Bài tập chuyên đề Đại số tổ hợp, xác suất

I. Các bài toán về phép đếm, Chỉnh hợp và Tổ hợp. A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân. 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) a) Hoán vị ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: Pn Pn = n! = n(n-1)...2.1 P1 = 1; Quy ước: P0 = 0! = 1 b) Chỉnh hợp ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử (của tập A). Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: ; Quy ước c) Tổ hợp ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: ; Chú ý: TChất: B. Bài tập Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số Pn; ; Bài 1. Giải các PT, BPT: a) ĐS: n = 6. b) ĐS: n 2. c) ĐS: n = 5. d) ĐS: n = {3; 4} Bài 2. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0 ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). Bài 3. Tính giá trị của biểu thức nếu . ĐS: 3/4. Bài 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử. Bài 5. Chứng minh rằng: Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Bài 6. Có 6 phong bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau. Người ta chọn và dán 3 tem lên 3 bì thư, mỗi bì thư gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm? ĐS: 1200. Bài 7(ĐH K D - 2004).Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. ĐS: 56.875 cách. Bài 8 (ĐH K B - 2005). Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. ĐS: Bài 9. (ĐH K D- 2006). Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225 cách Bài 10. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách Bài 11. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách Bài 12. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. ĐS: 150 cách Bài 13. Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có một nam sinh tên là Cường, và một nữ sinh tên Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và Cường. Hỏi có bao nhiêu cách lập? ĐS: 260 cách. Bài 14. Cho hình thập giác đều. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác Hỏi có nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác đó ? ĐS: 10 Bài 15. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau. ĐS: 360 số Bài 16. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường. Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường. ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! Bài 17 ( chọn vị trí). Cho tập hợp A = { 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập A lập được bao nhiêu số: Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện đúng hai lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần? Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 1 xuất hiện hai lần, số 2 xuất hiện ba lần còn các số khác xuất hiện không quá 1 lần? ĐS: a) 360; b) 1260. Bài 18 ( chia trường hợp). Đội ôn thi HSG có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A1, 4 học sinh lớp A2, 3 học sinh lớp A3. Cần chọn 4 học sinh đi dự thi HSG cấp thành phố, sao cho mỗi lớp có ít nhất một học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết khả nằng mỗi học sinh là như nhau? ĐS: 270. Bài 19 (tạo vách ngăn). Có 6 học sinh nam và 2 học sinh nữ được xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau? ĐS: 30240. Bài 20 ( buộc các phần tử). Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A1, 3 học sinh lớp A2, 5 học sinh lớp A3. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang, sao cho 5 học sinh lớp A3 đứng cạnh nhau? ĐS: 8!.5!. Bài 21 ( xếp bàn tròn). Có bao nhiêu các xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? ĐS: 1440. Bài 22. Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba trong 10 điểm đã cho. Biết: 10 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng. Trong 10 điểm có đúng 5 điểm thẳng hàng. Bài 23. Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên n có 5 chữ số lập được từ X. Tính tổng các số này. Bài 24. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ĐS: 5880 số. Bài 25. Tìm số các nghiệm nguyên dương (x, y, z) của phương trình: x + y + z = 10. II. Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton A. Kiến thức cơ bản Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dương ta có: (1) Số hạng thứ k+1 là Tk+1 = 0 k n (2) Khai triển đặc biệt: (3) B. Bài tập Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bài 26. (ĐH KB - 2007). Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng ĐS: n = 11, hsố = 22 Bài 27 (ĐH KD - 2007). Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Bài 28 (ĐH KA - 2006). Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng . ĐS: n =10, hsố = 210. Bài 29 (ĐH KA - 2004). Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = ĐS: 238. Bài 30 (ĐH KD - 2004). Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton với x > 0. ĐS: 35. Bài 31 (ĐH KD - 2003). Với n là số nguyên dương, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n. ĐS: n = 5. Bài 32. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển ĐS: 8 và 4536. Bài 33. Xét khai triển (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + ...+a9x9. Tìm Max{ai, i = 1, 9} ĐS: a5=a6. Bài 34. Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 +...+anxn. Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10. Bài 35(ĐH-KA-2012). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Nui-tơn của ĐS: III. Xác suất A. Tóm tắt lí thuyết (SGK) B. Bài tập Bài 36 (ĐH-KB-2012). Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. ĐS: . Bài 37. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau: Lấy được ba viên bi màu đỏ. Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220. Bài 38. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để Có 4 khách nam và 2 khách nữ. Có ít nhất hai khách nữ. ĐS: 1)3/7; 2) 27/42. Bài 39. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1toa có 1 người, hai toa còn lại không có người nào trong 4 người đó. ĐS: 3/16. Bài 40. Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. ĐS: 2/3. Bài 41. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thưởng giống nhau. ĐS: 5/18. Bài 42. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi màu trắng, 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết kết quả lấy bi ở mỗi hộp là độc lập, tính xác suất của biến cố lấy được. 1) A = “ hai bi cùng màu” 2) B = “ hai bi khác màu” ĐS: Bài 43. Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9. ĐS: . Bài 44. Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thưởng. Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có hai vé trúng thưởng. Bài 45. Có 5 học sinh nam và 3 hoc sinh nữ xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau? ĐS: . Bài 46. Một thí sinh tham dự một kì thi gồm 3 vòng, trượt vòng nào thì không được tham gia vòng sau. Biết xác suất vượt qua các vòng lần lượt là: vòng 1 là 80%, vòng 2 là 60%, vòng 3 là 40%. Tính xác suất của các biến cố sau: A = “ thí sinh này trượt ngay vòng 1” B = “ thí sinh này vượt qua vòng 2 nhưng không qua vòng 3” ĐS: P(A) = 20%; P(B) = 0,288. Bài 47. Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi người tương ứng là 90% và 70%. Tìm xác suất của các biến cố sau: Cả hai đều đỗ. Có ít nhất một người đỗ. Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt. ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%. Bài 48. Ba người A, B, C bắn súng độc lập với nhau cùng nhằm vào một mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tương ứng là 0,7; 0,6; 0,5. Tính xác suất để A = “ A bắn trúng còn B và C bắn trượt”; B = “ ít nhất một người bắn trúng” ĐS: a) 0,14; b) 0,94. Bài 49. Có ba lô hàng. Người ta lấy ra một cách ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Biết rằng xác suất để được sản phẩm có chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9. Hãy tính xác suất để : Trong ba sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt. Trong ba sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm tốt. ĐS: a, 0,994; b, 0,092. Bài 50. Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng một trận là 0,4 ( không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95? ĐS: n = 6. Bài 51. Một xạ thủ được bắn hai viên đạn, xác suất bắn được điểm 10 của mỗi lần bắn là 0,7 và 0,9. Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10. ĐS: 0,27. Bài 52. Một xạ thủ được bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng dưới 8 điểm là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. (các vòng bắn độc lập với nhau). ĐS: 0,0935.