Bài giảng số 2: Phương trình đường thẳng

Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 1 BÀI GIẢNG SỐ 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .....PHẦN 2.... Bài toán 1: Thêm một số phƣơng pháp lập phƣơng trình đƣờng thẳng Phương pháp:  Tìm hệ số góc k của đường thẳng ( 1 1 1: y k x a   và 2 2 2: y k x a    Khi biết nó song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước 1 2 1 2 1 2 / / k k a a       ; 1 2 1 2 1k k      )  Khi biết góc tạo bởi 2 đường thẳng là  1 2 1 2 tan 1 k k k k      Tìm điểm  0 0;M x y thuộc đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng theo công thức  0 0 .y y k x x   Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau a. d đi qua  1;2A  và song song với đường thẳng 5 1 0x  b. d đi qua  7; 5B  và vuông góc với đường thẳng 3 6 0x y   c. d đi qua  2;3C  và có hệ số góc 3.k   Giải a. d song song với đường thẳng 5 1 0x  nên d có dạng 5 0x a  d đi qua  1;2A  nên có: 5. 1 0 5a a     Phương trình đường thẳng d 5 5 0 1 0x x     b. d vuông góc với đường thẳng 3 6 0x y   nên d nhận vtpt  1;3u của đường thẳng này làm vtcp. d có phương trình chính tắc 7 5 1 3 x y   Phương trình tổng quát  3 7 5 3 26 0x y x y       c. d đi qua  2;3C  và có hệ số góc 3k   nên d có phương trình  3 2 3 3 3 0y x x y        Ví dụ 2: (CĐSPHN-2005) Cho tam giác ABC có A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x + y +1 = 0, đường phân giác trong CD: x + y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 2 Giải Kẻ đường thẳng AI vuông góc với DC cắt BC tại E. AI vuông góc với CD: x + y – 1 = 0 nên AI có dạng x – y +m = 0. AI đi qua A(1;2) nên: 1 – 2 +m = 0 1 : 1 0m AI x y      Tọa độ điểm I   1 0 0 0;1 1 0 1 x y x I x y y              Tam giác ACE cân tại A nên I là trung điểm của AE. Tọa độ của E   2 1 1;0 2 0 E I A E E I A E x x x x E y y y y              Do  0 0;1C CD C x x   Do M là trung điểm của AC nên ta có tọa độ của M là 0 0 0 0 1 1 32 2 ; 3 2 2 2 2 A C M A C M x x x x x x M y y x y                   Mặt khác   0 0 0 1 3 2 1 0 2 2 7 7;8 x x M BM x C                       Phương trình đường thẳng BC đi qua C( -7;8) và E(-1;0) 7 8 4 3 4 0 1 7 0 8 x y x y           Ví dụ 3: (Tuyển sinh ĐH khối D-2009) Cho tam giác ABC, biết điểm M(2;0) là trung điểm AB, đường trung tuyến kẻ từ A có phương trình 7x -2y -3 = 0, đường cao kẻ từ AH có phương trình 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. Giải Ta có A là giao của đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A nên tọa độ của A thỏa mãn   7 2 3 0 1 1;2 6 4 0 2 x y x A x y y              Vì M là trung điểm AB nên ta có   2 2.2 1 3 3; 2 2 2.0 2 2 B M A B B M A B x x x x B y y y y                  Lại có BC AH nên BC nhận vtcp của AH làm vcpt nên BC có phương trình là x+6y+m = 0 Vì BC đi qua B(3;2) 3-2.6+m =0 m=9 BC: x+6y+9 = 0 N là giao của BC và trung tuyến AN nên tọa độ của N thỏa mãn Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 3 0 6 9 0 3 0;3 7 2 3 0 2 2 x x y N x y y                       3 2; 2 4; 3 2 MN AC MN             Đường thẳng AC có vtcp là  4; 3AC    và đi qua A(1;2) nên có phương trình là 1 2 4 3 x y     hay 3 4 5 0x y   Bài tập Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1 :3 0x y   và 2 : 4 2 0x y    và vuông góc với đường thẳng : 2 7 1 0x y    Đáp số: 2 7 2 0 11 x y    Bài 2:Cho tam giác ABC có      0;0 , 2;4 , 6;0A B C và các điểm , ,M AB N BC AC   sao cho MNPQ là hình vuông. