Bài tập đại số và giải tích 11 – Tổ hợp và xác suất – Chuyên đề: Xác suất

Chuyên đề : Xác xuất Lý thuyết Biến cố và xác suất của biến cố Biến cố Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà + Kết quả của nó không đoán trước được + Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Phép thử thường được ký hiệu bởi chữ T Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi chữ Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu . Khi đó, người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập Xác suất của biến cố Là một số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất của biến cố Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và là tập các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một biến cố, ký hiệu P(A), được xác định bởi công thức () Định nghĩa thống kê của xác suất Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần. Khi đó + Số lần xuất hiện của biến cố A được gọi là tần số của A trong khi n lần thực hiện phép thử T + Tỉ số giữa tần số của A với số N đượcgọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T Các quy tắc tính xác suất Quy tắc cộng xác suất Biến cố hợp : Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra” , ký hiệu được gọi là hợp của hai biến cố A và B Các kết quả thuận lợi cho là Phát biểu tổng quát cho k biến cố . Biến cố “ít nhất một trong các biến cố xảy ra”. Ký hiệu được gọi là hợp của k biến cố Biến cố xung khắc : Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra Hai biến cố được gọi là xung khắc nếu Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là : Tổng quát : Cho k biến cố đôi một xung khắc thì Biến cố đối : Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, ký hiệu được gọi là biến cố đối của A Nếu là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập các kết quả thuận lợi cho là Ta nói A và là hai biến cố đối nhau. Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối là : J Chú ý : Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc đã là hai biến cố đối nhau Quy tắc nhân xác suất Biến cố giao : Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra” , ký hiệu AB được gọi là giao của hai biến cố A và B Nếu và lần lượt là các kết quả thuận lợi cho hai biến cố A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho cả A và B là Phát biểu tổng quát cho k biến cố . Biến cố “Tất cả k biến cố đều xảy ra”, ký hiệu được gọi là giao của các biến cố Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì và ; và ; và cũng độc lập với nhau Phát biểu tổng quát cho k biến cố ; k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì Nhận xét : nếu thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau Biến ngẫu nhiên rời rạc Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó và giá trị ấy ngẫu nhiên, không dự đoán trước được 2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc ã Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị . Để hiểu rõ hơn về X người ta quan tâm tớ xác suất để X nhận giá trị tức là các số Người ta đã chứng minh được rằng Kỳ vọng : Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Kỳ vọng của X ký hiệu là E(X) là một số được tính theo công thức ở đó ã Y nghĩa : E(X) là một số cho ta một khái niệm về độ lớn trung bình của X. Vì thế kỳ vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X. - Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tập các giá trị của X 4. Phương sai và độ lệch chuẩn ã Phương sai : Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị . Phương sai của X ký hiệu V(X) , là một số được tính theo công thức ở đó và - Hoặc trong khi thực hành thường được tính theo công thức : - Y nghĩa : Phương sai là một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn ã Độ lệch chuẩn : Căn bậc hai của phương sai, ký hiệu được gọi là độ lệch chuẩn của X Bài tập Tính xác suất xảy ra của các biến cố Bài 1 : Cho ba biến cố A, B, C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C Chỉ xảy ra A A, B xảy ra nhưng C không xảy ra Có ít nhất một biến cố xảy ra Có ít nhất hai biến cố xảy ra Tất cả đều xảy ra Không biến cố nào xảy ra Có đúng hai biến cố xảy ra Bài 2 : Hai con súc sắc được gieo Xây dựng không gian mẫu Xác định các biến cố sau + A : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là chẵn” + B : “ít nhất một con xuất hiện mặt một chấm” + C : “Tổng số chấm là 5” Miêu tả các biến cố : Bài 3 : Tìm xác suất khi xếp ngẫu nhiên một bộ sách gồm 5 tập lên giá thì nó được xếp đúng thứ tự Bài 4 : Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất Tổng số chấm xuất hiện trên các mặt bằng 5 Hiệu số chấm xuất hiện có trị tuyệt đối nhỏ bằng 3 Bài 5 : Trong hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng cùng kích cỡ. Lấy ra hai viên bất kỳ. Tính xác suất để trong đó có 2 viên bi đỏ ít nhất một viên bi đỏ Viên thứ hai màu đỏ Bài 6 : Trong một buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ, trong đó có 3 cặp là vợ chồng. Chọn ra 3 người bất kỳ. Tìm xác suất để trong đó Có đúng một nam Cả 3 đều là nữ Không có cặp vợ chồng nào Bài 7 : Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm. Tìm xác suất để khi lấy ra 30 sản phẩm trong đó không có quá 3 phế phẩm Bài 8 : Xếp ngẫu nhiên 10 khách đi tàu lên 3 toa tàu. Hãy tìm xác suất để Toa đầu có ba khách Toa đầu có 3 khách và toa thứ hai có 4 khách Một toa có ba khách và một toa khác có 4 khách, toa còn lại có 3 khách Bài 9 : Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 12 giỏi, 30 khá và 8 trung bình. Chọn ra 5 người bất kỳ. Tìm xác suất để Cả 5 đều là học sinh trung bình Có ít nhất một học sinh giỏi Bài 10 : Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại gồm 4 chữ số của một tổng đài nội bộ. Tìm các xác suất Cả 4 chữ số đều khác nhau Có đúng hai chữ số trùng Bài 11 : Trong 20 vé có 4 vé trúng thưởng. Một người mua 3 vé. Tìm xác suất để người đó trúng thưởng Bài 12 : Một bộ bài tú lơ khơ được chia đều cho 4 người. Tính xác suất sao cho Có một người nhận được 13 quân cơ Mỗi người đều nhận được một quân át Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 13 : Một xạ thủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn lần lượt từng viên cho tới khi trúng thì dừng bắn. Tìm bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn , biết xác suất bắn trúng của mỗi lần là 0,6 Bài 14 : Từ một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm, người ta chọn ra 5 sản phẩm bất kỳ để kiểm tra chất lượng. Lập bảng phân phối xác suất của số phế phẩm trong sản phẩm chọn ra Bài 15 : Gieo đồng thời hai con xúc xắc . Gọi và tương ứng là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai. Tìm bảng phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên sau Bài 16 : Một cơ quan có 3 ôtô với xác suất bị hỏng trong ngày làm việc của mỗi xe tương ứng là 0,01; 0,005 ; 0,001. Tìm bảng xác suất của số xe hỏng trong ngày và dựng đồ thị phân phối của nó Bài 17 : Cho bảng phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X 0 1 2 3 4 5 6 7 0 Xác định Tính và Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho Bài 18 : Tìm kỳ vọng của số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc Bài 28 : Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau -1 0 1 0,2 0,3 0,5 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X Bài 29 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau 1 3 5 7 9 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X