Bài tập Hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Hệ thức lượng trong tam giác 1. a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A. Biết rằng AB = 7cm,AC = 9cm. Tính BH,CH,AH. b) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4cm,CH = 9cm. Tính AH,AB,AC. 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. BiếtBC = a,AH = h. Tính độ dài cạnh bên theo a, h. 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM vuông góc với AB tạiM . Chứng minh rằngBM = AB3 BC2 . 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 4 5 , độ dài cạnh góc vuông nhỏ bằng 6cm. Tính độ dài cạnh huyền, độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền. 5. Tam giác ABC có AB = 48cm,AC = 14cm,BC = 50cm. Tính độ dài đường phân giác của góc C. 6. Tam giác ABC có cạnh AB = 26cm,AC = 25cm, đường cao AH = 24cm. Tính độ dài cạnh BC. 7. Hình thang ABCD có AB = 15cm,CD = 20cm. Cạnh bên AD = 12cm và vuông góc với hai đáy. Tính độ dài cạnh BC. 8. Tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh đáy bằng 18cm. Tính độ dài các đướng cao. 1 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 9. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = c, CB = b. Cho biết diện tích tam giác là S = 2 5 bc. Tính cạnh BC theo b, c. 10. Tính diện tích của hình thang có độ dài các đáy là a, b(a > b) các góc kề với đáy lớn lần lượt là 30o và 45o. 11. Cho tam giác ABC có B̂AC > 90o. Kẻ đường cao CH. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 + 2.AB.AH. 12. Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. D,E lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) ÂED = ÂBC 13. Cho tam giác nhọn ABC với BD,CE là hai đường cao. Các điểm N,M trên các đường thẳng BD,CE sao cho ÂMB = ÂNC = 90o. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 14. Cho hình thoi ABCD có  = 120o. Tia Ax tạo với AB một góc B̂Ax một góc bằng 15o và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh rằng: 1 AM2 + 1 AN2 = 1 3AB2 15. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM . Gọi D là hình chiếu của C trên BM , H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD. 16. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,BC,CA là ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM . Chứng minh rằng HM = 2. 2 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 17. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI 18. Chứng minh rằng trong một tam giác: a) Bình phương của cạnh đối diện với góc nhọn bằng tổng các bính phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. b) Bình phương của cạnh đối diện với góc tù bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia cộng với hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. 19. Qua điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC ta kẻ các đường vuông góc DH và DK lần lượt xuống các cạnhAB vàAC. Chứng minh hệ thức:DB.DC = HA.HC +KA.KC 20. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE,HF vuông góc với AB,AC. Chứng minh rằng: a) EB FC = AB3 AC3 b) BC.BE.CF = AH3 21. Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến CM . Ta kẻ đường caoMH của tam giácMBC và đặt trên tia AB đoạn AD = BH. Chứng minh rằng tam giác CDM cân. 22. Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết rằng IA = 2 √ 5cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB. 3 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 23. Tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD dài 45cm, đường cao AH dài 36cm. Tính các độ dài BD,DC. 24. Không dùng bảng số và máy tính, tính : sin 15o. 25. Chứng minh các công thức sau: a) sin 2α = 2 sinα. cosα b) 1 + cos 2α = cos2α 26. Tam giác ABC có  = B̂ + 2Ĉ và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các cạnh của tam giác. 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) SABC = 1 2 AB.AC sin B̂AC nếu B̂AC ≤ 90o. b) SABC = 1 2 AB.AC sin(180o − B̂AC) nếu B̂AC > 90o. 28. Với mọi góc nhọn α, chứng minh: a) tgα = 1 cotgα b) tgα cotgα = sin2 α cos2 α c) sin2 α− cos4 α = sin2 α− cos2 α 29. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 √ 3cm,AC = 2 √ 5. Tính BC, tính các góc B,C. 30. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ởO và không vuông góc với nhau. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G, I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC,AOD. a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác 4 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt IEG và HFK đồng dạng. b) Chứng minh rằng IG⊥HK 31. Cho tam giác có ba góc nhọn. Đặt BC = a,AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a sin  = b sin B̂ = c sin Ĉ 32. Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a,AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 − 2bc. cos  33. Cho tam giác ABC có BC = a,AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: sin A 2 ≤ a 2 √ bc . Từ đó suy ra: sin A 2 . sin B 2 . sin C 2 ≤ 1 8 34. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc nhau. Chứng minh rằng cotB+cotC ≥ 2 3 35. Cho góc nhọn α. Tìm giá trị lớn nhất nhất của: 1 sin4 α + 1 cos4 α . 5 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Định nghĩa và sự xác định đường tròn 1. Tính bán kính đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác cân có cạnh đáy bằng đường cao tương ứng h. 2. Hình chữ nhật ABCD có các đỉnh thuộc đường tròn (O;R). Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm M ∈ (O) đến các đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí của M và tính tổng đó theo R. 3. Cho hình thang cân ABCD ( đáy nhỏ AB), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng: a) Độ dài đường cao và độ dài đường trung bình của hình thang là bằng nhau. b) M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn. 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AC cố định. BD là dây cung vuông góc với AC. a) Viết công thức tính diện tích tứ giác ABCD theo hai đường chéo AC,BD. b) Tìm vị trí của dây BD lúc ABCD có diện tích lớn nhất, chứng tỏ lúc ấy ABCD là hình vuông. 5. Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 5cm và dây cung BA = 3cm. a) Chứng tỏ 4ABC vuông tại A, tính độ dài AC và đường cao AH của 4ABC. b) Gọi D là đỉnh của4BCD có CD = 3cm,BD = 4cm. Chứng tỏ D nằm trên đường tròn (O). 6 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. a) Xác định tâmO của đường tròn đi qua 3 điểmA,B,C. b) Vẽ đường cao AH và đường kính AD. Chứng tỏ hai tam giác CAH,DAB đồng dạng, suy ra AB.AC = AH.AD. 7. Cho tam giác ABC ( 6= 90o), đường tròn có đường kính BC cắt hai đường thẳng AB,AC lần lượt tại D,E. Hai đường thẳng CD,BE cắt nhau tại H. Chứng tỏ H là trực tâm của 4ABC và suy ra AH vuông góc với BC. 8. Cho đường tròn (O) có đường kính BC cố định và điểm A ∈ (O). Trên tia đối của tia AB lấy đoạn AD = AC,trên tia đối của tia AC lấy đoạn AE = AB. a) Chứng tỏ 4ABC và 4AED bằng nhau. b) Đường thẳng qua đường cao AH của 4ABC cắt DE tại M . Chứng tỏ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. c) Chứng minh AO⊥DE 9. Cho hai điểm A và B cố định. Một đường thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d. a) Tìm quỹ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A. b) Xác định vị trí của để BP có độ dài lớn nhất. Xác định vị trí của d để BP có độ dài bé nhất. 10. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); BC = CD = 1 2 AD = a. a) Chứng minh A,B,C,D nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh AC⊥OB. 7 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 11. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác; N,P,Q lần lượt là trung điểm của AH,AB,AC. Chứng minh ONPQ là hình bình hành. 12. Cho tam giác ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tâm S đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D,E, cắt đường tròn (O) tại H,K(các điểm xếp theo thứ tự D,H,E,K) a) Chứng minh BD,BE là những đường phân giác của góc ÂBC, CK,CH là những đường phân giác của góc ÂCB. b) Chứng minh rằng BDAE,AHCK là những hình chữ nhật. 13. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH⊥OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH. a) KhiM chạy trên cung AC thì điểm P chạy trên đường nào? b) Tìm những điểm P chạy trên bán kính PM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp (O) 14. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Lấy điểm C tùy ý trên đường tròn. Trên tia AC, lấy điểm M sao cho AM = BC. Điểm M chạy trên đường nào khi C chạy trên đường tròn (O). 8 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Tính chất đối xứng 1. Trong đường tròn (O;R) cho dây cung AB di động nhưng có độ dài không đổi AB = l. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh OI⊥AB b) Tính độ dài OI theo R, l và suy ra I di động trên một đường tròn cố định 2. Cho tam giác ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O;R) có độ dài cạnh AB = AC = R. a) Chứng minh rằng tia AO là phân giác của góc B̂AC b) Chứng tỏ BC > AB, suy ra thứ tự khoảng cách từ tâm O đến các cạnh của tam giác ABC. c) Tính theo R độ dài cạnh BC, chiều cao hạ từ A và diện tích của 4ABC 3. Trong đường tròn (O;R) cho dây cung di động AB có độ dài không đổi l = R √ 3. Chứng minh rằng các trung điểm I của AB thuộc một đường tròn cố định tâm O bán kình r = R 2 . 4. Cho đường tròn (O) có đường kính BC vuông góc với dây cung AD tại H. a) Chứng minh hai tam giác BAD,CAD cân và tứ giác BACD có các góc đối diện bù nhau. b) Chứng tỏ HB.HC = HA2 = HD2. 