Bài tập Điện động lực học

Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng : Rot grad u = 0 Div rot = 0 Bài giải: Ta có: Grad = Rot = ijk∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz = i∂Az∂y-∂Ay∂z+j∂Ax∂z-∂Az∂x+k∂Ay∂x-∂Ax∂y Div = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z Rot grad u = ijk∂∂x∂∂y∂∂z∂u∂x∂u∂y∂u∂z = ∂u∂z+∂u∂x + ∂u∂y = = 0 Div rot = = = 0 Đề 2. Tính div =? Trong đó là vector không đổi, là bán kính vector. Bài giải: Ta có: và = Đề 3. Tính , Trong đó là vector không đổi, là bán kính vector. Bài giải: Ta có: và = Đề 4. Tính: Trong đó: là vector không đổi và là bán kính vector. Bài giải: a/ Ta có: mặt khác ta có: Từ (1) và (2), ta được: b/ Ta có: và Đề 5. Tính: Trong đó: là vector không đổi là bán kính vector. Bài giải: Ta có: , Đề 6: Tính thông lượng của bán kính vector qua một mặt trụ có bán kính a và chiều cao h, đặt như hình vẽ ( Tính bằng công thức O – G và bằng phương pháp trực tiếp). Bài giải: a/ Tính bằng định lí O – G: Định lí O – G: Ta biết: Tính trực tiếp: Từ (1) và (2), ta được: Đề 7. Hai vòng tròn mảng, bán kính cùng bằng R, tích điện đều và xếp đặt như hình vẽ. Điện tích vành ngoài là điện tích vành ngoài là . Công cần thiết để đưa điện tích e từ vô cực đến và lần lượt là và . Tính các điện tích và Bài giải: Xét vành : Thế vô hướng tại gây bởi 2 vành điện tích và với khoảng cách R và : Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có: Thế vông hướng tại O1 do và gây ra là: Với là hiệu điện thế tại Điện thế bằng công dịch chuyển 1 điện tích dương từ Tương tự đối với vành : Từ (1) và (2), ta được: Đề 8. Dùng định lý O – G để tính điện trường ở trong và ngoài một quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt =const. Hằng số điện môi ở trong và ngoài quả cầu đều bằng . Bài giải: Theo định lý O – G ta có: Xét trong hệ tọa độ cầu, do điện tích trong quả cầu phân bố đều: Xét những điện tích ngoài quả cầu: Do cùng phương với vector pháp tuyến của mặt cầu, ta có: Đề 9. Tính điện dung của một tụ điện có chiều dài bằng d và khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: Theo định lý O – G ta có: Vì , nên: Mặt khác, ta có: Với Vậy hiệu điện thế giữa hai bản tụ là: Điện dung của tụ là: Đề 10. Một hình cầu bán kính R, tích điện đều trên bề mặt ngoài với mật độ bằng và quay quanh trục của nó với vận tốc . Tính cảm ứng từ bên trong hình cầu? Bài giải: Ta có: Theo định lý O – G : Từ (1) và (2), ta được: Đề 11.Một mạch dao động gồm cuộn tự cảm L và một tụ điện phẳng có điện tích mỗi bản bằng S, môi trường giữa các bản có độ dày bằng d và hằng số điện môi . Tính chu kỳ dao động của mạch , cho biết L = 0.1 H; S = 500 , d = 1 mm, , R=0. Bài giải: Cường độ điện trường do mỗi bản gây ra: Ta có: E = -grad Điện dụng của tụ C sẽ là: Vì dòng điện chạy trong L, C, có R=0, coi không có thể điện động ngoại lai : Ta có: Trong đó: Tần số dòng: Thay số, ta được: Đề 12. Chứng minh rằng với các sóng phẳng đơn sắc, nếu thế vector thỏa mãn phương trình thì các vector điện trường và từ trường thỏa mãn các hệ thức: Bài giải: Ta có: , Trong đó: Ta được: Vậy phương trình Macxell dạng: Đề 13: Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản là: , khoảng cách giữa hai bản chứa hai điện môi khác nhau. Bài giải: Điện trường bên ngoài quả cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích , hệ số điện môi là: Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: Điện dung của tụ cầu: Đề 14. Hai tụ điện có điện dung bằng; điện tích bằng , được mắc song song với nhau. Tính và giải thích sự biến đổi điện tích tĩnh điện của chúng? Bài giải: Năng lượng các tụ khi chưa đấu nối với nhau: Năng lượng các tụ khi được đấu nối song song với nhau: Sự biến đổi năng lượng tĩnh điện: Vậy năng lượng của hai tụ giảm. Đề 15. Một vật dẫn hình trụ dài vô tận, có một lỗ rỗng hình trụ dài vô tận. Trong phần đặc của vật có dòng điện mật độ là j. Tính từ trường trong phần rỗng? Bài giải: Từ trường trong phần rỗng là sự chồng chập của hai từ trường: Từ trường do hình trụ lớn gây ra. Từ trường do phần trụ rỗng gây ra. Xét điển M bất kì lắm trong lỗ rỗng - Từ trường do hình trụ lớn gây ra tại M: - 1. Áp dụng công thức dòng toàn phần dưới tích phân do dòng điện không đổi: - Theo công thức Bioxava: Do: Ta được: - Từ trường do hình trụ rỗng gây ra: Với mật độ j thì cảm ứng từ tại M do phần rỗng O gây ra với : => Vậy từ trường tổng hợp tại M là: