Bài tập dạng vô định

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 1 Giới hạn dạng vô định là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản trình bày trong Sách giáo khoa. Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định của hàm số, ta phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định của giới hạn Trong chƣơng trình toán THPT, các dạng vô định thƣờng gặp là : 0 , , , 0. , 1 0     Sau đây là nội dung từng dạng cụ thể. I. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 Giới hạn dạng vô định 0 0 là một trong những giới hạn thƣờng gặp nhất đối với bài toán tính giới hạn của hàm số. Để tính các giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, ) để khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đƣa về tính giới hạn xác định. Chính các thành phần có giới hạn bằng 0 này gây nên dạng vô định. Để tính giới hạn dạng vô định 0 0 , trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhận dạng. 1. Nhận dạng giới hạn vô định 0 0 Để giải bài toán tìm giới hạn của hàm số, học sinh cần xác định giới hạn cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định. Nếu giới hạn đó là vô định thì phải xét xem nó thuộc dạng vô định nào để có phƣơng pháp giải thích hợp. Bởi vậy việc rèn luyện kỹ năng nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định hƣớng đƣợc cách giải, tránh những sai xót có thể mắc phải. Đối với dạng vô định 0 0 , việc nhận dạng không khó khăn lắm vì học sinh thƣờng gặp giới hạn : 0x x f(x) lim g(x) mà 0 0x x x x lim f(x) = lim g(x) = 0   WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 2 Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp 0x x f(x) lim g(x) mà 0 0 f(x ) = (x ) = 0g . Ngoài ra trong một số bài toán học sinh phải thực hiện các phép biến đổi để chuyển về dạng vô định 0 0 , sau đó mới áp dụng các phƣơng pháp khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa ra một số bài toán để nhấn mạnh cho học sinh việc nhận dạng nhƣ : 0x x f(x) lim g(x) mà 0x x lim f(x) 0   hoặc 0x x lim g(x) 0   Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng ngay phƣơng pháp giải. Ví dụ áp dụng : (Yêu cầu chung của những bài tập là : “ Tính các giới hạn sau”). Ví dụ 1 : 1 2x 2 x - 2 L = lim x +1 Bài giải : 1 2 2x 2 = x - 2 2 - 2 L = lim 0 x +1 2 1   Ví dụ 2 : 2 2x 1 - x + 2 L = lim x 1 Bài giải : 2 2x 1 - x + 2 L = lim = x 1  vì 1 2 2 1 lim(x+2) = 1+2 = 3 lim(x - 1) = 1 - 1 = 0 x x      Ví dụ 3 : 3 2x 1 1 3 L = lim x 1 x 1          Bài giải : 2 2 2x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 3 x 3x +2 L = lim lim 3 x 1 x 1 x 1 (x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1 lim lim (x 1)(x+1) (x+1) 1+1 2                               WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 3 Dạng vô định 0 0 đƣợc nghiên cứu với các loại cụ thể sau : 2. Loại 1 : 0x x f(x) lim g(x) mà f(x), g(x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là (x – x0). Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) và g(x) = (x – x0).g1(x). Khi đó : 0 1 1 0 0 00 1 1 x x x x x x ) ) (x - x f (x) f (x)f(x) lim lim lim g(x) (x - x g (x) g (x)     Nếu giới hạn 1 0 1 x x f (x) lim g (x) vẫn ở dạng vô định 0 0 thì ta lặp lại quá trình khử đến khi không còn dạng vô định. Ví dụ áp dụng : Ví dụ 4 : 2 4 2x 2 2x - 5x +2 L = lim x +x - 6 Bài giải : Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2 2 4 2x 2 x 2 x 2 = 2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1) L = lim lim (x - 2)(x + 3)x +x - 6 2x - 1 2.2 1 3 lim x + 3 2 3 5          Vậy 4 3 L 5  Ví dụ 5 : 2 5 x 2 2 x - 3x +2 L = lim - 4x + 4x Bài giải : 2 25 x 2 x 2 x 2 2 = x - 3x +2 (x - 2)(x - 1) L = lim lim (x - 2)- 4x + 4 x - 1 lim x - 2 x      ( Vì giới hạn của tử bằng 1, giới hạn của mẫu bằng 0) Vậy 4L  WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 4 Ví dụ 6 : 2 2 3 n * 6 3 mx 1 + + x+x x +...+x - n L lim (m, n N ) x+x x +...+x - m   Bài giải : Ta sẽ phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x – 1 bằng cách tách và nhóm nhƣ sau : x + x 2 + x 3 + ... + x n – n = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xn - 1) x + x 2 + x 3 + ... + x m – m = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xm - 1) Khi đó: 22 2 2x 1 x 1 3 n3 n 6 3 m 3 m 1 - 1)+( - 1)+ + 1 - 1)+( - 1) lim lim (x- )+(x x +...+(x - 1)x+x x +...+x - n L x+x x +...+x - m (x- )+(x x +...+(x - 1)    x 1 n-1 n-2 m-1 m-2 1 1 + (x + 1) +...+ ( ) 1 1 + (x + 1) +...+ ( ) lim (x- ) 1 (x- ) +1 x + x +...+ x + x + x +...+ x              n-1 n-2 m-1 m-2x 1 1 + (x + 1) +...+ (x + x +...+ x +1) lim 1 + (x + 1) +...+ (x + x +...+ x +1)  n-1 n-2 m-1 m-2 1 + (1 +1) +...+ (1 + 1 +...+ 1 +1) 1 + (1 +1) +...+ (1 + 1 +...+ 1 +1)  n(n + 1) 1 2 3 ... n n(n + 1)2 m(m + 1)1 2 3 ... m m(m + 1) 2            Vậy 6 n(n + 1) L m(m + 1)  Ví dụ 7 : 4 3 2 7 4 3 2 1 2x - 5x +3x + x - 1 L lim 3x - 8x + 6x - 1x  Bài giải : 3 2 7 3 2x 1 3 2 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 x 1 x 1 x 1 = (x-1)(2x - 3x +1) L = lim (x-1)(3x - 5x +x+1) 2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1) = = 3x - 5x + x +1 (x-1)(3x - 2x -1) 2x - 5x +3x + x - 1 lim 3x - 8x + 6x - 1 lim lim     2 2x 1 x 1 x 1 2x - x -1 (x -1)(2x+1) = lim = lim 3x - 2x -1 (x -1)(3x+1) 2x+1 2.1+1 3 = lim = = 3x+1 3.1+1 4     WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 5 Vậy 7 3 L = 4 Kết luận: Phƣơng pháp để giải bài tập loại này là phân tích đa thức thành nhân tử với nhân tử chung là x - x0. Yêu cầu đối với học sinh là : Phải nắm vững các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân tử: 2 0 0 c f(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax - x       , ( f(x0) = 0) Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh cần nhớ các hằng đẳng thức bổ xung là : an - bn = (a - b)(an -1+ an - 2b ++ abn - 2+ bn - 1), *n N a n + b n = (a + b)(a n -1 - a n - 2 b +- abn - 2+ bn - 1), n là số tự nhiên lẻ. Để học sinh dễ nhớ, cần lấy các trƣờng hợp cụ thể nhƣ : n = 2, 3, 4 và trƣờng hợp đặc biệt : xn - 1 = (x - 1)(xn - 1+ xn - 2++ x + 1). Tuỳ theo đặc điểm từng bài mà biến đổi một cách linh hoạt để khử dạng vô định. Trong quá trình thực hành, nhiều khi sau các biến đổi đã khử các thành phần có giới hạn bằng 0 ta vẫn gặp giới hạn dạng