Bài tập Hình học - TS.Nguyễn Viết Đông

TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 1 PHẦN I. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1. Cho M laø moät ñieåm thuoäc parabol y 2 = 64x , N laø moät ñieåm thuoäc đường thaúng 4x + 3y + 46 = 0 . Xaùc ñònh M, N ñeå ñoaïn MN laø ngaén nhaát. 2. Trong maët phaúng xeùt hình bò chaén phía döôùi bôûi parabol y = x 2 bò chaén phía treân bôûi ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm (1,4) vaø coù heä soá goùc k. Xaùc ñònh k ñeå hình noùi treân coù dieän tích nhoû nhaát 3. Cho hai ñöơøng thaúng D1 : kx –y + k = 0 ; D2 : ( 1- k 2 )x + 2ky – (1 + k2) = 0. a) Chöùng minh raèng khi k thay ñoåi ñöôøng thaúng D1 luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. b) Vôùi moãi giaù trò cuûa k , haõy xaùc ñònh giao ñieåm cuûa D1 vaø D2 . c) Tìm quó tích cuûa giao ñieåm ñoù khi k thay ñoåi. 4. Cho A(a.0), B(0,a) vôùi a > 0 , m laø tham soá khaùc 0 vaø khaùc a. a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng y = m, tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi A. b) (C) caét ñöôøng thaúng AB taïi A vaø P . Tìm toaï ñoä cuûa P . Töø ñoù vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’ ) ñi qua P vaø tieáp xuùc vôùi truïc tung taïi B ,các đường tròn (C) vaø(C’ ) caét nhau taïi P vaø Q . Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng PQ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 5. Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1,1), B(-1, 2) , C(0,-1). 7. Cho elip x 2 + 2y 2 = 8 vaø ñöôøng thaúng (d) x - 2 y + 2 = 0 . Ñöôøng thaúng (d) caét elip taïi hai ñieåm B,C . Tìm A treân elip sao cho tam giaùc ABC coù dieän tích lôùn nhaát. 8. Cho (d) 2x + y – 4 = 0 , M (3,3), N(-5,19) . a) Tính toaï ñoä hình chieáu K cuûa M treân (d) vaø toïa ñoä ñieåm P ñoái xöùng vôùi M qua(d). b) Tìm M treân (d) sao cho AM + AN coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính giaù trò ñoù. 9. Cho elip x 2 + 4y 2 = 4 , A(-2,0) . Ñieåm M di ñoäng treân elip. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân Oy. Giaû söû AH caét OM taïi P. Tìm quó tích P khi M thay ñoåi. 10. Cho x 2 + y 2 +2x – 4y – 4 = 0, A(3,5).Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán keû töø A ñeán ñöôøng troøn vaø tính khoûang caùch giöõa caùc tieáp ñieåm. 11. Cho A(0,2), B(m, -2) .Vieát phöông trung tröïc (d) cuûa AB. CMR (d) luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng cong coá ñònh khi m thay ñoåi. 12. Vieát phöông trình döôøng troøn ñi qua A(2,-1)vaø txuùc vôùi Ox vaø Oy. 13. Cho A(-1,2), B(3,4). Tìm ñieåm C treân ñöôøng thaúng x - 2y + 1 = 0 sao cho tam giác ABC vuoâng ôû C. 14. Cho P(3,0) vaø (d1) : 2x –y – 2 = 0 ; (d2) : x+y+3 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua P caét (d1), (d2) ôû A, B sao cho PA = PB. 15. Cho (C1) : x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 ; (C2) : x 2 + y 2 –10x –6y+30 = 0 coù taâm laàn löôït laø I vaø J. a) Chöùng minh (C1)tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C2) vaø tìm toïa ñoä tieáp ñieåm H. b) Goïi (D) laø moät tieáp tuyeán chung khoâng ñi qua H cuûa (C1) vaø (C2).Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (D) vaø ñöôøng thaúng IJ. Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng troøn (C1), (C2) taïi H. TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 2 16. Cho parabol y 2 = 4x . Moät ñöôøng thaúng baát kyø ñi qua tieâu ñieåm cuûa parabol vàøcaét parabol ñoù taïi A,B. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø Avaø B ñeán truïc cuûa parabol laø moät soá khoâng ñoåi. 17. Cho (C): x 2 + y 2 –1 = 0 ; (Cm) : x 2 + y 2 –2(m+1 )x +4my –5 = 0 a) CM coù hai ñöôøng troøn thuoäc hoï (Cm) tieáp xuùc vôùi (C ) . b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a). 18. Cho hoï x 2 + y 2 – 2 (m+1)x –2 (m+2)y +6m+7 = 0 a) Tìm quó tích taâm caùc ñöôøng troøn cuûa hoï ñoù . b) Xaùc ñònh taâm cuûa cuûa đưôøng troøn thuoäc ho ïñaõ cho maø tieáp xuùc vôùc Oy. 19. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua O vaø caét ñöôøng troøn (x-1) 2 + (y-3) 2 = 25 thaønh moät daây cung coù ñoä daøi baèng 8. 