Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Ma trận – định thức

CHƯƠNG 2 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC §1. Ma trận 1.1. Các khái niệm 1.2. Các phép toán §2. Định thức 2.1. Định nghĩa 2.2. Các tính chất của định thức §3. Ma trận nghịch đảo §4. Hạng của ma trận §1. Ma trận 1.1. Các khái niệm cơ bản Ma trận cấp m´n là một bảng, gồm m´n số được xếp thành m dòng và n cột, kí hiệu: Am´n = hoặc Am´n=(aij) aij là phần tử nằm trên dòng i cột j của ma trận A Hai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=B Ma trận vuông cấp n là ma trân có n dòng và n cột. Kí hiệu An Đương chéo: khi A là ma trận vuông, các phần tử aii "i tạo thành đường chéo chính, các phần tử an1, an-1 2, ..., a1n tạo thành đường chéo phụ. Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử aij=0 khi "i>j hoặc khi "i<j. A = hoặc Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dòng (véctơ dòng) Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột (vectơ cột) Ma trận không là ma trận có aij = 0 "ij, kí hiệu q Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận được xác định từ ma trận A bằng cách chuyển các dòng thành các cột tương ứng, kí hiệu là AT Ma trận chéo là ma trận vuông có aij=0 "i¹j Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo cấp n có aii=1"i. Ký hiệu In TD: A = Þ AT = (ma trận chuyển vị) A = (ma trận chéo) I3 = (ma trân đơn vị cấp 3) 1.2. Các phép toán trên ma trận Phép cộng hai ma trận cùng cấp Cho A m´n=(aij), B m´n=(bij) Þ A+B=(aij+bij) m´n Phép nhân một số với một ma trận Cho A=(aij)m´n, lỴR Þ lA=(laij) m´n Chú ý: Phép trừ hai ma trận cùng cấp như sau: A-B = A+(-1)B Phép nhân hai ma trận Cho Am´p=(aik) và Bp´n=(bkj) Ta có: A.B = (cij)m´n với cij= (điều kiện A nhân được với B là số cột của A bằng số dòng của B) A B dòng i cột j TD: = 1.3. Các tính chất Giả sử a, b là các số thực; A, B,C, I là các ma trận 1/ A+(B+C)=(B+A)+C; 2/ A+B=B+A 3/ a(bA)=(ab)A; 4/ a(A+B)=aA+aB 5/ (a+b)A=aA+bA 6/ A(BC)=(AB)C 7/ A(B+C)=AB+AC 8/ (AT)T=A 9/ (AB)T=BTAT 10/ a(AB)=(aA)B 11/ AnIn= InAn = An 12/ A+q=q+A=A Nếu A là ma trận vuông ta kí hiệu: An = A.A...A n lần §2. ĐỊNH THỨC 2.1. Ma trận con a) Ma trâïn con cấp k Ma trâïn vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của Amxn, được gọi là ma trận con cấp k của A. b) Ma trận con bù của phần tử aij A là ma trận vuông cấp n, ma trận con cấp n-1 lập từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j được gọi là ma trận con bù của phần tử aij, kí hiệu Mij. TD: Cho ma trận A3= Þ M11=; M12= ; M21 = 2.2. Định nghĩa định thức Cho ma trận vuông An=(aij), ta gọi định thức cấp n của ma trận A là một số, ký hiệu detA hoặc |A|, được định nghĩa như sau: Khi n=1: A1= [a11] Þ detA1=a11 Khi n=2: A2= Þ detA2 = a11detM11-a12detM12 = a11a22- a12a21 Khi n>2: An=(aij) ÞdetA=a11detM11-a12detM12+...+(-1)1+na1ndetM1n (1) TD: Tính các định thức =-2; =(-2+0-6)-(3+8+0)=-19 =-14 Þ=-14 2.2. Các tính chất TC1: detAn=a11detM11-a21detM21+...