Bài tập HHCC

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ Bài 1 trang 199: Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết. Tìm mô hình của H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước. Giải: * Mô hình 1: Vectơ: ánh xạ A: R R x f(x) = A(x) Phép cộng hai ánh xạ và quan hê bằng được xác định: X Y: = Mô hình trên thoả: ánh xạ không (0) : R R ánh xạ đối: (- ) : R R * Mô hình 2: Xét tập = {[0], [1], [2], [3], . . . . , [ n-1] } Vectơ là [i] Phép cộng được định nghĩa như sau: j + i = k: trong đó k = j + i : j i , Mô hình trên thoả: · i, j: · i, j, m : · . Vectơ không là tập · Vectơ đối của [i] là [n-1] Mô hình 2 có đúng n vectơ là một số nguyên dương cho trước Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề : i) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt. iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt a.Chứng minh các định lý: + Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung. + Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường. b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín điểm,chín đường. Giải a.Chứng minh + Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung. Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii)) + Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có ba đường phân biệt x,y,z qua A. Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,C Tương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,H Theo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểm chung Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau. Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt .Nên ngoài x qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v. Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường : Theo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường Bảy đường đôi một phân biệt và khác nhau. b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường. Xét có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H. Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm + Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường. Ta lấy 9 điểm phân biệt :. Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường: Bài 3 trang 199: Hệ tiên đề gồm: + Khái niệm cơ bản: “ điểm”, “ đường thẳng”, “điểm thuộc đường thẳng” + Các tiên đề: Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng. Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một điểm. Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không cùng thuộc một đường thẳng. Hãy xây dựng mô hình của P. Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi muân thuẫn. Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ. Giải: Xây dựng một mô hình của hệ tiên đề P : Ta gọi điểm là bộ ba sốvới các số có giá trị 0 hoặc 1 và . Như vậy ta có 7 điểm: A1(1,0,0); A2(0,1,0); A3(0,0,1); A4(0,1,1); A5(1,0,1); A6(1,1,0); A7(1,1,1). + Mỗi phương trình sau là một đường thẳng: d1: x = 0 d2: y = 0 d3: z = 0 d4: x - y = 0 d5: y – z = 0 d6: x – z = 0 d7: (x+y–z)(x–y+z)=0 + Mổi điểm gọi là thuộc đuờng thẳng nếu bộ ba số tương ứng với điểm đó là nghiệm của phương trình biểu thị cho đường thẳng. + Dể dàng kiểm tra rằng các tiên đề i) ii) đều đúng: Ví dụ : A2 , A3 d1 ; A2 , A5 d6 ; A4 , A1 d5 ; d1 d2 = A3 ; d3 d4 = A6 ; d1 d7 = A4 + Tiên đề iii) cũng đúng. Lấy 4 điểm A1, A2, A3, A7. Ta thấy rằng ba điểm bất kì trong 4 điểm đó dều không thuộc một đường thẳng. + Vì mô hình trên xây dựng từ các vật liệu của số học nên suy ra hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn. Để chứng minh tiên đề iii) độc lập ta xây dựng một mô hình trong đó tiên đề i), ii) đúng nhưng tiên đề iii) không đúng: mô hình dó như sau: Trên mặt phẳng Ơcit lấy ba điểm không thẳng hàng A, B, C và ta gọi chúng là điểm, còn đường thẳng là các đường thẳng AB, BC , CA Khi đó với 4 điểm A, B, C, D thì ba điểm bất kì A, B, D, hoặc A, C, D hoặc B, C, D có thể xảy ra trường hợp thẳng hàng. Để chứng minh P không đầy đủ ta xây dựng mô hình thứ hai của P không đẳng cấu, với mô hình đã xây dựng ở a). Mô hình đó như sau: ta lấy 13 điểm Pi , , và 13 đường thẳng. Kí hiệu Pj , . Ta nói Pi thuộc đường thẳng Pj nếu = (0, 1, 3, 9) (mod13) Bài 4: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở phổ thông để chứng minh các định lý sau đây. a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. b. Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. c. Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe). Giải Chứng minh: a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thẳng a và b nào đó. Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B. Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với đường thẳng a,theo tiên đề 2. Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a. Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng. b.Ta chứng minh C ở giữa A và D. Ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D. Theo tiên đề 4,điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y Vì C ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau. Gỉa sử Theo giả thiết D ở giữa B và C nên theo tiên đề 3 C không ở giữa B và D Do và C ở giữa A và D Chứng minh D ở giữa A và B Điểm D chia các điểm của a thành hai tập hợp kí hiệu là Theo giả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nhau. Giả sử Theo chứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C ở giữa A và D nên D không ở giữa A và C Vậy A và C cùng thuộc một tập hợp hoặc Như vậy ngoài ra vì Suy ra D ở giữa A và B. c. Theo tiên đề 5 Đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp mà ta kí hiệu là X và Y. Theo định nghĩa của đoạn thẳng thì giả thiết đường thẳng a có một điểm ở giữa A và B ,A và B đều thuộc tập hợp khác nhau đó Gỉa sử ,do C không nằm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp đó. Nếu thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đề 5 đường thẳng a và đoạn thẳng BC có điểm chung hay có một điểm của a ở giữa B và C Tương tự nếu thì có một điểm của a ở giữa A và C. Bài 5 trang 200: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau đây: Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên (P) . Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA. Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng). Hãy phát biểu định lí và chứng minh. Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian. Giải: Giả sử cho trước mặt phẳng (P). Theo tiên đề 14 có ít nhất bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng, nên có ít nhất 1 điểm nào đó không nằm trên (P). Ta gọi đó là điểm A. Lấy điểm B bất kì thuộc (P) thì; ta có đường thẳng b đi qua A và B (tiên đề 2). Theo tiên đề 4, tồn tại một điểm B’ sao cho A ở giữa B và B’. Nếu B’ (P) thì theo tiên đề 16). A cũng nằm trên (P) (mâu thuẫn).Vì vậy B (P). Theo tiên đề 18). Trên mặt phẳng (P) các kết quả của hình học phẳng đều đúng, nên (P) còn nhiều điểm khác nữa. b) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo tiên đề 16) tồn tại mặt phẳng (Q) duy nhất đi qua ba điểm đó. Vì mặt phẳng (P) cắt đoạn AB nên (P) và (Q) có điểm chung: Theo tiên đề 17, (P), (Q) còn có một điểm chung khác nữa Þ(P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng a : Áp dụng định lí pasch của hình học phẳng trên mặt phẳng (P) , suy ra đường thẳng a hoặc cắt BC hoặc cắt CA tức là mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng BC hoặc cắt đoạn thẳng CA. Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ta lấy mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm đó rồi lập luận tương tự như trên. c) Định lí: Mỗi mặt phẳng (P) chia các điểm còn lại của không gian thành hai tập hợp không giao nhau sao cho hai điểm M, M’ thuộc cùng một trong hai tập hợp đó khi và chỉ khi đoạn thẳng MM’ và mặt phẳng (P) không có điểm chung. Chứng minh: gọi A là một điểm không thuộc (P). Xét hai tập hợp sau: Tập U: gồm những điểm M không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AM và (P) không có điểm chung. Tập V gồm những điểm N không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AN và mặt phẳng (P) không có điểm chung. Tất nhiên U, V không giao nhau và mỗi điểm không thuộc (P) đều thuộc một trong hai tập hợp đó. Giả sử M, M’ thuộc tập U tức là AM, AM’ đều không cắt (P) Theo câu b) ta suy ra MM’ không cắt (P) Giả sử N, N’ thuộc tập V, tức là AN và AN’ đều cắt (P). Theo câu b) đoạn thẳng NN’ không cắt (P) Giả sử M và N thuộc hai tập hợp khác nhau U và V thì chỉ có một trong hai đoạn thẳng AM , AN là cắt (P) theo câu b đoạn thẳng MN phải cắt (P) Chứng minh định lí: Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Giả sử hai tam giác ABC, A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ ta phải chứng minh: Theo tiên đề 18: Trên mỗi mặt phẳng các tiên đề của hình học phẳng đều đúng. Như vậy trên mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (A’B’C’) ta áp dụng định lí cosin trong tam giác. Ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos  (trên mặt phẳng (ABC)) B’C’2 = A’B’2 + A’C’2 -2A’B’A’C’ (trên mặt phẳng (A’B’C’)) Vì BC = B’C’, AB = A’B, AC = A’C’, ta suy ra  = Â’ Tương tự ta có Các định lí còn lại chứng minh tương tự. Bài 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường thẳng song song) để chứng minh các định lý sau đây. a.Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. b. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. GIẢI a) Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. Ta gọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng: và Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I. Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c).Bở vậy có thể chứng minh rằng tia CB’nằm trong góc ,tức là Có thể chứng minh rằng tia CB’ nằm trong góc b) Gỉa sử hai đường thẳng a và b cắt đường thẳng c lần lượt tại A và B sao cho nếu a và b cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài bằng một góc trong không kề với nó (trái với định lý a) c) vậy nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song (đpcm) Bài 7 trang 201: Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 1800”trong sách giáo khoa phổ thông. Cách chứng minh đó phải dựa vào tiên đề về đường song song. Sau đây là cách chứng minh không dùng đến tiên đề đó. Chứng minh: Ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S. Lấy tam giác bất kì ABC ta có: Gọi D là điểm ở giửa của B và C, ta có hai tam giác ABD và ACD, theo giả thiết: Suy ra: hay Hay: S + 1800 = 2S, tức là S = 1800. Hãy bình luận về chứng minh đó. Giải: Ta có: Suy ra (mâu thuẫn) Vì ta không có cơ sở để xác định Theo tiên dề 13: vẽ duy nhất đường thẳng d đi qua A và song song BC Khi đó: = , = Mà + = 1800 Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) .Hãy gọi mỗi vecto của V là một “điểm”,và với bất kì hai “điểm” và của V ta cho tương ứng với vecto của V.Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều. Giải Gọi mỗi vectơ là một điểm và kí hiệu là U. Vậy các vectơ bây giờ được hiểu là các điểm A,B,X,Y Theo tiên đề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vectơ và ) ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn xác định của V ,đó là vectơ Như vậy : Theo tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước (là vectơ ) và mỗi vectơ cho trước của V có một điểm duy nhất B sao cho Thật vậy ta chỉ cần lấy B là điểm Theo tiên đề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có Thật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ thì , Từ đó suy ra Vậy cả ba tiên đề đều nghiệm Suy ra V là không gian Ơclic n chiều. CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 1 trang 202: Cho song ánh f: P¦P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.Chứng minh: biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. biến đường thẳng thành đường thẳng. biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. biến bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành. không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. Giải: Giả sử biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Lấy M bất kỳ: Dothẳng hàng (1) Do thẳng hàng (2) Từ (1), (2) Þ mâu thuẫn. Vậybiến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. Cho d bất kỳ. Trên d lấyA, B sao cho A¹B. Gọi d’ là đường