vô định 0 0 mới ( thƣờng là “đơn giản” hơn so với giới hạn ban đầu). Tới đây ta tiếp tục quá trình khử đến khi giới hạn cần tìm không còn dạng vô định 0 0 thì thôi. Bài tập tự luyện 1) 3 4x 1 x 3x 2 lim x 4x 3     2) x 0 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 lim x     3) 100 50x 1 x 2x 1 lim x 2x 1     4) n 1 2x 1 x (n 1) n lim (x 1)       3. Loại 2 : 0x x f(x) lim g(x) mà f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0 Phương pháp : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng của biểu thức chứa căn thức (gọi tắt là phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu thức liên hợp) để trục các nhân tử x - x0 ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Biểu thức chứa căn thức có thể là tử, mẫu hay cả WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 6 tử và mẫu của phân thức cần tìm giới hạn ). Lƣu ý là có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định. Các công thức thƣờng đƣợc sử dụng khi nhân liên hợp là : 3 32 23 33 3 ( A± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0) ( A ± B)( A A B+ B ) =A ± B    Giáo viên cần cho học sinh thấy đƣợc hai công thức này xuất phát từ hai hằng đẳng thức sau để học sinh dễ nhớ : 2 2 2 2 3 3 (a - b)(a + b) = a - b (a ± b)(a ab + b ) = a ± b Ví dụ áp dụng: Ví dụ 8 : 8 2x 2 3x - 2 - x L = lim x - 4 Bài giải : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, ta đƣợc : 8 2 2x 2 x 2 3x - 2 - x ( 3x - 2 - x)( 3x - 2 + x) L = lim lim x - 4 (x - 4)( 3x - 2 + x)   2 2x 2 x 2 x 2 3x - 2 - x (x - 2)(-x + 1) lim lim (x - 4)( 3x - 2 + x) (x - 2)(x + 2)( 3x - 2 + x) x + 1 2 + 1 1 lim 16(x + 2)( 3x - 2 + x) (2 + 2)( 3.2-2+2)             Vậy 8 1 L = 16  WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 7 Ví dụ 9 : 9 1 x+2 1 L lim x+5 2    x Bài giải : 9 1 1 ( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2)x+2 1 L lim lim x+5 2 ( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1)                      x x 1 1 (x + 2 - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2) = lim lim (x + 5 - 4)( x+2 1) (x + 1)( x+2 1)x x          1 x+5 2 1 5 2 = lim 2 x+2 1 1 2 1x            Vậy L9 = 2 Ví dụ 10 : n * 10 m 1 x - 1 L lim , (m, n N ) x - 1   x Bài giải : n 10 m 1 n-1 n-2 m-1 m-2n n n n m m m m-1 m-2 n-1 n-2m m m m n n n 1 x - 1 L lim x - 1 ( x - 1) ( x ) +( x ) +...+ x +1 ( x ) +( x ) +...+ x +1 = lim ( x - 1) ( x ) +( x ) +...+ x +1 ( x ) +( x ) +...+ x +1                      x x m mm-1 m-2 m n n 1 n-1 n-2 n (x - 1)( x + x +...+ x+1) = lim (x - 1)( x + x +...+ x+1)   x m mm-1 m-2 m n n 1 n-1 n-2 n x + x +...+ x+1 m = lim nx + x +...+ x+1  x Vậy 10 m L = n Kết luận: Phƣơng pháp dùng biểu thức liên hợp là phƣơng pháp chủ yếu đƣợc sử dụng để tính các giới hạn có chứa căn thức cùng bậc. Có thể xem đây là “ thuật toán” cơ bản cho phép tính đƣợc khá nhiều giới hạn của hàm số chứa căn thức, phƣơng hƣớng rõ ràng, dễ hiểu.Việc xác định biểu thức liên hợp là không quá WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 8 khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ năng xác định và nhân biểu thức liên hợp khi tính