Bài tập giới hạn và liên tục của hàm số

bài tập giới hạn và liên tục của hàm số (Dạng các bài mới do laisac biên soạn.) ? ? ? ? ? ? ? ? ?F ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 A. Giới Hạn Của Hàm Số. Bài 1. lim x−→1 (x3 − 2x+ 1)2010 (x3 − 4x2 + 5x− 2)1005 Bài 2. lim x−→+∞ √ x+ 2010 −√x+ 209√ x+ 2009 −√x+ 208 Bài 3. lim x−→0 cosx. √ 1 + x− 1 x Bài 4. lim x−→−∞ x (√ x2 + 2010 −√x2 + 1009) Bài 5. lim x−→1 x2010 + 4x4 + 3x3 − 8 x2010 + x3 + 2x2 − 4 Bài 6. lim x−→∞ (2x+ 1)2010 (x2 + 3x+ 4) (2x + 3)2009 (2x3 − 4x+ 7) Bài 7. lim x−→2+ √ x−√2 +√x− 2√ x2 − 4 Bài 8. lim x−→ pi 3 2 cos x− 1 tanx− √ 3 Bài 9. lim x−→1 √ x+ 3 + x3 + x2 − 4√ x+ 8 − 3 cos(x− 1) Bài 10. lim x−→0 1−√cosx√ 2x2 + 2010 −√x2 + 2010 Bài 11. lim x−→1 √ x+ 3. 3 √ x+ 7− 4 x− 1 Bài 12. lim x−→pi+ √ 1 + cosx x−pi Bài 13. lim x−→0 √ 1 + sinx−√1 − sinx x Bài 14. lim x−→−∞ √ 2010x2 + 1 + x√ 2009x2 + 1 + x Bài 15. lim x−→+∞ √ x2 − 3x+ 2 + 4x+ 1 3 √ 8x2 + 1 + 2− x Bài 16. lim x−→0 √ 3− 2 cos 2x− 1 tan2 3x− tan2 x 1Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh. 1 Bài 17. lim x−→0 2 sin x− sin 2x tan3 x− tanx.tan33x Bài 18. lim x−→0 1 − cotx. cot 2x 1 − cot 2x. cot 4x Bài 19. lim x−→0 cos2010x.cos2009x − 1 cos2009x.cos2008x − 1 Bài 20. lim x−→1 2010 √ 1 + x− 1 2009 √ 1 + x− 1 Bài 21. lim x−→0 2010x − 1 2009x − 1 B. Hàm số liên tục: Bài 22.Hàm số sau đây có liên tục tại x = 0, không? f(x) =  √ 1− cos 2x x ; x < 0 cos ( x+ 2007pi 4 ) + cos ( x− 2009pi 4 ) , x ≥ 0 Bài 23. Cho hàm số f(x) = cos2x − 1√ x2 + 1− 1 . Tính f(0) để hàm số liên tục tại x =0. Bài 24. Cho hàm số f(x) = { (2x− pi)√tan2 x+ 1; x > pi 2 A. sinx; x ≤ pi 2 Tìm A để hàm số liên tục tại x = pi 2 . Bài 25. Cho hàm số f(x) =  6 √ 3x − 2 − 1 x− 1 ; x > 1 1 2 ; x = 1 m. √ x2 − 2x+ 1 x− 1 ; x < 1 Đinh m để hàm số f(x) liên tục tại x =1. Bài 26. Định k để hàm số sau đây liên tục trên tập số thực R. f(x) = { x cos 1 x ; x 6= 0 k; x = 0 2Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh. 2 C. Hướng Dẫn Cách Giải: Bài 1. lim x−→1 (x3 − 2x+ 1)2010 (x3 − 4x2 + 5x − 2)1005 = limx−→1 (x− 1)2010 (x2 + x− 1)2010 (x− 1)2010 (x− 2)1005 Bài 2. lim x−→+∞ √ x+ 2010 −√x+ 209√ x+ 2009 −√x+ 208 = limx−→+∞ √ x+ 2010 + √ x+ 209√ x+ 2009 + √ x+ 208 Bài 3. lim x−→0 cosx. √ 1 + x− 1 x = lim x−→0 cosx. (√ 1 + x− 1)+ cosx− 1 x = = lim x−→1 cosx√ 1 + x + lim x−→1 cosx − 1 x Bài 4. lim x−→−∞ x (√ x2 + 2010 −√x2 + 1009)= lim x−→−∞ −1√ 1 + 2010 x + √ 1 + 2009 x Bài 5. lim x−→1 x2010 + 4x4 + 3x3 − 8 x2010 + x3 + 2x2 − 4 = limx−→1 (x2010 − 1) + (x− 1) (4x3 + 7x2 + 7x+ 7) (x2010− 1) + (x− 1) (x2 + 3x+ 3) Bài 