Bài tập - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 1 Giới hạn và liên tục 1/ Cách đổi 1 số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: Xét Xét 2/ Chứng minh là 1 số vô tỉ: giả sử là 1 số hữu tỉ và biểu diễn ở dạng phân số tối giản . Khi ấy là số chẵn m cũng là số chẵn vì nếu ngược lại thì m + 1 là số chẵn, giả sử: là số lẻ, mâu thuẫn. Vậy m chẵn chẵn (lập luận tương tự như trên). Ta được cả m và n đều là những số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết tối giản của phân số 3/ Nguyên lí Supremum: định nghĩa 1.3.a: Số u được gọi là cận trên của tập các số thực S, nếu . Số được gọi là cận trên đúng (or cận trên nhỏ nhất) của S nếu là cận trên của S và với mọi cận trên u của S. ( còn được gọi là giới hạn trên của dãy số thực S) Kí hiệu: , or định nghĩa 1.3.b: Số v được gọi là cận dưới của tập các số thực S, nếu . Số được gọi là cận dưới đúng (or cận dưới nhỏ nhất) của S nếu là cận trên của S và với mọi cận dưới v của S. ( còn được gọi là giới hạn dưới của dãy số thực S) Kí hiệu: , or VD: Cho các tập: . Ta có: Inf A 1; sup A 5 Inf B 3; không tồn tại sup B (trong trường hợp này ta quy ước ) Inf C 0; sup C 1 4/ Định nghĩa giới hạn: với ε là 1 vô cùng bé tiến đến 0 5/ Chứng minh: Giải: Lấy . Vậy với n > 1, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: mà 6/ Dãy con: Cho dãy . Nếu từ đó ta trích ra các số: sao cho thì dãy được gọi là dãy con của dãy Định lí: Nếu dãy có giới hạn a thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn a Chứng minh: cho và là 1 dãy con của nó. Với ( là 1 số vô cùng bé), vì (định nghĩa giới hạn) (đọc là vì dãy tiến đến a nên tồn tại số N sao cho với mọi n > N thì là 1 số vô cùng bé) Đối với dãy con , lấy số Hệ quả: 1/ Nếu tồn tại 1 dãy con (của dãy ) không tiến tới a thì cũng không tiến tới a 2/ Nếu tồn tại 2 dãy con (của cùng 1 dãy ) tiến tới 2 giới hạn khác nhau thì dãy không có giới hạn. VD: Cho . Khi ấy các dãy con: Vậy dãy không có giới hạn. 6/ Dãy đơn điệu: định nghĩa: Dãy được gọi là dãy tăng nếu Dãy được gọi là dãy giảm nếu Dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Định lí: Dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn trên. Dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn dưới. Chứng minh: Giả sử dãy tăng và bị chặn trên. Xét tập gồm tất cả các phần tử của dãy. Vậy tập S khác rỗng và bị chặn trên, nên có S có cận trên đúng theo nguyên lí Supremum. Ta chứng minh : Khi ấy, từ tính tăng của dãy, ta có: thì: VD: Tính: Giải: đặt với dãy giảm. Mặt khác dãy bị chặn dưới (> 0), nên có giới hạn, ta kí hiệu giới hạn đó là a. Vậy 7/ Để chứng minh hàm f(x) không tiến tới a khi , ta xây dựng 2 dãy và cùng tiến tới nhưng sao cho và 1 trong 2 số b hoặc c phải khác a. VD: chứng minh không tồn tại: . Giải: lấy . Khi ấy ta có . Vậy khi x → 0 thì f(x) không có giới hạn. Định lí: (1) nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. (2) nếu dãy số hội tụ thì nó giới nội, tức là tồn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử xn. Cm: (1) giả sử . Khi đó tồn tại (tập số tự nhiên N bỏ số 0) sao cho: (ε là một vô cùng bé, ε 0) Đặt . Với Vì (2) giả sử . Khi đó tồn tại sao cho . Gọi b là số bé nhất, c là số lớn nhất của tập hữu hạn 8/ Định lí: (1) cho 2 dãy số . Nếu thì ab (2) cho 3 dãy số Nếu Cm: (1) ta cm bằng phản chứng. Giả sử a < b. Khi đó tồn tại số r sao cho a < r < b. Vì . Điều này mâu thuẫn với giả thiết . (2) Vì . 