giới hạn. Theo cách này, nhiều bài toán tuy giải đƣợc nhƣng phải qua các phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh. Nếu dùng các giải khác nhƣ thêm bớt, đổi biến sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn. Bài tập tự luyện 1) 3 x 1 x x 3 lim x 1    2) 2 3x 2 x 4 lim 2 3x 2    3) 2 2x a x b a b lim x a     4) 3 23 2x 1 x 2 x x 1 lim x 1      5) n x 0 1 ax lim x  6) n n x 0 a x a lim x   4. Loại 3: 0x x f(x) lim g(x) mà f(x) chứa các căn thức không cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0 Phương pháp : Sử dụng thuật toán thêm bớt đối với f(x) để có thể nhân biểu thức liên hợp. Chẳng hạn nhƣ : 0 0 m n m n 0 0 0 x x x x u(x) v(x)f(x) L= lim = lim ,( u(x ) v(x ) = 0,g(x ) = 0) g(x) g(x)    Ta biến đổi : 0 0 0 0 m n m n x x x x m n x x x x u(x) - c + c - v(x)u(x)- v(x) L lim lim g(x) g(x) u(x) - c v(x) - c = lim lim g(x) g(x)                Tới đây các giới hạn 0 0 m n 1 2x x x x u(x) - c v(x) - c L lim , L lim g(x) g(x)    đều tính đƣợc bằng cách nhân liên hợp. Ví dụ áp dụng : Ví dụ 11 : 3 11 2x 1 x+3 x+7 L lim x 3x+2    WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 9 Bài giải : x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 11 2 2 3 2 2 lim lim lim lim x+3 x+7 ( x+3 2) + (2 x+7) L x 3x+2 x 3x+2 x+3 2 2 x+7 = x 3x+2 x 3x+2                   23 3 3 2 2 23 3x 1 x 1 (2 x+7) 4 2 x+7 ( x+7)( x+3 2)( x+3+2) = lim lim (x 3x+2)( x+3+2) (x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)               2 2 23 3x 1 x 1 x+3 4 8 (x+7) = lim lim (x 3x+2)( x+3+2) (x 3x+2) 4 2 x+7 ( x+7)             x 1 x 1 23 3 x 1 1 x = lim lim (x 1)(x 2)( x+3+2) (x 1)(x 2) 4 2 x+7 ( x+7)                x 1 x 1 23 3 1 1 = lim lim (x 2)( x+3+2) (x 2) 4 2 x+7 ( x+7)             23 3 1 1 = (1 2)( 1+3+2) (1 2) 4 2 1+7 ( 1+7) 1 1 1 = 4 12 6                Vậy 11 1 L 6   Ví dụ 12 : 3 12 20 1+2x - 1+3x L lim xx  Bài giải : 3 3 12 2 20 0 1+2x - (x+1) + (x+1) - 1+3x1+2x - 1+3x L lim lim x x            x x 3 2 20 0 1+2x - (x+1) (x+1) - 1+3x =lim +lim x x   x x WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 10 0 2 2 23 3 3 0 2 2 23 3 1+2x - (x+1) 1+2x +(x+1) =lim x 1+2x +(x+1) (x+1) - 1+3x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x) +lim x (x+1) ( 1) 1+3x ( 1+3x)                                  x x x x 2 3 2 2 2 23 30 0 2 23 30 0 (1+2x) - (x+1) (x+1) - (1+3x) lim lim x 1+2x +(x+1) x (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x) - 1 x+3 lim lim 1+2x +(x+1) (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x) x x x x                        2 23 3 - 1 0+3 1+2.0 +(0+1) (0+1) (0 1) 1+3.0 ( 1+3.0) 1 1 1 2 2           Vậy 12 1 L 2  Kết luận : Phƣơng pháp chung để tính các giới hạn của biểu thức chứa các căn thức không cùng bậc là thêm, bớt một lƣợng nào đó, tách thành nhiều giới hạn rồi nhân liên hợp. Cần lƣu ý là có thể thêm bớt một hằng số ( thƣờng chọn là u(x0) hoặc v(x0)) hay một biểu thức. Việc thêm bớt dựa trên đặc điểm từng bài và phải thật tinh tế. Thuật toán thêm bớt còn đƣợc áp dụng hiệu quả đối với các dạng vô định khác. Bài tập tự luyện 1) 3 x 0 1 x 1 x lim x    2) 