thẳng đi qua. Lấy, và. Do thẳng hàng Þ (1) Ngược lại: , thẳng hàng. Do là song ánh nên (2) Từ (1), (2) Þ biến đường thẳng thành đường thẳng. Cho 2 đường thẳng song song với nhau. Theo b) Giả sử $ Þ (1) Þ (2) Từ (1), (2) Þ (mâu thuẫn) Vậy a’song song b’ biến . Cho là hình bình hành có AB//CD, AD//BC Song ánh Theo c : AB//CD ¦ A’B’//C’D’ AD//BC ¦ A’D’//B’C’ Þ là bốn đỉnh của một hình bình hành. Giả sử (A,B,C) = k1 (A’,B’,C’) = k2 (1) Ta cần chứng minh k1= k2 Giả sử k1¹ k2 Khi đó: $D’Î(d’): (A’, B’, C’) = k1 Vậy là phép afin Từ(1), (2) Þ vô lý vì là song ánh. Þ k1= k2 bảo toàn tỉ số đơn. Bài 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt .Chứng minh rằng nếu và và I là trung điểm AB thì . Giải Ta có f là phép afin A và B là hai điểm phân biệt , Gọi I là trung điểm của AB Gỉa sử Do f là phép afin nên f bảo toàn tỉ số đơn I’ là trung điểm AB Theo tính chất duy nhất của trung điểm Bài 3 trang 202: Cho tứ giác ABCD. Gọi là phép Afin sao cho . Chứng minh: Nếu d là đường thẳng đi qua trung điềm của AB và CD thì biến mọi điểm của d thành chính nó. Tứ giác ABCD là hình thang. Giải: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A,B. Ta có: Mọi điểm của đường thẳng d (đi qua M, N) đều biến thành chính nó. Ta chứng minh rằng . Giả sử ta có ta có . Vậy ta có là ba điểm bất động. là đồng nhất (vô lý) hay ABCD là hình thang. Bài 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự. Giải Giả sử là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f Ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao cho với mọi bất kỳ có : Thật vậy với vectơ bất kỳ ta lấy hai điểm M,N sao cho Nếu gọi và và Thì theo định nghĩa của ta có : Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết bởi vậy . Tương tự như vậy ,đối với vectơ ta cũng có .Tuy nhiên ta chứng minh được Thật vậy, nếu đặt vectơ , thì ta cũng có .Nhưng vì biến đổi tuyến tính nên .Tức là Từ đó ta suy ra nếu và không cộng tuyến thì , vậy . Còn nếu và cộng tuyến ta lấy một vectơ không cộng tuyến với vectơ thì Bây giờ ta lấy k=1 thì với mọi cặp điểm M,N và ảnh của chúng là M’.,N’ ta có .Vậy Vậy f tịnh tiến theo vectơ . Nếu (chú ý rằng nếu ) thì với cặp điểm M,N và ảnh của chúng ta có suy ra hai đường thẳng MM’ và NN’ cắt nhau tại O và Vậy f là phép vị tự tâm O tỉ số k. Bài 5 trang 203: Có bao nhiêu phép biến một tam giác đã cho thành chính nó? Giải: Giả sử là tam giác đã cho. Ký hiệu (i, j, k) là một hoán vị nào đó của bộ ba số (1, 2, 3) thì có một phép afin duy nhất biến tam giác thành tam giác. Vậy có tất cả 3!=6 phép afin biến tam giác thành chính nó. Bài 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’.Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A,B,C,D lần lượt thành các đỉnh A’,B’,C’,D’? Giải Vì ba điểm A,B,C cũng như ba điểm A’,B’,C’ không thẳng hàng cho nên có một phép afin f duy nhất biến A,B,C lần lượt thành A’,B’C’ Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi và Bài 7 trang 203: Mỗi đường chéo của ngũ giác ABCDE song song với một cạnh của nó. Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A. Giải: Các đường chéo của ngũ giác ABCDE cắt nhau tạo thành ngũ giác IJKLM. Theo giả thiết ta có: ABCJ, BCDI, CDEM, DEAL, EABK là những hình bình hành .Từ các đường thẳng song song, ta suy ra: Tương tự ta được: Gọi f là phép afin biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm B, C, D. Khi đó hình thang BCDE’ sao cho BE’//CD và . Từ đó suy ra E’ trùng E, vậy biến D thành E. Tương tựbiến E thành A. Bài 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm lần lượt thành các điểm Giải Biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin có dạng: Vì nó biến ba điểm A,B,C thành A’,B’,C’ nên : Ta có : thay vào phương trình : Từ phương trình thay vào phương trình: Tương tự từ phương trình : Và Vậy ta có biểu thức tọa độ là: Bài 9 trang 203: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin đảo ngược của phép afin sau đây: Giải: Gọi M(x; y) M’= (M)= (x’; y’) Vậy M(x; y) =( M’) là: Bài 10: Cho hai phép afin: Phép f: Phép g: Tìm biểu thức tọa độ của go f và f0 g Xét f: A(0,0); B(1,0); C(1,0) f(A): f(A)= (-5,7) f(B): f(B)= (-3,10) f(C): f(C)=(-4,6) xét g: g(f(A)): g(f(A))=(-8,24)=A’ g(f(B)): g(f(B))=(-9,28)=B’ g(f(C)): g(f(C))=(-6,21)=C’ Ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’(-8,24); B’(-9,28); C’(-6,21) Biểu thức tọa độ của g0f là: Vậy biểu thức tọa độ của g0f là Tương tự ta xét biểu thức tọa độ của f0g: Xét g: A(0,0); B(1,0); C(0,1) g(A)= g(A)=(4,5) g(B)= g(B)=(5,4) g(C)= g(C)=(3,7) xét f: f(g(A))= f(g(A))=(8,14)=A’’ f(g(B))= f(g(B))=(9,18)=B’’ f(g(C))= f(g(C))=(8,9)=C’’ Vậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’’(8,14); B’’(9,18); C’’(8,9) Biểu thức tọa độ của f0 g là : Vậy biểu thức tọa độ của f0g là: Bài 11 trang 203: Cho phép afin: Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng (d): 2x + y -1 =0 Tìm trên đường thẳng (D): 7x -2y -24=0 tại một điểm sao cho ảnh của nó nằm trên đường thẳng đó. Tìm đường thẳng đi qua điểm A(1; 1) sao cho ảnh của đường thẳng đó cũng đi qua A. Giải: a) Nếu điểm M (x; y) nằm trên đường thẳng (d) và ảnh của nó là M’(x’; y’) 2x’+ y’ – 13=0 Vậy M’ nằm trên đường thẳng: 2x+y –13= 0 đó chính là ảnh (d) của (d). Nếu M’() nằm trên đường thẳng (d): 2x+y –1=0. Gọi M (x,y) là tạo ảnh của M thì: 2(3x + 4y -12) + (4x - 3y + 6) –1 = 0 10x + 5y -19 = 0 là phương trình của (d). b) Giả sử:(D) (1). Ảnh M’ của M có tọa độ (D) 7()-2() -24= 0 (2) Từ (1), (2) ta được hệ: c) Từ biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin đã cho ta suy ra: (3) Gọi là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1): a(x-1) + b(y-1) = 0 a(25x - 25)+b(25y - 25) = 0 (4) Thay (3) vào (4) ta được: a(3x’+4y’+12) + b(4x’- 3y’+66) = 0 (3a + 4b)x’+ (4a - 3b)y’ - 13a + 41b = 0 (*) (*) là phương trình của đường thẳng (). Để đường thẳng đó đi qua A(1;1) Ta có điều kiện: 3a + 4b + 4a - 3b - 13a + 41b = 0 -6a+42b = 0 Chọn a = 7 và b=1: 7x + y -8 = 0 Bài 12: Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (tức là đường thẳng biến thành chính nó) cùa các phép afin sau đây: a/ b/ Giải a/Điểm bất động: Giải hệ phương trình ta được điểm bất động là . Đường thẳng bất biến : Nếu đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng (d’) và phương trình của (d’) là thì phương trình của (d) là: Hay: Để hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau ta cần có điều kiện: (*) Từ đẳng thức với dấu bằng đầu tiên ta suy ra:hay +/Nếu thì từ đẳng thức với dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra : , suy ra . Vậy ta có thể lấy: và và được đường thẳng bất biến có phương trình: +/Nếu thì từ dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra vậy và phương trình đường thẳng bất biến là: b/Điểm bất động : Giải hệ phương trình: Hệ phương trình trên tương đương với một phương trình: Vậy mọi điểm của đường thẳng đều là điểm bất động. Đường thẳng bất biến: Nếu đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng (d’) và (d’) có phương trình: thì phương trình của (d) là: Hay: . Để (d)(d’), điều kiện là: (*) Ta suy ra: +/Nếu thay vào (*) ta được : . Vậy lấy thì và được đường thẳng bất biến . +/Nếu thì thay vào (*) ta được ,đúng với mọi C. Vậy ta có vô số đường thẳng bất biến song song với nhau: Bài 13 trang 204: Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nhất và một đường thẳng bất biến đều đi qua điểm đó. Giải: Giả sử phép afin f có điểm bất động duy nhất O. Ta chọn O làm gốc của mục tiêu afin thì biểu thức tọa độ của có dạng: trong đó ad – dc 0. Điểm bất động của có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình: Vì chỉ có một điểm bất động O duy nhất nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là (a – 1)(d – 1) 0 (*). Giả sử (d) là đường thẳng có ảnh là (d’) và (d’) có phương trình Ax’ + By’ +C = 0. Khi đó (d) có phương trình: A(ax + cy) + B(bx + dy) + C = 0 hay : (Aa + Bb)x + (Ac + Bd)y +C = 0. Nếu C 0 thì điều kiện để (d) trùng với (d’) là: Nhưng do điều kiện (*) nên từ hệ phương trình sau ta suy ra A = B = 0, và ta không có đường thẳng như vậy. Điều đó có nghĩa là nếu (d) là đường thẳng bất