trọng lực tác dụng lên vật và truyền cho nó gia tốc hướng tâm. Như vậy Trong trường hợp thứ hai, vật có thể đi qua điểm trên cùng với một vận tốc gần như bằng không và vì thế ta có thể tự hạn chế mình với phương trình năng lượng. Khi đó câu trả lời của em là đúng. HS B: Giờ thì em hiểu rồi. Nếu trong trường hợp thứ nhất, vật không có vận tốc tại điểm B, thì nó sẽ dễ dàng rơi ra khỏi đường dẫn của nó. GV: Nếu trong trường hợp thứ nhất vật có vận tốc ban đầu v0 = √2gH như em đề xuất, thì nó sẽ không bao giờ đi tới điểm B, mà sẽ bị rơi khỏi đường dẫn trước đó rồi. Tôi đề nghị em tìm độ cao h của điểm tại đó vật sẽ rời khỏi đường dẫn nếu vận tốc ban đầu của nó là v0 = √2gH. HS A: Để em thử giải bài toán này. GV: Tất nhiên rồi. HS A: Tại điểm vật rơi khỏi đường dẫn, phản lực pháp tuyến hiển nhiên bằng không. Do đó, chỉ có trọng lực tác dụng lên vật tại điểm này. Ta có thể phân tích trọng lực thành hai thành phần, một hướng theo bán kính (mg cosa) và một vuông góc với bán kính (mg sina) như biểu diễn trên Hình 37 (điểm A là điểm tại đó vật rơi khỏi đường dẫn). Thành phần hướng theo bán kính truyền một gia tốc hướng tâm cho vật, được xác định bởi phương trình Sau khi thay v02 = 2gH, kết quả cuối cùng là h = 5/6 H GV: Hoàn toàn chính xác. Lưu ý rằng em có thể sử dụng phương trình (43) để tìm vận tốc ban đầu v0 cho vật leo qua cái vòng. Khi này ta lấy h = H trong phương trình (43). Khi đó HS A: Điều kiện (43) ta thu được cho vật rơi ra khỏi đường dẫn của nó. Làm thế nào có thể sử dụng nó cho trường hợp vật leo qua cái vòng mà không rơi ra chứ? GV: Rơi ra tại điểm trên cùng của cái vòng thật sự có nghĩa là vật không rơi ra mà nó đi qua điểm này, tiếp tục chuyển động của nó trong vòng tròn. HS B: Người ta có thể nói vật đó rơi ra như thế chỉ trong một thời khắc. GV: Khá đúng. Để kết luận, tôi đề xuất bài toán sau đây. Một vật nằm tại chân của một mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng a. Mặt phẳng này quay với một vận tốc góc w không đổi xung quanh một trục thẳng đứng. Khoảng cách từ vật đến trục quay của mặt phẳng bằng R. Hãy tìm hệ số ma sát k0 tối thiểu (tôi nhắc em nhớ rằng hệ số này đặc trưng cho giá trị tối đa có thể có của lực ma sát nghỉ) để vật vẫn ở trên mặt phẳng nghiêng mà không bị trượt ra (Hình 38a). Chúng ta hãy luôn luôn bắt đầu với câu hỏi: có những lực nào tác dụng lên vật? HS A: Có ba lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực pháp tuyến N, và lực ma sát Ffr. GV: Khá chính xác. Cái hay là em đã không đưa thêm lực hướng tâm. Giờ thì em sẽ làm gì tiếp theo? HS A: Tiếp theo em sẽ phân tích các lực theo phương song song với mặt phẳng nghiêng và vuông góc với nó như ở Hình 38b. GV: Chỗ này tôi muốn ngắt lời em chút. Tôi không thích cách em phân tích các lực. Hãy nói xem vật được gia tốc theo hướng nào? HS A: Gia tốc theo phương ngang. Nó là gia tốc hướng tâm. GV: Đúng. Đó là lí do em nên phân tích các lực theo phương ngang (tức là theo gia tốc) và theo phương thẳng đứng (tức là vuông góc với gia tốc). Hãy nhớ cái chúng ta đã nói ở §6. HS A: Em hiểu rồi. Các lực được phân tích theo phương ngang và phương thẳng đứng như ở Hình 38c. Thành phần thẳng đứng của các lực triệt tiêu nhau, và các thành phần nằm ngang thì truyền gia tốc cho vật. Như vậy HS B: Bạn chỉ có hai phương trình mà có tới ba biến: k0, P và N. GV: Không có gì trở ngại cả. Chúng ta không phải tìm cả ba biến, mà chỉ tìm hệ số k0. Các biến P và N có thể dễ dàng loại trừ bằng cách chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai. HS A: Sau khi chia, ta thu được Nếu điều kiện (45) không được thỏa mãn, thì không có lực ma sát nào có khả năng giữ vật trên mặt phẳng nghiêng đang quay. Bài tập 15. Tỉ số của lực do một chiếc xe tăng nén lên điểm chính giữa của một cây cầu cong vồng lên và của một cây cầu võng xuống là bao nhiêu? Bán kính cong của cầu là 40 m trong cả hai trường hợp và tốc độ của xe tăng là 45 km//h. 16. Một vật trượt không ma sát từ độ cao H = 60 cm, sau đó lượn theo một cái vòng bán kính R = 20 cm (Hình 39). Tìm tỉ số của lực do vật đè lên cái vòng tại các điểm A, B và C. 17. Một vật có thể quay trong một mặt phẳng thẳng đứng tại đầu một sợi dây có chiều dài R. Hỏi phải truyền cho vật một vận tốc theo phương ngang bằng bao nhiêu ở vị trí cao nhất để cho lực căng của sợi dây tại vị trí thấp nhất gấp mười lần trọng lượng của vật? 18. Tính tỉ trọng của vật chất của một hành tinh hình cầu nếu một vệ tinh quay xung quanh nó có chu kì T trong một quỹ đạo tròn với khoảng cách tính đến bề mặt hành tinh bằng một nửa bán kính R của nó. Kí hiệu hằng số hấp dẫn là G. 19. Một vật khối lượng m có thể trượt không ma sát theo một lưỡi cày lõm xuống có dạng một cung tròn bán kính R. Vật sẽ nằm yên ở một độ cao h bằng bao nhiêu nếu lưỡi cày đó quay với một tốc độ góc w không đổi xung quanh một trục thẳng đứng (Hình 40)? Lực F do vật tác dụng lên lưỡi cày bằng bao nhiêu? 20. Một cái vòng bán kính R được giữ cố định thẳng đứng trên sàn nhà. Một vật trượt không ma sát từ đỉnh vòng xuống (Hình 41). Hỏi vật sẽ rơi xuống cách điểm cố định cái vòng một khoảng l bằng bao nhiêu? Trần Nghiêm dịch