3 2x 2 x 11 8x 43 lim 2x 3x 2      3) n m x 0 1 ax 1 bx lim x    4) 3 2 x 0 2x 1 x 1 lim sin x    5) 3 4x 7 x 2 x 20 lim x 9 2      6) 3 2x 0 1 4x 1 6x lim x    5. Giới hạn dạng vô định 0 0 của hàm số lượng giác WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 11 Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi đại số và lƣợng giác để sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau đây : +) x 0 x 0 sinx x lim 1, lim 1 x sinx    +) x 0 x 0 x 0 sinax sinax sinax lim lim( .a) =a.lim =a x ax ax    +) x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 sinax sinax bx ax sinax bx ax a lim lim( . . ) lim .lim .lim sinbx ax sinbx bx ax sinbx bx b        +) x 0 x 0 x 0 x 0 tgax sinax a sinax a lim lim( . ) lim .lim a x ax cosax ax cosax       Trong quá trình biến đổi, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức lƣợng giác, thêm bớt, nhân liên hợp Ví dụ áp dụng Ví dụ 13 : 13 x 0 1+sinax - cosax L lim 1- sinbx - cosbx  Bài giải : 13 x 0 x 0 1+sinax - cosax 1- cosax+sinax L lim lim 1- sinbx - cosbx 1- cosbx - sinbx      2 x 0 x 02 ax ax axax ax ax 2sin sin cos2sin +2sin cos 2 2 22 2 2 = lim lim bx bx bx bx bx bx2sin - 2sin cos 2sin sin - cos 2 2 2 2 2 2                  x 0 x 0 ax ax ax sin sin cos a2 2 2=lim .lim bx bx bx bsin sin - cos 2 2 2      Vậy 13 a L b   Ví dụ 14 : 14 2x 0 1 cosax L lim x   Bài giải : WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 12 2 2 2 2 2 2 14 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 ax ax ax 2sin sin sin 1 cosax a a a2 2 2L lim lim lim . lim ax axx x 2 2 2 2 2                                   Vậy 2 14 a L 2  Ví dụ 15 : 15 2 0 1 xsinx - cos2x L lim sin xx   Bài giải : 15 2 2 0 0 1 xsinx - cos2x (1 - cos2x) xsinx L lim lim sin x sin xx x       2 2 2 0 0 0 0 0 2 2sin x xsinx sinx(2sinx x) 2sinx x lim lim lim sin xsin x sin x x x lim 2 lim 2 1 3 sin x sin x x x x x x                         Vậy L15 = 3 Ví dụ 16 : *16 2x 0 1- cosx.cos2x...cosnx L lim (n N ) x   Bài giải : 16 2x 0 2x 0 1- cosx.cos2x...cosnx L lim x 1-cosx+cosx-cosxcos2x+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x-cosx.cos2x...cosnx lim x      2x 0 2 2 2x 0 x 0 x 0 ... 1-cosx+cosx(1- cos2x)+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim x 1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim lim lim x x x          Theo kết quả bài 14 ta có : 2 2x 0 1 2 1-cosx lim x  2 2 2x 0 x 0 x 0 . cosx(1-cos2x) 1-cos2x 2 lim lim cosx lim 2x x     WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 13 2x 0 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 . ... . cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim x 1- cosnx n lim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim 2x         Do đó 2 2 2 2 2 2 16 1 2 n 1 2 ... n n(n+1)(2n+1) L ... 2 2 2 2 12          Trong bài tập này ta đã sử dụng thuật thêm bớt : cosx, cosxcos2x,, cosxcos2xcos(n - 1)x để biến đổi và tính giới hạn đã cho. Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò quan trọng trong kỹ năng biến đổi đối với bài tập này. Ví dụ 17 : 2 17 2x 0 1 x cosx L lim x    Bài giải : 2 2 17 2 2x 0 x 0 (1 x cosx 1 x 1) (1 cosx) L lim lim x x           2 2 2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 02 2 x ( ( 2 ( 2sin1 x 1 1 cosx 1 x 1) 1 x 1) lim lim lim lim x x xx 1 x 1)                  2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 02 2 2 x x 2 2 . ( 2sin sin1 x 1 1 1 lim lim lim lim x 2xx 1 x 1) 1 x 1 2                        1 1 1 2 2    Vậy L17 = 1. Kết luận : Để khử dạng vô định đối với hàm số lƣợng giác, học sinh cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số, lƣợng giác cũng nhƣ áp dụng các giới hạn cơ bản. Ở đây chỉ có giới hạn x 0 sinx lim 1 x  đƣợc sử dụng trực tiếp, các kết quả còn lại khi làm bài phải chứng minh lại. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 14 Để vận dụng giới hạn x 0 sinx lim 1 x  , cần đƣa hàm số cần tính giới hạn về dạng : 0 0 0x x x x x x sin f (x) f (x) tgf (x) lim , lim , lim f (x) sin f (x) f (x)   với 0x x lim f (x) 0   bằng cách thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với một lƣợng thích hợp nào đó. Trong khi giải bài tập, học sinh có thể gặp khó khăn, lúng túng để đƣa về các dạng trên. Giáo viên cần khắc phục bằng cách cho học sinh làm các bài tập nhƣ : 2 2 0 1 sinx sin(x 1) lim , lim , ... 1 cosx x 3x+2x x     Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 1) 0 1+sinx 1 sinx lim tgxx   2) 0 (a+x)sin(a+x) asina lim xx  3) x 0 1 cosxcos2xco3x lim 1 cosx   4) 2 2 0 2sin x+sinx 1 lim 2sin x 3sinx+1x   5) 3 3π x 4 1 cotg x lim 2 cotgx cotg x    6) 3 x 0 1 cosx cos2x cos3x lim 1 cos2x   6. Giới hạn dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và lôgarit. Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi và sử dụng các giới hạn cơ bản sau đây : +) x x 0 1 lim 1 x e    +) x 0 ln(1 x) lim 1 x   Các giới hạn trên đều đƣợc thừa nhận hoặc đã chứng minh trong Sách giáo khoa. Ngoài ra giáo viên cần đƣa ra cho học sinh hai giới hạn sau : WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 15 +) x xlna x 0 x 0 a 1 1 lim lim .lna lna x x.lna e               ( Vì xlna x 0 1 lim 1 xlna   e ) +) x 0 x 0 x 0 a . log (1 x) ln(1 x) ln(1 x)1 lim lim lim lna x x.lna lna x         Ví dụ áp dụng : Ví dụ 18 : ax bx 18 x 0 L lim x e e    Bài giải : x 0 x 0 ax bxax bx 18 1) 1) lim lim ( ( L x x        e ee e ax bx x 0 x 0 ax bx x 0 x 0 ( 1) ( 1) lim lim x x ( 1) ( 1) a. lim b. lim ax bx a b e e e e                 Vậy L18 = a - b. Trong bài tập này để sử dụng giới hạn cơ bản ta đã thực hiện thêm bớt 1 và tách thành hai giới hạn. Cần nhấn mạnh cho học sinh khi x 0  thì ax 0  , do vậy ax bx x 0 x 0 ( 1) ( 1) lim 1, lim 1 ax bx      e e . Ví dụ 19 : sin2x sinx 19 x 0 L lim sinx e e    Bài giải : sin2x sinxsin2x sinx 19 x 0 x 0 1) 1)( ( L lim lim sinx sinx e ee e         sin2x sinx x 0 x 0 sin2x sinx x 0 x 0 1 1 lim lim sinx sinx 1 1 lim .2cosx lim sin2x sinx e e e e                       x 0 x 0 x 0 sin2x sinx . (2cosx) 1 1 lim lim lim sin2x sinx 2 1 1                    e e WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 16 Vậy L19 = 1. Ví dụ 20 : x 2 20 x 2 2 x L lim x 2    Bài giải : x 2 x 2 20 x 2 x 2 4) 4)2 x (2 (x L lim