+(-1)n+1an1detMn1 (2) TC2: Đổi chỗ hai dòng(hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu. TC3: Định thức có hai dòng(cột) giống nhau thì bằng 0. TC4: Gọi phần bù đại số của phần tử aij là: Aij =(-1)i+j detMij (Mij là ma trận con bù của aij), ta có: (3) (4) Hệ quả: Khai triển định thức theo dòng i Khai triển định thức theo cột j TC5: Nếu tất cả các phần tử của một dòng(cột) là tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức. TC6: Thừa số chung của một dòng(cột) có thể đưa ra ngoài định thức. TD: TC7: Định thức có một dòng(cột) bằng 0, thì bằng 0 TC8: Lấy một dòng(cột) nhân với một số rồi cộng tương ứng với một dòng (cột) khác thì định thức không đổi TC9: detAB = detA.detB TC10: detA=detAT 2.3. Cách tính định thức Định thức cấp 2: A = , từ định nghĩa Þ |A|=a11a22-a12a21 (Tích các phần tử trên đường chéo chính trừ tích các phần tử trên đường chéo phụ) Định thức cấp 3 A = |A|=(a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31)-(a13a22a31+a21a12a33+ + a23a32a11) Sơ đồ trực quan: - hoặc ta bổ sung thêm cột 1, cột 2 bên cạnh định thức TD: =-18. Định thức cấp n (n >3) a/ Khai triển định thức theo dòng hoặc cột và kết hợp các tính chất khác. TD: Tính định thức: D= Khai triển theo cột 3, D=1. =-13 Chú ý: Định thức của ma trận tam giác =a11a22 ... ann b) Biến đổi về định thức tam giác TD: Tính D = = =(a+2x)=(a+2x) =(a+2x)(a-x)=(a + 2x)(a - x)2. D== = = = -1=116 §3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa1:Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = In thì ta nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu A-1. Vậy AA-1 = A-1A = In. Định nghĩa 2: Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA ¹ 0. Định lí 1: Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo (khả đảo) khi và chỉ khi A không suy biến. Khi đó A-1 = (Aij là phần bù đại số của aij) Định lí 2: 1/ Nếu A không suy biến thì (A-1)-1 = A 2/ Nếu A, B vuông cùng cấp không suy biến thì A.B có ma trận nghịch đảo: (AB)-1 = B-1A-1. Có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm ma trận nghịch đảo Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận là: Ÿ Đổi chỗ hai dòng cho nhau: di « dj Ÿ Nhân một dòng với một số khác không: ldi ® di Ÿ Nhân một dòng với một số l và cộng vào 1 dòng khác. ldi + dj ® dj Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận ghép [A|In] về [In|B], khi đó B=A-1. TD: Tìm A-1 với A= Þ ÞÞ Vậy A-1 = TD: Cho A là ma trận vuông không suy biến. Xét các phương trình ma trận: Ÿ AX = B Û X = A-1.B (1) Ÿ XA = B Û X = B.A-1 (2) §3. HẠNG CỦA MA TRẬN 3.1. Định nghĩa hạng của ma trận Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức con khác không trong A, kí hiệu là r(A). Vậy: 0£r(A)£ min(m,n) Quy ước: Nếu A là ma trận không, quy ước r(A)=0 Hệ quả: r(A)=r(AT) 3.2. Cách tìm hạng của ma trận a/ Tìm r(A) bằng định nghĩa Định lí: Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì tất cả các định thức con cấp k+1 cũng bằng 0. Hệ quả: Nếu A có tất cả các định thức con cấp k bằng 0 thì r(A)<k Nếu A¹q thì r(A)³1 Nếu có định thức con cấp 2 khác 0 thì r(A)³2 Nếu tất các định thức con cấp 2 bằng 0 thì r(A)=1 Quá trình cứ tiếp tục như vậy, sau một số hữu hạn bước sẽ kết thúc vì r(A)£Min(m,n) TD: Tìm hạng của ma trận A=vì có định thức con cấp 2 khác 0 suy ra r(A)=2 b/ Ma trận bậc thang dòng A = Þr(A)=r Nếu aii¹0 "i thì hạng của ma trận bậc thang bằng r (số dòng của ma trận bậc thang. Định lí 1. Khi thực hiện các phép biến đổi sau trên ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận. 1/ Đổi chỗ hai dòng(cột) cho nhau 2/ Nhân một dòng(cột) với một số l¹0 3/ Nhân một dòng(côt) với một số rồi cộng tương ứng với một dòng(cột) khác 4/ Loại bỏ khỏi ma trận những dong(cột) có tất cả các hệ số bằng 0 TD: Tìm hạng A=ÞA’= ÞA”= Þ r(A) = 2.