5. Trong đường tròn (O;R) có hai bán kính OA,OB vuông góc nhau, M là trung điểm của AB. a) Chứng minh OM⊥AB. b) Tính đột dài AB,OM theo R. 9 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt c) Cho A,B di động nhưng vẫn có OA⊥OB. Chứng minh các điểm M thuộc về một đường tròn cố định. 6. Trên đường trình (O;R) có ba điểm A,B,C sao cho tam giác ABC cân tại A. a) Cho trước A hãy vẽ B,C. b) Chứng tỏ AO là tia phân giác của góc BAC và đường thẳng AO là trung trực của BC. c) Cho biết R = 5cm,AB = 8cm và gọi A′ là điểm đối xứng của A qua O. Tính độ dài các đoạn thẳng BA′, BC. 7. Cho 4ABC đều có cạnh a, chiều cao AH. a) Hãy vẽ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Chứng tõ4OHB là nửa tam giác đều. Tính OH, h, a theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Dựa vào vị trí cùa H trên đường kính AD mà suy ra một các vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên một đường tròn cho trước. 8. Gọi I là trung điểm của dây cung không qua tâm AB của đường tròn (O;R) a) Chứng minh OI⊥AB b) Qua I vẽ dây cung EF , chứng tỏ EF ≥ AB. Tìm độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của các dây cung quay quanh I c) Cho R = 5cm,OI = 4cm, tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I. 9. Cho điểm A cố định trong đường tròn (O;R) và MN là dây cung quay quanh A. a) Chứng minh rằng trung điểm I của các dây cungMN 10 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt thuộc về đường tròn cố định có đường kính OA b) Tia OI cắt đường tròn tại C. Chứng tỏ tứ giác OACB là hình thoi, tính diện tích của OACB theo R. 10. Trong một đường tròn tâm O, cho hai dây AB và CD song song với nhau. Biết AB = 30cm,CD = 40cm; khoảng cách giữa AB và CD là 35cm. Tính bán kính của đường tròn. 11. Cho đường tròn tâm A bán kính AB. Dây EF kéo dài cắt đường thẳng AB tại C (E nằm giữa F và C). Hạ AD⊥CF . Cho AB = 10cm;AD = 8cm;CF = 21cm. Tính CE và CA. 12. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh: a) Tam giác AEF cân b) OD⊥OE c) D,A,E,O cùng nằm trên một đường tròn. 13. *Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Dựng ra phía ngoài tam giác các hình chữ nhật ACDE và BCFG có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng OC đi qua trung điểm N của DF . 14. Cho đường tròn (O) cố định và dây cung AB không qua tâm cố định của (O). C là điểm do động trên cung AB. M là trung điểm BC. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại H. a) Chứng minh rằngMH luôn đi qua một 11 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt điểm cố định. b) Tìm đường di chuyển của M khi C di chuyển trên cung nhỏ AB. 12 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn 1. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) gặp nhau tại C. Đường vuông góc với OA kẻ từ O gặp BC tại D; đường vuông góc với AC kẻ từ C gặp OB tại E. a) Chứng mình rằng các tam giác DOC và EOC là các tam giác cân. b) Suy ra DE là đường trung trực của đoạn OC. c) Tính khoảng các OC theo R để tam giác EOC đều. Lúc đó chứng tỏ D là trọng tâm của tam giác EOC. 2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB và hai tiếp tuyến (a), (b) tại A và B. Một tiếp tuyến khác tạiM cắt (a), (b) lần lượt tại C và D. a) Chứng minh rằng: CD = AC +BD b) Chứng tỏ tam giác COD vuông và đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. c) Với vị trí nào của điểm M thì tổng AC + BD nhỏ nhất. d) Chứng minh hệ thức: AB2 = 4.AC.BD 3. Qua điểm P ở bên trong đường tròn (O) ta kẻ hai dây AB và CD vuông góc và bằng nhau. Mỗi dây bị điểm P chia thành hai đoạn thẳng dài 3cm và 21cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây và bán kính đường tròn. 4. Cho đường tròn (O;R) và hai tiếp tuyến MA,MB của đường tròn. Kẻ AD (D nằm giữa O và M) sao cho M̂AD = 45o. a) Chứng minh DO.BM = AO.DM 13 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt b) Chứng minh BD là đường phân giác của ÔBM c) TừM kẻ đường thẳng song song với OB, đường thẳng này cắt OA tại N . Chứng minh NO = NM . 5. Cho đường tròn (O;R), hai tiếp tuyến MA,MB của đường tròn, AB cắt OM tại H. a) Chứng minh AM.BM = MH.MO b) Đường thẳng OA cắtMB tại N . Chứng minh OA ON = MB MN c) Từ O kẻ OK song song với AM( K Thuộc MB). Chứng minh OK = MK. 6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ các tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn và tia Oz vuông góc với AB (các tia Ax,By, Cz cùng phía với nửa đường tròn đối với AB). Gọi E là điểm bất kì của nửa đường tròn. Qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax,By,Oz theo thứ tự tại C,D,M . Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì: a) Tích AC.BD không đổi. b) Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật. Tính diện tích nhỏ nhất đó. 7. Cho hình thang vuông ABCD ( = D̂ = 90o), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD. a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA). b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a. c) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I) nói trên. K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với DC. 14 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH,BH = 20cm,HC = 45cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ tiếp tuyến BM,CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H). a) Tính diện tích tứ giác BMNC. b) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK,KN . c) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Tính các độ dài IM, IB 9. Trên một đường thẳng d cho hai điểm A,B. Các tia Ax,By nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d và cung vuông góc với d. Trên Ax lấy một điểm C và trên By lấy một điểmD thỏa mãn hệ thức: AB2 = 4.AC.BD. Vẽ các đường tròn tâm C và D theo thứ tự tiếp xúc với d tại các điểm A và B. Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc với nhau. 10. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax của (O) ta lấy điểm C và trên tiếp tuyến By của (O) ta lấy điểm D sao cho AC +BD = CD. Chứng rằng CD tiếp xúc (O). 11. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E, F . Đặt BC = a, CA = b, AB = c, p là nửa chu vi tam giác.Chứng minh rằng: a) Diện tích của tam giác ABClà S = pr b) AE = AF = p− a;BD = BF = p− b;CD = CE = p− c 12. Cho đường trònh (O) có đường kính AB. Tiếp tuyến tại điểm M thuộc (O) cắt hai tiếp tuyến tại A và B của 15 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt (O) lần lượt tại B vàC. Vẽ đường tròn (I) có đưo27ng kính CD. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với (I) tại O. 13. Trên tiếp tuyến tại A thuộc (O;R) lấy đoạn IA = R √ 3 a) Tính độ dài OI theo R và số đo các góc của tam giác AOI b) Kéo dài đường cao AH của tam giác AOI cắt (O) tại B, chứng tỏ IA = IB và IB cũng là tiếp tuyến của (O) c) Chứng tỏ tam giác AIB đều. 14. Cho góc x̂Oy = 60o. Một đường tròn tâm I bán kính R = 5cm tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ điểm M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, Oy tại F . a) Tính chu vi tam giác OEF , chứng minh rằng chu vi đó không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh rằng ÊOF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I, đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính CH cắt AC tại F . Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F . 16. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) KH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. 17. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm 16 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính BD cắt tiếp tuyến CB tại E. a) Tứ giác AECD là hình gì? b) Chứng minh tam giác HCE cân tại H. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. 18. Cho nửa đường tròn đường kínhAB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến qua M , nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A′ là giao điểm BM với Ax, B′ là giao điểm AM vớiBy. Chứng minh: a) 4A′AB và 4ABB′ đồng dạng, suy ra AA′.BB′ = AB2. b) CA = CA′, DB = DB′ c) Ba đường thẳng B′A′, DC,AB đồng qui. 19. Ba đường tròn nằm trong tam giác ABC có cùng bán kính a, cùng đi qua một điểm sao cho cứ hai đường tròn lấy theo đôi một thì cùng tiếp xúc với một cạnh của tam giác ABC. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp4ABC theo R và a. 20. Cho đường tròn bán kính r nội tiếp4ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D, với AC tại E, với AB tại F . Vẽ đường kính DD′. Cho B̂D′C = 90o, BC = a, CA = b, AB = c. Tính độ dài AE,AF theo a. 21. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC (AB > AC)tiếp xúc với các cạnh AB,AC lần lượt tại P,Q. Gọi R,S lần 17 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA và T là giao điểm của PQ và RS. Chứng minh rằng T nằm trên đường phân giác của góc B. 22. ** Cho tam giác ABC có AB < AC < BC. Trên hai cạnh AC,BC lấy D,E sao cho AB = AD = AE. Xác định vị trí tương đối giữa DE và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 23. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đoạn AB lấy 1 điểm C. Dựng đường tròn tâm I đường kính BC. Đường trung trực của AC cắt (O) tại D, DB cắt (I) tại N . Chứng minh rằng: a) OD = MI (M là trung điểm của AC) b) IN = OM c) 4OMD = 4INM , suy raMN là tiếp tuyến của (I). 24. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại hai điểm B,C. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D nằm trên một đường thẳng cố định. 25. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại C cắt AB tại D. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác trong góc ÔCD, đường thẳng này cắt CD tại M . Chứng minh rằng M thuộc một đường cố định khi C di chuyển trên nửa đường tròn. 26. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M thay đổi trên cạnh BC. Gọi D là tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AB tại B; E là tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AC tại C. a) Tìm vị trí củaM đểDE có độ dài nhỏ nhất. b) Chứng 18 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt minh rằng trung điểm N của DE thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên cạnh BC. 27. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax và By. Tiếp tuyến tại một điểmM bất kì trên nửa đường tròn cắt Ax tại C và cắt By tại D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. P là giao điểm của OC và AN , Q là giao điểm của OP và BM .Chứng minh rằng: a) MN//AC b) PQ//AB c) Ba điểm P,N,Q thẳng hàng. 28. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB với A,B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH. 19 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác 1. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r) và tiếp xúc với các cạnhAB,BC,AC lần lượt tạiD,E, F . Chứng minh rằng: a) AB + AC −BC = 2AD b) SABC = 1 2 pr (P là nửa chu vi của tam giác ABC) c) ha + hb + hc = 9r 2. Cho tam giác ABC với AC > BC. Đường trung tuyến CD tiếp xúc với các đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD tại E và F . Chứng minh hệ thức: AC − BC = 2EF . 3. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại D, biết rằng: AC.BC = 2.AD.DB. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại C. 4. Tam giác ABC có chu vi 80cm và ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC cắt AB theo thứ tự tại M,N . a) Cho biết MN = 9, 6cm. Tính độ dài BC. b) Cho biết AC − AB = 6cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC,BC để MN có độ dài lớn nhất. 5. Cho một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm, diện tích bằng 24cm2. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (O; r), (O1, r1), (O2, r2) theo thứ tự là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,ABH,ACH. Chứng minh 20 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt rằng: a) Chứng minh rằng: r + r1 + r2 = AH b) Chứng minh rằng: r2 = r21 + r 2 2. 7. * Tính các góc của một tam giác vuông biết rằng tỉ số giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp bằng √ 3 + 1. 8. Đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với các cạnh của tam giác ABC cắt từ tam giác ABC thành 3 tam giác nhỏ. Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác nhỏ đó. Chứng minh rằng r = r1 + r2 + r3. 9. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm,AC = 12cm. Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài IG. 10. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D,E, F theo thứ tự là tiếp điểm trên các cạnhBC,AB,AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF . Chứng minh rằng B̂HE = ĈHF . 11. Trên đường thẳng d lấy hai điểm A,B trong cùng một nửa mặt phẳng là đường thẳng d ta dựng hai tia Ax,By cùng vuông góc với d và trên Ax lấy một điểm C, trên tia By lấy một điểm D. Chứng minh rằng điều kiện cần cà đủ để CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB là: a) AB2 = 4.AC.BD b) CD = AC +BD. 12. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD⊥xy và BC⊥xy. 21 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt a) Chứng minh rằng MC = MD. b) Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không phụ thuộc và vị trí điểm M trên nửa đường tròn đường kính AB. c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. 13. *Cho nửa đường tròn đường kính AB. Một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn. Hạ CH⊥AB ( H thuộc AB). Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHC,BHC. BO2 cắt AO1, CO1 tại I và K. CI cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng: a) I là trực tâm của tam giác CO1O2. b) 4IKC = 4O1KO2, suy ra CI = O1O2. c) DA = DB = DI d) Khi OA = CB thì O1O2 đạt giá trị lớn nhất. 14. **Cho tam giác đều ABC (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. M ∈ cạnhAB,N ∈ cạnhAC. Đặt AB = a. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (I) khi và chỉ khi: a) AM + AN +MN = a b) AM BM + AN NC = 1 15. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: r = √ SABC +R2 −R 16. Cho tam giác ABC và đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác. Các tiếp tuyến với (I) song song với các cạnh của tam giác và tạo với các cạnh này 3 tam giác nhỏ. Gọi 22 Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt r1, r2, r3 là các bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác này. Chứng minh rằng r = r1 + r2 + r3 17. Cho tam giác ABC cân tại A có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi ra, rb, rc là lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp của góc A,B và C. a) Tính các cạnh của tam giác theo r, ra b) Chứng minh 1 ra + 1 rb + 1 rc = 1 r . Từ đó suy ra rb, rc theo r, ra. 18. *Cho tam giác ABC có BC = a,AB = c, AC = b. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường vuông góc với CI tại I cắt AC tạiM , AB tại N . Chứng minh rằng: a) AM.AN = IM2 =