9/ Định lí Cantor: cho 2 dãy số sao cho Cm: chọn một số nguyên dương n cố định bất kì. Ta có Dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Giả sử Vậy . Điểm c là duy nhất, vì nếu d cũng là điểm chung của mọi đoạn thì ta có: . Nhưng . Định nghĩa: dãy các đoạn thỏa mãn điều kiện được gọi là dãy các đoạn bao nhau. 10/ Định lí Bolzano – Weierstrass: từ mọi dãy số giới nội ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ. Cm: ta dùng phuong pháp chia đôi. Dãy giới nội nên tồn tại 2 số ao, bo sao cho . Điểm chia đoạn thành 2 đoạn . Ta chọn đoạn và đặt . Ta có Lại chia đoạn làm 2 bởi điểm . Ta chọn đoạn và đặt . Ta có , và cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được 1 dãy các đoạn thẳng bao nhau: . Theo định lí Cantor, tồn tại 1 số thực duy nhất . Vì mỗi đoạn đều chứa vô số phần tử của dãy , ta có thể lấy trong mỗi đoạn 1 điểm của dãy . Dãy là 1 dãy con của dãy . Vì 2 số và c đều cùng thuộc đoạn 11/ Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Định nghĩa: dãy số được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu Định lí 1: dãy Cauchy là 1 dãy giới nội Cm: giả sử là 1 dãy Cauchy. Khi đó tồn tại (tập số tự nhiên N bỏ số 0) sao cho khi Nhưng Đặt Định lí: điều kiện để dãy số thực hội tụ là nó là dãy Cauchy Cm: giả sử dãy hội tụ, . Khi đó . Vậy là dãy Cauchy. Đảo lại: giả sử là dãy Cauchy, theo định lí 1 nó là 1 dãy giới nội, theo định lí Bolzano – Weierstrass, ta có thể trích ra 1 dãy con hội tụ . Giả sử , ta có: Vì , vì là dãy Cauchy 12/ giới hạn lim , dạng vô định Tìm Ta có: 13/ Vô cùng bé: Định nghĩa: hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi nếu (ở đây có thể là ±∞) trong đó α(x) là vô cùng bé khi So sánh các vô cùng bé: Cho α(x), β(x) là vô cùng bé khi . Chúng được gọi là những vô cùng bé so sánh được nếu tồn tại giới hạn: khi đó, nếu: a/ c ≠ 0, c ≠ ∞ thì ta nói α(x), β(x) là những vô cùng bé cùng cấp b/ c 0, ta nói α(x) là vô cùng bé cấp cao hơn β(x), và kí hiệu: (khi ) (đọc là o – micro của β(x)) c/ Tồn tại r > 0 sao cho α(x) cùng cấp với thì ta nói α(x) là vô cùng bé cấp r đối với β(x). VD1: , vì x là vô cùng bé và bị chặn VD2: VD3: VD4: VD3: Vô cùng bé tương đương và giới hạn: Định nghĩa: Cho α(x), β(x) là vô cùng bé khi . Chúng được gọi là những vô cùng bé tương đương nếu : Khi đó ta viết: . Các tính chất của vô cùng bé tương đương (khi ): a/ Rút ra từ: b/ c/ Cho d/ e/ Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao (số nhỏ hơn): Cho ( là vô cùng bé cấp cao hơn ) giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số 2 vô cùng bé cấp thấp của tử và mẫu. Khi : Nếu lấy g/ VD1: Tính: Ta có: khi : 0(x) là vô cùng bé của x khi Vậy VD2: tính 14. Vô cùng lớn: Định nghĩa: hàm số y f(x) được gọi là vô cùng bé khi nếu f(x) là vô cùng lớn là vô cùng bé Cho f(x), g(x) là các vô cùng lớn và khi đó, nếu: a/ c ≠ 0, c ≠ ∞ thì ta nói f(x), g(x) là những vô cùng lớn cùng cấp b/ c 1 thì ta nói f(x), g(x) là những vô cùng lớn tương đương. c/ nếu ta nói f(x) là vô cùng lớn cấp cao hơn g(x). d/ Nếu f(x), g(x) là các vô cùng lớn khác cấp, thi2 f(x) + g(x) tương đương vô cùng lớn cấp cao hơn. e/ giới hạn của có thẻ được thay giới hạn các vô cùng lớn tương đương. VD1: Ta có: VD2: Ta có: Với x > 1: [x] là phần nguyên của x 15. hàm số liên tục: Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là liên tục tại nếu nó xác định tại điểm ấy và . Nếu thì hàm số cũng