6. lim x−→∞ (2x+ 1)2010 (x2 + 3x+ 4) (2x + 3)2009 (2x3 − 4x+ 7) = limx−→∞ ( 2 + 1 x )2010( 1 + 3 x + 4 x2 ) ( 2 + 3 x )( 2 − 4 x + 7 x2 ) Bài 7. lim x−→2+ √ x−√2 +√x− 2√ x2 − 4 = limx−→2+ √ x−√2√ x2 − 4 + limx−→2+ 1√ x+ 2 Bài 8. lim x−→ pi 3 2 cos x− 1 tanx− √ 3 = lim x−→ pi 3 2 ( cosx−1 2 ) tanx−√3 = lim x−→ pi 3 2 ( cosx − cospi 3 ) tanx− tanpi 3 Bài 9. lim x−→1 √ x+ 3 + x3 + x2 − 4√ x+ 8 − 3 cos(x− 1) = limx−→1 (√ x+ 3− 2)+ x3 + x2 − 2√ x+ 8− 3 + 3 (1 − cos(x− 1)) = = lim x−→1 (√ x+ 3− 2) x− 1 + limx−→1 x3 + x2 − 2 x− 1 lim x−→1 √ x+ 8 − 3 x− 1 + 3 limx−→1 (1− cos(x− 1)) x− 1 Bài 10. lim x−→0 1 −√cosx√ 2x2 + 2010 −√x2 + 2010 = limx−→0 (1 − cosx) (√ 2x2 + 2010 + √ x2 + 2010 ) x2 (1 + √ cosx) Bài 11. lim x−→1 √ x+ 3. 3 √ x+ 7 − 4 x− 1 = limx−→1 √ x+ 3 ( 3 √ x+ 7− 2)+ 2 (√x+ 3− 2) x− 1 Bài 12. lim x−→pi+ √ 1 + cosx x−pi = limx−→pi+ √ 2 ∣∣∣cosx 2 ∣∣∣ x−pi = limx−→pi+ √ 2 ∣∣∣∣sin pi − x2 ∣∣∣∣ x−pi Bài 13. lim x−→0 √ 1 + sinx−√1− sinx x = lim x−→0 2 sinx x (√ 1 + sinx + √ 1− sinx) 3Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh. 3 Bài 14. lim x−→−∞ √ 2010x2 + 1 + x√ 2009x2 + 1 + x = lim x−→−∞ −x √ 2010 + 1 x2 + x −x √ 2009 + 1 x2 + x Bài 15. lim x−→+∞ √ x2 − 3x+ 2 + 4x + 1 3 √ 8x2 + 1 + 2− x Bài 16. lim x−→0 √ 3 − 2 cos 2x− 1 tan2 3x− tan2 x = limx−→0 2 (1 − cos2x) (tan3x− tanx) (tan 3x+ tanx) (√3 − 2 cos 2x+ 1) Bài 17. lim x−→0 2 sinx− sin 2x tan3 x− tanx.tan33x = limx−→0 2 sinx (1 − cosx) tanx (tanx− tan3x) (tanx + tan3x) Bài 18. lim x−→0 1 − cot x. cot 2x 1− cot 2x. cot 4x = limx−→0 sinx.sin2x− cosx.cos2x sin2x.sin4x− cos2x.cos4x . sin 4x sin 2x = lim x−→0 −cos3x −cos6x . sin 4x sin 2x Bài 19. lim x−→0 cos2010x.cos2009x − 1 cos2009x.cos2008x − 1 = limx−→0 cos2010x. (cos2009x − 1) + cos2010x − 1 cos2009x. (cos2008x − 1) + cos2008x − 1 Bài 20. .áp dụng hằng đẳng thức :an − bn = (a− b) (an−1 + an−2b+ ....+ an−1) Có thể đặt ẩn số phụ. Bài 21. áp dụng công thức : lim x−→0 ax − 1 x = ln a Bài 22. Ta có f(0) = cos ( 2007pi 4 ) + cos ( 2009pi 4 ) = −√2 và lim x−→0+ f(x) = lim x−→0− f(x) = −√2 Bài 23. Ta có: lim x−→0 cos 2x− 1√ x2 + 1− 1 = limx−→0 −2 sin2 x. (√x2 + 1 + 1) x2 = −4 Do đó để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = -4. Bài 24. ta có: lim x−→ pi 2 f(x) = f (pi 2 ) = A Bài 25. Ta có f(1) = 1 2 lim x−→1+ f(x) = lim x−→1+ 6 √ 3x− 2 − 1 x− 1 = 1 2 lim x−→1− f(x) = lim x−→1− A. √ x2 − 2x+ 1 x− 1 = limx−→1−A. |x− 1| x− 1 = −A Bài 26. Ta có − |x| ≤ |x| cos 1 x ≤ |x| ⇒ lim x−→0 |x| cos 1 x = 0 Suy ra lim x−→0 x cos 1 x = 0 hết 4Nguyễn Lái.GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh. 4