Bài tập Hình học (Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8)

BÀI TẬP HÌNH HỌC – BDHSG 8 (Ôn tập) 1/ Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của . CMR: . 2/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB< AC). Gọi BD là đường phân giác trong của tam giác ABC, dựng đường trung trực của đoạn BD cắt đường thẳng AC tại M. CMR: Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng. Cho AD = 4cm và DC = 6cm. Tính MD. 3/ Cho ABC có 3 góc nhọn, Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy M và N sao cho . CMR: Các tam giác ABD và ACE đồng dạng. b) Tam giác AMN cân. 4/ Từ điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, vẽ DE vuông góc với AB tai E và DF vuông góc với AC tại F. CMR: BE2 + ED2 + DC2 = BD2 + DF2 + FC2 . b) DB.DC = AE.BE + AF.CF. 5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD. CMR: . 6/ Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD. CMR: AB.AE + AD.AF = AC2. 7/ Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của CB lấy điểm F sao cho AE = CF. CMR: Tam giác DEF vuông cân. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, gọi I là trung điểm EF. CMR: O, C, I thẳng hàng. 8/ Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM, BN lần lượt vuông góc các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng , tính các góc của hình thoi ABCD. 9/ Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. CMR: . 10/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính . 11/ Cho tam giác ABC cân tại A có góc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. CMR: a3 + b3 = 3ab2. 12/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. C/m: tam giác CIN vuông. Tính diện tích tam giác CIN theo a. C/m: tam giác AID cân. 13/ Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và CD tại F. C/m: AM vuông góc EF. 14/ Cho tam giác ABC có . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. C/m: AD2 = AB2 + AC2. 15/ Cho tam giác ABC (BC< AB). Từ C vẽ đường vuông góc với phân giác BE tại F và cắt AB tại K, vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/m : DF đi qua trung điểm của GE. 16/ Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi là d. Hãy tìm hình có diện tích lớn nhất? 17/ Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các đường phân giác của tam giác đó CMR: . 18/ Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH và CD. C/m: BM vuông góc MK. 19/ CMR: Trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất. 20/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ .Tìm vị trí của M sao cho tổng MI2 + MJ2 + MK2 nhỏ nhất. 21/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F là trung điểm của BC và CD. Đường chéo BD cắt AE và AF tại M và N. Tính SBNFC theo diện tích của hình bình hành đã cho.(SABCD = a2). 22/ Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CG. C/m rằng: Tam giác IHK vuông. 23/ Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC ta lấy các đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’ = CA. CMR: Các tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm trùng nhau. 24/ Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1. C/m rằng: . 25/ Cho hình thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. C/m rằng PQ // CD.