liên tục tại Định lí 1: Nếu f(x) liên tục tại và , khi ấy sẽ có 1 δ – lân cận của sao cho với mọi x thuộc lân cận ấy (và thuộc miền xác định của f(x)) ta có f(x) > 0 Chứng minh: Vì , nên , với ε đó, từ định nghĩa giới hạn, ta có: điều đó có ngỉa là với – lân cận của ta có: Phân loại điểm gián đoạn: định nghĩa: hàm f(x) được gọi là liên tục trái tại nếu nó xác định tại và f(x) được gọi là liên tục phải tại nếu nó xác định tại và hàm f(x) liên tục tại tương đương f(x) liên tục trái và liên tục phải tại VD1: hàm f(x) [x] liên tục phải tại k Z nhưng không liên tục tại k VD2: hàm Dirichlet: không liên tục tại mọi điểm x R Cho . Theo tính chất của số thực, tồn tại dãy số vô tỉ hội tụ đến . Khi ấy: Vậy f(x) không liên tục tại . Tương tự f(x) không liên tục tại các điểm vô tỉ. Định nghĩa: Nếu f(x) không liên tục tại thì điểm được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x). a/ Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn: được gọi là điểm gián đoạn loại 1 – điểm khử được nếu được gọi là điểm gián đoạn loại 1 – điểm nhảy nếu . Khi ấy hiệu số: được gọi là bước nhảy của f(x) tại . b/ được gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu: VD3: có x 2 là điểm gián đoạn khử được. VD4: Khảo sát hàm số: hàm số không xác định tại Vậy x –1 là điểm gián đoạn loại 2. Các điểm x 0 và x 1 là điểm gián đoạn khử được. Bài tập: 1/ Cho dãy chứng minh: Với mọi ε > 0 cho trước, do nên Nếu 2/ chứng minh: a/ Gọi thì b > 1 nên ta có thể đặt b/ chứng minh: Giải: nếu a > 1, ta có: mà theo định lí về dãy bị kẹp thì Nếu , đặt khi đó 3/ Cho dãy Hãy chỉ ra sai sót trong lập luận sau: Công thức lim của tổng bằng tổng các lim chỉ áp dụng cho trường hợp tổng hữu hạn, nghĩa là các số hạng không phụ thuộc vào n Ta có: 4/ Cho dãy được định nghĩa bằng qui nạp như sau: a/ chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên b/ Tính ta chứng minh : . Giả sử , khi đó . Vậy theo qui nạp Vì do đó: b/ Vì là dãy tăng và bị chặn nên tồn tại. Đặt . Qua giới hạn đẳng thức , ta được 5/ Cho là dãy hội tụ, là dãy phân kì dãy có thể hội tụ, có thể phân kì VD: chọn là dãy hội tụ chọn là dãy phân kì không tồn tại. 6/ Cho dãy số dương . Giả sử Do nên tồn tại số sao cho . Với đã cho, vì sao cho: Suy ra: Qua giới hạn từ bất đẳng thức: Với ta có: Với 7/ Từ bất đẳng thức không tồn tại. Xét 2 dãy khi đó: như vậy 2 dãy có cùng giới hạn là 0 nhưng 2 dãy hàm tương ứng có 2 giới hạn khác nhau nên không tồn tại tương tự: không tồn tại. 8/ Tính Nhân và chia với lượng liên hiệp của tử và mẫu ta được: 9/ Tính Đặt Với Giả sử đúng. Ta chứng minh: . Cách 2: . 11/ 12/ 13/ Vì 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ Xét tính liên tục của hàm: , các hàm sinx, x đều liên tục tại nên cũng liên tục tại . . Vậy f(x) cũng liên tục tại 0. 21/ Xét tính liên tục của hàm: liên tục nên f(x) liên tục. không tồn tại nên f(x) không liên tục tại 0. 22/ Giả sử: đúng. Ta chứng minh: 23/ Đặt 24/ 25/ Cho 26/ Cho Ta nhận thấy các số hạng có mẫu giống nhau khi: Ta có: là dãy cấp số nhân là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Chứng minh: Dãy 27/ Tính Giải: ta có 28/ 29/ 30/ 31/ Tìm để khử dạng vô định này ta thực hiện phép đổi biến , khi đó: 32/ 33/ vì oo: ∞ >=: ≥ <=: ≤ u`: µ anpha: α x`: × ;; : ÷ =/ : ≠ +-: ± 1`: ↑ 2`: ↓ → ← ≈ e`: ∂ denta: ∆ − 0`: θ n`: η ζ eq1: ε teta: δ γ beta: β ι κ lamda: λ ξ ρ ς σ τ υ fi: φ : χ ψ omega: ω ~ o/: Ø Φ г б ==: ≡ pi: π