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. Đáp số: 6 12 6 18 18 12 ; , ;0 , ;0 , ; 5 5 5 5 5 5 M N P Q                         Bài 3: Cho hai đường thẳng 2 3 : 1 x t d y t      và điểm 11 12 ; 5 5 M       Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d Đáp số: 3 9 0x y   Bài 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-2;0) và tạo với đường thẳng : 3 3 0d x y   một góc bằng 045 Đáp số: 1 2: 2 4 0; : 2 2 0d x y d x y      Bài 5: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng :8 6 5 0d x y   và cách d một khoảng bằng 5 Đáp số: : 1 2:8 6 45 0; :8 6 55 0d x y d x y      Bài toán 2: Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng Phương pháp:  Cho hai đường thẳng 1 1 1 1: 0a x b y c    và 2 2 2 2: 0a x b y c     Đặt 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ; ;x y a b b c c a D D D a b b c c a    . Khi đó 1 cắt 2 0D  1 // 2 0D  và 0xD  hoặc 0yD  1  2 D  xD yD  Đặc biệt khi 2 2 2, , 0a b c  thì Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 4 1 cắt 2 1 1 2 2 a b a b   ; 1 // 2 1 1 1 2 2 2 a b c a b c    ; 1  2 1 1 1 2 2 2 a b c a b c    ; 1  2 1 2 1 2. . 0a a b b   Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số để các đường thẳng a. 1 : 3y mx   và  2 : 2 1 5y m x    song song với nhau; b. 1 : 3y mx   và  2 : 2 1 5y m x    vuông góc với nhau; c.  1 : 3 5 4 0n x y     và  2 :5 4 5 0x m y     trùng nhau; d. 1 :3 2 10 0x y    , 2 : 7 2 10 0x y    và 3 : 2 3 7 0mx y    đồng quy. Giải a. Ta có 1 // 2 1 1 1 2 2 2 1 3 2 1 1 2 1 1 5 a b c m m m m a b c m               b. 1  2     2 1 2 1 2. . 0 2 1 1.1 0 2 1 0a a b b m m m m VN           Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn 1  2 . c.  3 5 4 0n x y    và  5 4 5 0x m y    trùng nhau khi và chỉ khi     1 1 1 2 2 2 3 5 4 5 4 5 7 3 4 41 4 4 25 4 a b c n a b c m n n m m                        d. Giao điểm của 1 và 2 có tọa độ 3 2 10 0 2 7 2 10 0 2 x y x x y y             Để ba đường thẳng 1 , 2 và 3 đồng quy thì 3 : 2 3 7 0mx y    cũng phải đi qua điểm có tọa độ (2; 2) Do đó: 1 2 .2 3.2 7 0 4 m m     Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng 1 : 2 2 0x y    và 2 : 3 0x y    và điểm M (3;0) a. Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M, cắt 1 và 2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 5 Giải a. Tọa độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình 1 2 2 0 3 3 0 8 3 x x y x y y               Vậy giao điểm của 1 và 2 là 1 8 ; 3 3        b.     1 2 ; 2 2 ; 3 A A A A B B B B A x y y x B x y y x          Vì M là trung điểm của AB nên 2 6 11 2 2 2 3 0 3 16 3 A B M A B A A B M A B A x x x x x x y y y x x y                   Vậy 11 16 ; 3 3 A       Đường thẳng MA trùng với đường thẳng  cần tìm. Vậy phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A, M là: 8 24 0.x y   Bài tập Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau 1). 1 : 2 5 6 0x y    và 2 : 3 0x y     2) 1 : 3 2 7 0x y     và 2 : 6 4 7 0x y    3).  1 : 1 1 0m x my     và 2 : 2 4 0x y    Đáp số: 1). Cắt nhau, 2) Song song. 3). Cắt nhau nếu 1m   , song song nếu 1m   Bài 2. Tìm m để hai đường thẳng sau song song 1 : 4 4 0x my m     và  2 : 2 6 2 1 0m x y m      Đáp số: 1m   Bài 3. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 : 2 0mx y    và 2 : 1 0x my m     Địa chỉ: Số 6, Lô A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Email: lienhe@baigiangtructuyen.vn; Website: www.baigiangtructuyen.vn Fanpage: www.facebook.com/baigiangtructuyen.vn; Hotline: 04.62734948 Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng– Chuyên gia luyện thi Đại Học- GV chuyên SP-Cố vấn chuyên môn bộ môn toán www.baigiangtructuyen.vn . Email: Nguyendangdung02@gmail.com ; mobile: 0979.56.46.02- 096.55.22.668. Trịnh Phƣơng Liên – Trường ĐH Giáo dục – ĐHQGHN Email: lienheo000@gmail.com ; mobile: 01675568295 ; fanpage: www.facebook.com/Trinh Phuong Lien.vn 6 Đáp số: 1; 1m m   : hai đường thẳng cắt nhau 1m  : hai đường thẳng song song 1m   : hai đường thẳng trùng nhau Bài 4. Xác định m để ba đường thẳng sau đồng quy 1 : 2 3 0x y    , 2 : 5 0x y     và  3 : 1 2 0m x y     Đáp số: 5 2 m   .