lim x 2 x 2           x 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1) 2)(x+2)4 4 1 4 4(2 (x2 x lim lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 2 lim lim (x+2) 4ln 2 4 x 2                           Vậy L20 = 4ln2 - 4 Ví dụ 21 : 223 2x 21 2x 0 1 x L lim ln(1+x ) e     Bài giải : 22 33 2 2x2 2x 21 2 2x 0 x 0 ( 1)1 x 1) (1 x L lim lim ln(1+x ) ln(1+x )            ee 2 23 32 2x 2 2x 2 2 2x 0 x 0 x 0 ( 1) 11 x 1) ( 1 x 1 lim lim lim ln(1+x ) ln(1+x ) ln(1+x )                e e 3 32 23 32 2 23 2 2 2 2 2 2 x 0 x 02 2x ( ( ) 1 ( ) 1 . 1 2x ln(1+x ) 1 x 1)( 1 x 1 x ) lim lim ( 1 x 1 x )ln(1+x ) 2x                          e 2 2 232 2 23 2 2 2x x 0 x 0 x 02 . ( ) 1 1 2x ln(1+x ) x lim lim lim 2x( 1 x 1 x )ln(1+x )              e 22 2 232 23 2 2 2x x 0 x 0 x 0 x 02 . . ( ) 1 x 1 ln(1+x ) 2x ln(1+x ) 1 7 .1 1.( 2) 3 3 1 lim lim lim lim 2x1 x 1 x                   e Vậy 21 7 L 3  Kết luận : WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 17 Để tính các giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit, học sinh thực hiện các phép biến đổi để áp dụng các giới hạn cơ bản. Yêu cầu học sinh phải thành thạo các phép toán về luỹ thừa và lôgarit. Để sử dụng các giới hạn cơ bản, bằng cách thêm, bớt, nhân liên hợp, học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về một trong các dạng :     0 0 0 0 f(x) f(x) a x x x x x x x x ln 1+f(x) log 1+f(x)1 a 1 lim , lim , lim , lim f(x) f(x) f(x) f(x) e       với 0x x lim f (x) 0   Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 1) 2) x x x xx 0 5 4 3 lim 9    3) x 0 2 2 x3 cosx x lim   4) x 3 4x 0 (1 )(1 cosx) lim 2x 3x e     5) x 0 1 1 x lim .ln x 1 x           6) sin2x sinx 2x 0 lim 5x + tg x e e   II. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH   Giới hạn dạng vô định   có dạng là : 0x x (x ) f(x) L lim g(x)    trong đó : 0 0x x x x (x ) (x ) f(x) g(x)lim lim         Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng là chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao nhất của tử và mẫu của phân thức f(x) g(x) . Cụ thể nhƣ sau : 1) Nếu f(x), g(x) là các đa thức có bậc tƣơng ứng là m, n thì ta chia cả f(x), g(x) cho x k với k = max{m, n} m m 1 m m 1 1 0 n n 1x n n 1 1 0 a x +a x +...+a x+a L lim b x +b x +...+b x+b       với *m na ,b 0, m,n N  Khi đó xảy ra một trong ba trƣờng hợp sau : WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 18 +) m = n (bậc của tử và mẫu bằng nhau), chia cả tử và mẫu cho xn ta đƣợc: 0m 1 1 nn 1 m m 0n 1 1 n n nn 1 x x m n aa a a ax xx bb b b b x xx a lim lim b + +...+ + L + +...+ +           +) m > n (bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, k = m), chia cả tử và mẫu cho x m ta đƣợc : n m nm n+1 n m n 0m 1 1 mm 1 m x x 0n 1 1 m m b x b x aa a a ax xxlim lim bb b x x x + +...+ + L +...+ ++           +) m < n (bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ trên ta có : 0m m 1 n m nn m+1 x 0n 1 n n aaa ... x xxlim 0 bb b ... x x L               Học sinh cần vận dụng kết quả : 0 0 0 0x x x x x x x x 1 1 lim f (x) lim 0, lim f (x) 0 lim f (x) f (x)         Sau khi xét ba trƣờn