Bài giảng Sử dụng phép biến đổi tương đương (tiếp)

Sử dụng phép biến đổi tương đương Cơ sở: Để chứng minh BĐT có dạng (1) ta chứng minh BĐT tương đương (2). Lưu ý: Để CM (2) người ta thường biến đổi hiệu A – B về các hằng đẳng thức hoặc phân tích thành nhân tử để xuất hiện tổng hoặc tích các số không âm. Cho a, b>0. CMR: CMR: Cho Cho a,b>0. CMR: Cho CMR: CMR: Cho a,b,c không âm. CMR: CMR: với mọi a,b,c. CMR: CMR: với mọi a,b,c. CMR: CMR: Cho Cho a, b>0. CMR: Cho a, b>0. CMR: Cho a, b>0. CMR: CMR: CMR: CMR: CMR: CMR: CMR: Cho 1. Phương pháp nghịch đảo Bằng cách sử dụng BĐT côsi cho 2, 3 số dương hoặc biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các BĐT có dạng nghịch đảo sau: 1. 2. 3. 4. 5. Bản chất của phương pháp này là biến đổi BĐT cần chứng minh về một trong các dạng BĐT nghịch đảo như trên hoặc dạng nghịch đảo gần tương tự rồi dùng BĐT côsi để xử lí tiếp (lưu ý rằng có một số trường hợp, để biến đổi về dạng BĐT nghịch đảo ta cần dùng đến phương pháp đổi biến số) CMR: CMR: CMR: Cho x, y>0. CMR: Cho a > b và ab = 1. CMR: Cho a > b > 0.CMR: . Cho a > b > 0.CMR: . Cho a > b > 0.CMR: . Cho CMR: . Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1. CMR: Cho CMR: Cho CMR: Cho CM: Cho a, b, c > 0. CMR: . Cho , Chứng minh các bất đẳng thức sau (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau Cho x,y,z > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho a, b, c>0 và a + b + c = 1. CMR: Cho >0 và. CMR: Cho CM: Cho x,y,z>0. CM: Cho x, y, z dương và x + 2y + 3z = 18. CMR: . ChoCM: Cho các số dương a, b, c và abc = 1. CMR: Cho các số dương a, b, c và abc = 1. CMR: 2. Phương pháp “ghép cặp” Hướng 1. Ghép đối xứng. Gợi ý: 1. Ghép cặp đôi để làm xuất hiện trung bình cộng Nếu vế lớn hơn của BĐT cần chứng minh có biểu thức đối xứng của các ẩn dạng: A + B + C ta ghép đối xứng như sau: rồi dùng BĐT cô si để đánh giá từ TBC sang TBN. Lưu ý: Cần xem xét sau khi sử dụng BĐT cô si cho mỗi cặp thì có làm xuất hiện vế bên kia hay không. Tức là các TBN có dạng có liên quan đến vế bé hơn hay không. 2. Ghép cặp đôi để làm xuất hiện trung bình nhân Nếu vế bé hơn của BĐT cần chứng minh có biểu thức đối xứng của các ẩn dạng: A. B. C ta ghép đối xứng như sau: rồi dùng BĐT cô si để đánh giá từ TBN sang TBC. CMR: CMR: , với a,b,c >0. Cho a,b,c0. CMR: Cho a,b,c0. CMR: CMR: , với a,b,c >0. Cho CMR: CMR: với a,b,c>0. CMR: với a,b,c>0. Cho x,y,z>0 và xyz =1. CMR: Cho x, y, z >0. CMR : CMR: ; a,b,c>0. CMR: CMR: , Cho,CM: (a+b– c)(a + c – b)(b + c – a) CMR: Cho a,b,c>0. CMR: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca = 1. CMR: Cho a, b,c>0. CMR: Cho a, b, c > 0. CMR: Cho x,y,z>0 . Chứng minh rằng: Hướng 2. Ghép theo điểm rơi Phần này được biên soạn dựa trên phương pháp chọn điểm rơi của tác giả Trần Phương, nó giúp ta có hướng tìm tòi lời giải rất hiệu quả trong bài toán chứng minh BĐT, đặc biệt là các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức có biến số đối xứng. Cho x, y, z >0 và x.y.z = 1. Chứng minh rằng: 1. , 2., 3. Cho a,b,c>0. Tìm GTNN của: Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN của Cho a,b,c>0 và . Tìm GTLN của Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 . Tìm GTLN của Cho a>0, b>0 và a+b=2. Tìm GTLN của Cho a,b,c,d>0, a+b+c+d=1. Tìm GTLN của với a, b, c > 0. Cho CM: ; a,b,c > 0. CMR: ; a,b,c > 0. Cho a,b,c>0, abc=1. CM: Cho a, b không âm. CMR: ( a2+b+ )( b2+a+)(2a+)(2b+) Sau đây là một lớp bài toán thú vị về phương pháp ghép cặp và có nét tương đồng về cách suy luận; Giả thiết rằng các biến số a, b, c đều dương, CMR: 3. Kỹ thuật đánh giá mẫu số Cho x, y, z dương. CMR: . Cho a, b, c dương. CMR: Cho a, b, c>0. CMR: Cho a, b, c, d>0. CMR: Cho a,b,c>0 và a+b+c=2. CMR: Cho a, b, c>0. CMR: Cho a,b>0. Tìm GTNN: Cho a,b,c>0.CMR: Cho x,y,z>0. CMR: Cho x,y,z>0 và CMR: Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3. CMR: Cho Cho a, b,c dương và CMR: CMR: ; với mọi a,b. Cho tam giác ABC, CMR: Cho a, b, c dương. CMR: Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 1. CMR: . Cho x,y,z>0 và x2 + y2 + z2 = xyz. Tìm GTLN của biểu thức: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca = 3. CMR: