Bài tập Dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy I/Bài toán : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng Ax Vuồng góc với (P) tại A lấy S A . Gọi AA, BB,CC là các đường cao trong tam giác ABC ; H là trực tâm. Gọi BB’,CC’ là các đường cao trong tam giác SBC . K là trực tâm . 1/ CMR : a/ S,K,Athẳng hàng. b/ SB (CCC’) và SC (BBB’). c/ HK (SBC). 2/Chứng minh 6 điểm H,C,B,B’,K,Anằm trên một mặt cầu. 3/ Giả sử Ax cắt HK tại D . CMR tứ diện SBCD là tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc. 4/ CMR : Khi S thay đổi trên Ax thì tích SA.AD không đổi. Khi tam giác ABC đều cạnh a thì SA.AD bằng bao nhiêu. 5/ CMR : Khi S thay đổi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện luôn chứa một đường tròn cố định. 6/Tính thể tích tứ diện SBCD. Tìm vị trí của S để thể tích này lớn nhất. Hướng dẫn giải: a/ BC AA BC SA BC SA nên SA là đường cao nên S,K,A thẳng hàng. b/ Cm CC(SAB) do ( CCAB ; SA AB ) CM tương tự ta có SC (BBB’). c/Chỉ ra : HK (CCC’)SB HK SB. HK (BBB’)SC HK SC. HK (SBC). 2/CM : B,B’,K,A cùng nhìn HC dưới một góc vuông. 3/Ta có AD BC , BD (BBB’) SC SC BD DC (CCC’) SB DC SB đpcm. 4/ Ax thay đổi : * Cm đồng dạng với HAD Nên (không đổi). *Khi ABC đều cạnh a ta có AA=; AH = . Nên SA.AD = . 5/ Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD tứ giác SBDE nội tiếp trong một đường tròn SA.SD = AB.AE AE = (không đổi) E cố định mặt cầu luôn đi qua đường tròn cố định (đường tròn ngoại tiếp BCE). II/ Luyện tập : Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc với đáy ABC và SA =a. M là một điểm thay đổi trên AB. Đặt góc ACM = , hạ SH CM. 1/ Tìm quĩ tích điểm H; suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. 2/ Hạ AI SC , AK SH. Tính độ dài AK , SK và thể tích tứ diện SAIK. Hướng đẫn giải : 1/* Ta có H nằm trên đường tròn đường kính AC trong mặt phẳng (ABC). Nhưng M thay đổi từ ÀB nên H nằm trên cung AE của đường tròn trên (E là trung điểm của BC). *Ta có .Nhưng do SA không đổi nên max khi và chỉ khi max vuông cân ở H ,cạnh huyền AC = a. Vậy max=(đvdt). 2/ Hạ AISC. I là trung điểm của SC (AC=SC=a) AK SH. Ta có AH = a.sin. * mà theo cm t: Như vậy : (đv thể tích). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Có SA vuông góc với đáy ABC . Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho AC = a, góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC là . a/ Trong mặt (SAC) từ A hạ SFSC . CMR : AF (SBC) b/ Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC)theo a và . Hướng dẫn giải: a/ Cm : góc Ta có b/Kẻ OH // AF vì nên khoảng cách từ Oà (SBC) là: . Ví dụ 3 :Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vvới cả ba góc nhọn. Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A ,lâý điểm M . Dựng BKAC, BH CM . Đường thẳng KH cắt (d) tại N. a/ CMR : BNCM . b/ CMR : BM CN. c/ Hãy chỉ ra cách dựng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất. Hướng đẫn giải: a/ Ta có mà , b/ Ta có (1) Trong tam giác MNC có (vì )K là trực tâm nên (2) Từ (1),(2) ta có . c/ Vì K là trực tâm của tam giác CMN nên ta có: đồng dạng với . (không đổi). Vậy khi M di động trên (d) tích AM.AN không đổi nên MN=AM+AN nhỏ nhất khi AM=AN=. III/Bài tập tự giải : Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA(ABC). Đặt SA =h. a/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a,h. b/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC. CMR : OH(SBC). Bài 2 : Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ; K là trực tâm của tam giác BCM . a/ CMR : MC (BHK), HK(BMC). b/ Khi M thay đổi trên (d). Tìm giá trị max của thể tích tứ diện KABC. Đ/s : Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại A , cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH SA , BK SC. Chứng minh rằng SC (BHK) và hãy tính diện tích tam giác BHK. Biết rằng AC= a , Bc = a,SB = a. Đ/s : . Kết luận : Dưới đây là ý kiến rút ra tử bản thân tôi và sẽ có nhiều thiếu sót rất mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến cho ý kiến trên để có sự hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Người viết: Phạm Văn Bằng