Bài giảng Toán 9 - Bài 3: Định lí Viète

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY! KHỞI ĐỘNG Đà lạt thành phố ngàn hoa CÂU HỎI TÌNH HUỐNG Đà Lạt là thành phố du lịch, có khí hậu rất mát mẻ. Nơi đây trồng rất nhiều loại hoa. Để trồng hoa, người ta thường tạo các nhà kính được bao quanh bởi hàng rào dạng hình chữ nhật và tạo mái che bên trên. Giả sử một nhà kính có độ dài các hàng rào bao quanh là 68 m, diện tích trồng hoa là 240 m². Làm thế nào để xác định được chiều dài, chiều rộng của nhà kính trồng hoa trên? BÀI 3: ĐỊNH LÍ VIÈTE NỘI DUNG BÀI HỌC 1 ĐỊNH LÍ VIÈTE 2 TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH 1. ĐỊNH LÍ VIÈTE HOẠT ĐỘNG NHÓM KHĂN PHỦ BÀN 1 Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử phương trình đó có hai nghiệm là x₁, x2. Tính x1+ x2; x1.x2, theo các hệ số a, b, c. Kết quả hoạt động: x + x = - ; x .x = 1 2 . 1 2 Định lí: Nếu x, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: x + x = - ; x .x = 1 2 1 2 Cho phương trình 5x2 – 7x − 3 = 0. Ví dụ 1 a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. b) Tính x₁ + x2; x₁x2. Chứng minh cả hai nghiệm x1, x2 đều khác 0. 1 1 c) Tính + Giải 1 2 a) Phương trình có các hệ số a = 5, b = -7, c = – 3. Lập = (-7)² − 4.5. (-3) = 109 > 0. Vì > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x2. −7 7 3 b) Theo định lí Viète, ta có: x + x = - = ; x .x = 1 2 5 5 1 2 5 3 Vì x .x = ≠ 0 nên x₁ ≠ 0 và x ≠ 0. 1 2 5 2 1 1 1+ 2 7 3 7 c) Tính + = = : = 1 2 1. 2 5 5 3 Thực hành 1: Cho phương trình -4x² + 9x + 1 = 0. a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. b) Tính x₁ + x2 và x₁.x2 c) Tính x1² + x2² Giải a) Phương trình có các hệ số a = -4, b = 9, c = 1. Lập = 9² − 4.(-4).1= 97 > 0. Vì > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x2. 9 9 1 −1 b) Theo định lí Viète, ta có: x + x =- = ; x .x = = 1 2 −4 4 1 2 −4 4 9 2 −1 89 c) Tính x ² + x ² = (x + x )² − 2 x .x = − 2. = 1 2 1 2 1 2 4 4 16 Cho phương trình 3x² - 4x + 1 = 0. Ví dụ 2 a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c. b) Chứng tỏ x₁ = 1 là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm x2 còn lại của phương trình. Giải a) Phương trình có các hệ số a = 3, b = -4, c = 1. Do đó a + b + c = 3 + (-4) + 1 = 0. b) Ta thấy: 3.12 – 4.1 + 1 = 0 nên x₁ = 1 là một nghiệm của phương trình. 1 c) Theo định lí Viète, ta có: x₁x₂ = . 3 1 Do x = 1 nên 1.x₂ = . 1 3 1 Suy ra x₂ = 3 Cho phương trình 2x² + 5x + 3 = 0.. Ví dụ 3 a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a – b + c. b) Chứng tỏ x₁ = –1 là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm x2 còn lại của phương trình. Giải a) Phương trình có các hệ số a = 2, b = 5, c = 3. Do đó a – b + c = 3 – 5 + 2 = 0. b) Ta thấy: 2.(–1)2 + 5. (–1) + 3 = 0 nên x₁ = –1 là một nghiệm của phương trình. 3 c) Theo định lí Viète, ta có: x₁x₂ = . 2 –3 Do x = –1 nên –1.x₂ = . 1 2 –3 Suy ra x₂ = 2 Nhận xét: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a-b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x = - 2 Ví dụ 4 Không tính , giải phương trình 3x² + (2 – 3)x – 2=0. Giải Phương trình có các hệ số a = 3, b = 2 – 3, c = – 2. Ta có: a + b + c = 3 + (2 – 3) + (– 2) = 0. – 2 – 2 3 Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và x₂ = = 3 3 Thực hành 2: Giải phương trình: 4x² − 7x + 3 = 0. Giải Phương trình có các hệ số a = 4, b = –7, c = 3. Ta có: a + b + c = 4 + (–7) + 3 = 0. 3 Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 4 Ví dụ 5 Không tính , giải phương trình 2x² + (1 + 2)x +1=0. Giải Phương trình có các hệ số a = 2, b = 1 + 2, c = 1. Ta có: a – b + c = 2 – (1 + 2) + 1 = 0. – 1 – 2 Do đó phương trình có nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = = 2 2 Thực hành 3: Giải phương trình: 2x²– 9x – 11 = 0. Giải Phương trình có các hệ số a = 2, b = –9, c = –11. Ta có: a – b + c = 2 – (–9) + (–11) = 0. 11 Do đó phương trình có nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 2 2. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH HOẠT ĐỘNG NHÓM 2 Cho hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. a) Gọi một số là x. Tính số còn lại theo x. b) Lập phương trình bậc hai ẩn x. Kết quả hoạt động: a) Số còn lại theo x là: 5 – x b) Theo bài toán ta có x(5 – x) = 6 5x – x2 = 6 x2 – 5x + 6 = 0 Định lí: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P=0. Chú ý: Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0.