Bài tập hình học nâng cao

Phương pháp chứng tỏ M là trung điểm của đoạn thẳng AB I/ Phương ppháp: 1/ Theo định nghĩa: M nằm giữa A và B AM + MB = AB M cách đều A và B MA = MB 2/ Theo t/c : MA = MB = II/ Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 14 cm.Gọi C là một điểm bất kỳ của đoạn thẳng AB.M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Chứng tỏ điểm C nằm giữa hai điểm M và N Tính độ dài đoạn thẳng MN .Suy ra rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB/ Tổng quát lên ta có bài tập sau: Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = a ( đ/v dài ). Gọi C là một điểm bất kì của đoạn thẳng AB. M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AC và BC Chứng tỏ điểm C nằm giữa hai điểm M vầ N Tính độ dài đoạn thẳng MN Kết quả câu b còn đúng k hông nếu điểm C di chuyển trên đường thẳng AB HD: Vì C nằm giữa hai điểm A và B nên A và B nằm khác phía đối với điểm C Vì M là trung điểm của AC nên M nằn giữa A và C , hay A và M nằm cùng phía so với C Mặt khác N là trung điểm của BC nên N và B nằm cùng phía so với điểm C Vởy M và N nằm khác phía so với C Hay C nằm giữa hai điểm M và N Theo câu a, vì C nằm giữa hai điểm M và N nên MN = MC + CN Mà MC = AC( Vì M là trung điểm của AC) CN = CB ( Vì N là trung điểm của CB) Vởy MN = AC + CB = ( AC + CB ) = AB = Nừu C di chuyển trên đoạn AB , ta luôn có : MN = ( AC + CB ) Nừu C di chuyển trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn thẳng AB thì ta có:MN = NC – CM = ( CB- AC ) = AB = Hoặc MN = CM – CN = ( AC - CB ) = AB = Bài 3: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Chứng tỏ rằng có một điểm C thuộc đoạn AB sao cho CA = 2. CB Chứng tỏ rằng có một điểm D thuộc tia AB nhưng không thuộc đoạn thẳng Absao cho DA = 2DB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD . Chứng tỏ rằng B là trung điểm của CN và tính CN. Bài 4: Cho một đoạn AB có độ dài bằng 1 cm. Gọi A1 là trung điểm của đoạn thẳng AB A2 là trung điểm của đoạn thẳng A1B A3 trung điểm của đoạn thẳng A 2B ……………………………………… A8 là trung điểm của đoạn thẳng A7B Tính độ dài đoạn thẳng A A 8 ? HD: Vì A1 là trung điểm của AB nên A và B nằm khác phía so với A1. Mặt khác A2 là trung điểm của A1 B nên A2 và B nằm cùng phía so với A1 . Suy ra A và A2 nằm khác phía so với A1. Vởy A1 nằm giữa A và A2. Tương tự ta c/m dược A2 nằm giữa A1 và A3 ; … A7 nằm giữa A 6 vàA8 Ta có: A A8 = A A1 + A1 A2 + A2A3 + … + A6A7 + A7A8 = = 1 - Bài 5: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C thuộc đoạn thẳng AC.Biết AC = a; CB = b( a<b).Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. P là trung điểm của MN. a)Chứng tỏ rằng P thuộc doạn thẳng CN Tìm liên hệ giữa A và B để P cũng đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng AB HD: Chứng tỏ P thuộc đoạn thẳng CN: MC = a/2; CN = b/2. Vì C nằm giữa M và N nên MN = MC + CN = Suy ra : NP = . Vì a< b nên < =b/2. Mà CN = b/2 Trên tia NA có : CP < CN nên P nằm giữa hai điểm C và N. Hay P thuộc đoạn NC. Ta có : Để P là trung điểm của MNvà cũng là trung điểm của AB thì : AM = MC = CN = NP Hay C trùng với P . Lúc đó a = b. Bài 6: Trên đường thẳng a cho 4 điểm A,B,C ,D theo thứ tự ấy.Biết AB = CD = 3 cm;BC = 5 cm. Chứng tỏ : AC = BD Chứng tỏ BC và AD có chung một trung điểm HD: a) Theo bài ra ,cho 4 điểm A, B ,C ,D theo thứ tự ấy thuộc đường thẳng a nghĩa là : B nằm giữa A và C ; C nằm giữa B và D Ta có : AC = AB + BC = 3 + 5 = 8 cm BD = BC + CD = 3 + 5 = 8 cm Vởy AC = BD b)Chứng tỏ AD và BC có cùng trung điểm Gọi I là trung điểm của BC. Ta có : I nằm giữa B và C ; IB = IC = 2,5 cm. Theo bài ra : B nằm giữa A và C nên A và C nằm khác phía so với B Mặt khác I là trung điểm của BC nên I và C nằm cùng phía so với B. Vởy B nằm giữa A và I. Ta có: AI = AB + BI = 3 + 2,5 = 5,5 cm. AD = AB + BC + CD = 11 cm. Vởy I thuộc đoạn AD mà AI = AD/2 nên I cũng là trung điểm của AD Bài 7: Cho A, B ,C ,D là 4 điểm theo thứ tự ấy thuộc đường thẳng a. Gọi M , M ‘ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD.Vứi điều kiện nào thì M và M’ trùng nhau? HD: Khi AB = CD