biến thì trong phương trình của nó ta phải có C = 0, tức là (d) đi qua điểm O, tức là đi qua điểm bất động duy nhất của. Bài 14: Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây: Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2,6) biến thành điếm (-1,-4). Mọi điểm của đường thẳng x+2y-1=0 đều là điểm bất động và điểm biến thành điểm (2,1). Giải Vì điểm O biến thành chính nó và vecto (1;0) biến thành chính nó nên biểu thức tọa độ của phép afin đã cho có dạng: Vì điểm (2;6) biến thành điểm (-1;-4) nên: -1 = 2 + 6c -4 = 6d Vậy , . Biểu thức tọa độ của phép afin đã cho là: Biểu thức của f có dạng: Lấy hai điểm nào đó trên đường thẳng đã cho, chẳng hạn M(1;0), N(-1;1) thì M và N đều biến thành chính nó, còn B biến thành B’, nên: Ta tìm được: Vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ: Bài 15 trang 204: Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp: a) Các đường thẳng x + y + 1 = 0 và x + 2y – 1 = 0 biến thành hình nó, còn điểm (1;1) biến thành điểm (2;1) b) Các đường thẳng 5x – 6y – 7 = 0 và 3x – 4y = 0 lần lượt biến thành các đường thẳng 2x + y – 4 =0 và x – y +1 = 0, còn điểm (6;4) biến thành điểm (2;1). Giải: a) Hai đường thẳng x + y +1 = 0 và x + 2y – 1 = 0 cắt nhau tại điểm . Vì hai đường thẳng đó biến thành chính nó nên điểm I biến thành chính nó. Giả sử phép afin đã cho có phương trình: Vì điểm I(- 3; 2) biến thành chính nó và điểm ( 1;1) biến thành điểm ( 2; 1) nên: Khử p và q giữa các phương trình trên ta được: 4a – c = 5 và 4b – d = - 1. Từ đó ta có: c = 4a – 5, d = 4b + 1, và do đó p = 7 – 5a, q = -5b. Như vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ: Trên đường thẳng: x + y + 1 = 0 ta hãy lấy một điểm nào đó khác với I, chẳng hạn điểm M(- 1; 0), ảnh M’ của M có tọa độ: Vì điểm M’ cũng nằm trên đường thẳng x + y + 1 = 0 nên -6a + 7 – 6b + 1 = 0, hay: 3a + 3b = 4 (1). Trên đường thẳng x + 2y – 1 = 0 ta hãy lấy một điểm nào đó khác với I, chẳng hạn điểm N(1;0), ảnh N’ của N có tọa độ: Vì điểm N’ cũng nằm trên đường thẳng x + 2y – 1 = 0 nên x’ + 2y’ – 1 = 0, hay: (7 – 4a) + 2(- 4b) – 1 = 0. Vậy: 2a + 4b = 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: a = , b =. Vậy biểu thức tọa độ của phép afin là: b) Giả sử biểu thức tọa độ của phép afin đã cho viết dưới dạng: khi đó đường thẳng 5x – 6y – 7 = 0 biến thành đường thẳng có phương trình: 5( ax’ + cy’ + p) – 6(bx’ + dy’ +q) – 7 = 0 Hay: (5a – 6b)x’ + (5c – 6d)y’ + 5p – 6q – 7 = 0. Theo giả thuyết đường thẳng này trùng với đường thẳng 2x + y – 4 = 0, như vậy: Tương tự, đường thẳng 3x – 4y = 0 sẽ biến thành đường thẳng có phương trình: 3( ax’ + cy’ + p) – 4(bx’ + dy’ + q) = 0 hay (3a – 4b)x’ + (3c – 4d)y’ + 3p – 4q = 0. Theo giả thuyết, đường thẳng này trùng với đường thẳng x – y + 1 = 0, như vậy: 3a – 4b = - 3c +4d = 3p – 4q (3) Cuối cùng vì điểm (6;4) biến thành điểm (2; 1) nên: Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta tìm được: ,,. Như vậy ta có: Và từ đó suy ra: Bài 16: Các phép afin sau đây có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, nếu không phải là thấu xạ trượt a. b. c. d. e. Giải Trong biểu thức x’ = x, y’ = ky ta phải có . Nếu k = 1 thì đó là phép đồng nhất. Nếu thì các điểm bất động có tọa độ thỏa mãn hệ: Vậy tất cả các điểm của trục y = 0 đều là điểm bất động. Đây là một phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng Ox. Nếu ta lấy M = (0;1) thì M có ảnh là M’ = (0;k), và MM’ cắt nhau tại O. Vì nên ta có tỉ số thấu xạ là k. Trong biểu thức ta cũng phải có . Nếu k = 1 thì ta có phép tịnh tiến theo vectơ . Vậy nếu p = q = 0 thì ta có phép đồng nhất, nó cũng là một phép thấu xạ. Nếu một trong hai số p và q khác không, ta được phép tịnh tiến, đó không phải là phép thấu xạ. Nếu , các điểm bất động có tọa độ thỏa mãn hệ: Hệ phương trình trên vô nghiệm khi , nên phép afin đã cho không phải là phép thấu xạ. Khi p = 0, các điểm bất động là mọi điểm của đường thẳng d: (k - 1) + q = 0. Vậy phép afin đã cho là một phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng đó. Ta hãy lấy một điểm M khô