20. Cho parabol y = x 2 -2x vaø elip x 2 +9y 2 = 9 a) CMR parabol vaø elip caét nhau taïi 4 ñieåm phaân bieät A,B,C,D. b) CMR A,B,C,D cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ñoù. 21. Cho A(5,-3) , B(-3,-4) ,C(-4,3) a) Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH vaø tính dieän tích tam giaùc ABC. b) Tìm toaï ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi teáp tam giaùc ABC vaø vieát phöông trình ñöôøng troøn ñoù. 22. Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng : 4x+3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng : 7x –y +4 = 0; x+y+4 = 0. 23. Cho tam giaùc ABC , bieát A(2, -1) vaø phöông trình cuûa hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc goùc B vaø C laàn löôït laø x - 2y + 1 = 0, x+ y + 3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC. 24. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x,y) trong maët phaúng Oxy sao cho khoaûng caùch töø M ñeán ñieåm F(0,4) baèng hai laàn khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng y = 1. 25. Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho hoï ñöôøng cong (Cm) coù phöông trình x 2 + y 2 + 2(m-1)x –2(m-2)y + m2 – 8m +13 = 0 1) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn . Tìm quó tích taâm I cuûa ñöôøng troøn (Cm) khi m thay ñoåi . 2) Cho m = 4 .Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán keû töø ñieåm A(1;5) ñeán ñöôøng troøn (C4). 26. Cho tam giaùc ABC coù ñænh C(-2,-4) vaø troïng taâm G(0,4), M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. 1) Cho M(2,0). Tính toïa ñoä caùc ñieåm A vaø B. 2) Giaû söû M di ñoäng treân ñöôøng thaúng x+ y – 2 = 0, tìm quó tích ñieåm B. Xaùc ñònh M ñeå ñoä daøi caïnh AB laø ngaén nhaát . 27. Cho hoï ñöôøng cong (Cm) coù phuông trình (m 2 –25)x2 – m2 y2 = m2(m2-25) , m0,m25 1) Tuyø theo m xaùc ñònh khi naøo (Cm) laø elip, khi naøo laø hyperbol? 2) Giaû söû A laø moät ñieåm tuyø yù treân ñöôøng thaúng x =1 vaø A Ox. CMR vôùi moãi ñieåm luoân coù 4 ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua. 28. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 8x + 6y +21 = 0 và đường thẳng d : x + y – 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp ( C) biết A thuộc d. TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 3 29. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x2 + y2 = 1. Đường tròn (C’) cắt ( C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2a . Viết phương trình đường thẳng AB. 30. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) điểm B thuộc trục Ox có hòanh độ không âm, điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm, tam giác ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 31. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình của các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 32. Cho đường tròn (C) : x2 +y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3a . 33. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(0, 1) , B(2, -1 ) và các đường thẳng : D1 : ( m – 1 )x + ( m – 2 ) y + 2 – m = 0. D2 : (2 – m )x + (m – 1 )y + 3m – 5 = 0 . Chứng minh rằng (D1) và (D2) luôn luôn cắt nhau . Gọi P = (D1)(D2). Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất. 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3 0 x y và d2: 3 0x y  . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. 35.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương . 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; 3 ) và elip (E): 2 2 1 3 2 x y   . Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2. 38.Trong măṭ phẳng toa ̣đô ̣Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trưc̣ tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành đô ̣dương 39.Trong măṭ phẳng toa ̣đô ̣Oxy, cho điểm A(0;2) và  là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến truc̣ hoành bằng AH. TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 4 PHẦN II. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1. Chứng minh raèng caùc ñöôøng thaúng sau ñaây caét nhau (D1) : x=2t-3, y = 3t-2, z = 4t+6 ; (D2) : x = t+5 , y = -4t -1, z = t+20 2. Haõy xaùc ñònh goùc nhoïn taïo bôûi ñöôøng thaúng x y z x y z           4 2 7 0 3 7 2 0 vôùi mp 3x+y-z +1 = 0. 3. Cho ñieåm A(1,0,0) vaø đöôøng thaúng (D) : x y z    2 1 1 2 1 1) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vuoâng goùc vôí (D). 2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (D). 4. Cho I(2,3,-1) vaø (D) : 5 4 3 20 0 3 4 8 0 x y z x y z            1) Tìm veùc tô chæ phöông cuûa(D). Suy ra phöông trình mp (P) qua I vuoâng goùc vôùi (D) 2) Tính khoaûng caùch töø I ñeán (D). Suy ra phöông trình maët caàu (S) coù taâm I sao cho (S) caét (D) taïi hai ñieåm A, B thoûa AB = 40. 5. Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöông thaúng ñi qua ñieåm A(0,0,1),vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (D1) x y z x          2 0 1 0 vaø caét ñöôøng thaúng x y z    1 3 2 1 1 6. Cho ñöôøng thaúng (d) : 2 4 7 0 4 5 14 0 x y z x y z            vaø caùc maët phaúng (P) : 2x+y-2z-2 = 0 , (Q) : x+2y-2z +4 =0 1)Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (d) treân (P) 2)Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng (P)vaø (Q). 7. Cho maët phaúng (P) : 6x +3y +2z -6 = 0 1)Tìm toaï ñoä hình chieáu cuûa ñieâûm A (0,0,1) leân maët phaúng (P). 2) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (P). 8. Cho A(1,4,5), B(0,3,1), C(2,-1,0) , mp (P) : 3x-3y-2z-15 = 0 Goïi G laø troïng taâm cuûa tam gíac ABC , M thuoäc mp (P). CMR MA 2 +MB 2 +MC 2 nhoû nhaát khi vaø chæ khi M truøng vôùi hình chieáu cuûa G leân maët phaúng (P), xaùc ñònh toaï ñoä đieåm ñoù. 9. Cho (D1) : x y z x y z           2 0 1 0 (D2) : x t y t z t             2 2 5 2 TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 5 a) CMR (D1) vaø (D2) cheùo nhau . b)Tính khoaûng caùch giöõa(D1) vaø (D2) c) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua M(1,1,1) vaø caét ñoàng thôøi caû(D1) vaø (D2). 10. Cho mp () : 2x-y+z+1 = 0 vaø hai ñieåm P(3,1,0), Q(-9,4,9) . Tìm M thuoäc mp () sao cho MP-MQ lôùn nhaát. 11. Cho M(1,2,-1), vaø (d) : x y z     1 3 2 2 2 2 . Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua (d) . Tính ñoä daøi ñoaïn MN. 12. Cho mp ( P) : x+z+2= 0 vaø (d) : x y z     1 1 3 2 1 2 a) Tính goùc nhoïn taïo bôûi (d) vaø (P). b)Vieát phöông trình đöôøng thaúng  laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa (d) leân (P). 13. Cho (P) :x+y+z-3 = 0 , (D) : x z y z         3 0 2 3 0 . Tìm phöông trình hình chieáu cuûa (D) treân maët phaúng (P). 14. Cho (D) : x = 1+2t , y = 2-t, z = 3t vaø (P) : 2x-y-2z+1 = 0 a)Tìm toaï ñoä caùc ñieåm thuoäc (D) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán (P) baèng 1. b) Goò K laø ñieåm ñoái xöùng cuûa I qua (D), xaùc ñònh K. 15. Cho (P) :4x+ay+6z-10 = 0, (Q) : bx-12y-12z+4 = 0, a,b R 1) Xaùc ñònh a,b sao cho (P)// (Q).Tính khoaûng caùch giöõa (P),(Q). 2) Khi a=b=0, tìm hình chieáu H cuûa A(1,1,1) treân giao tuyeán (D) cuûa hai maët phaúng (P),(Q) vaø tính khoảng caùch töø A ñeán (D). 16. Trong khoâng gian Oxyz cho : S(0,0,a/3), tam giaùc ñeàu OAB trong maët phaúng Oxy coù caïnh baèng a, ñöôøng thaúng AB // Oy. 1) Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm A,B vaø trung ñieãm E cuûa OA, sau ñoù vieát phöông trình cuûa mp (P) chöùa SE vaø song song Ox. 2) Tính khoaûng caùch töø O ñeán (P) töø ñoù suy ra khoaûng caùch giöa Ox vaø SE. 17. Cho töù dieän ABCD vôùi A(1,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),D (2,2,1) 1) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD. 2) Tính theå tích töù dieän ABCD. 3)Vieát phöông trình hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. 18. Cho A(1,3,2) , B(1,2,1), C(1,1,3).Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöơøng thaúng ñi qua troïng taâm cuûa tam giaùc ABC vaø vuoâng goùc vôùi mf (ABC). 19. Cho A(-1,3,2) ,B(4,0,-3), C(5,-1,4),D (0,6,1) 1) Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (BC). Haï AH  BC . Tính toaï ñoä H. 2) Vieát phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (DBC). Tìm khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phẳng DBC. TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 6 20. Tính tọa độ tâm và bán kính của ñöôøng troøn x y z x y z x y z 2 2 2 4 6 6 17 0 2 2 1 0               21. Cho (d) : x y z    1 2 1 1 2 3 , (P) : x - y - z -1 = 0 Tìm phöông trình chính taéc cuûa ñöôùng thaúng ñi qua A(1,1,-2) song song vôùi mf (P) vaø vuoâng goùc vôùi (d). 22. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-3 , 5, - 5 ); B(5, -3 , 7) và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0. 1) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). 2) Tìm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất. 23. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(-1,3, -2 ), B(-3,7, -18) và mặt phẳng (P): 2x- y +z + 1 = 0. 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P). 2) Tìm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 24. Cho đường thẳng d : 3 2 1 2 1 1 x y z      và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0. 1) Tìm giao điểm M của d và (P). 2) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P) sao cho (D) vuông góc với d và khoảng cách từ M đến D bằng 42 . 25.Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0) , M(0, - 3, 6 ) . 1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) : x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm tọa độ tiếp điểm . 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt Oy,Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho VOABC = 3. 26. Cho mặt phẳng (P) : x -2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng 1 3 2 1 ( ) 2 1 1 x y z d       2 5 5 ( ) 6 4 5 x y z d      1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P). 2) Tìm các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khỏang bằng 2. TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 7 27.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z      và mặt phẳng (P) : x  2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . 28. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng 2 2 3 : 2 3 2 x y z      . Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. 29.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 3 . 30.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 1 2 x y z   . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM. 31.Trong không gian toa ̣đô ̣Oxyz, cho hai măṭ phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình măṭ phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. 32.Trong không gian toa ̣đô ̣Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3x t y t z t       và 2: 2 1 2 1 2 x y z    . Xác định toạ độ điểm M thuôc̣ 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1 TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 8 PHẦN III. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên AB lấy điểm M, trên CC’ lấy điểm N, trên D’A’ lấy điểm P sao cho AM= CN = D’P = x (0  x  a ) . 1) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giac đều. Tính diện tích MNP theo a và x . 2) Khi x = a/2 hãy tính thể tích của khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ấy. 2. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC. Cho AC = AD = 4. AB = 3 , BC = 5 .Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng BCD. 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mf AMN vuông góc với mf SBC. 4. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh a. 1) Tính theo a khỏang cách giữa A’B và B’D. 2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mf ABCD, SD = a. 1) CMR tam giác SBC vuông, tính diện tích của nó. 2) Tính khỏang cách từ A đến mf SBC. 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác BCM. 1) CMR MC vuông góc (BHK), HK vuông góc (BCM). 2) Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện KABC. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = SB = SC = SD = 2a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. 1) CMR (SIJ) vuông góc (SBC). 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA = a và SA vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. CMR (SAC) vuông góc (SBM). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của a trên đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. 11. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC, CD. CMR AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mf(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. 13. Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròng đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai TS.Nguyễn Viết Đông Bài tập Hình học 9 mặt phẳng SAB và SBC bằng 600. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. CMR tam giác AHK vuông và tính thể tích hình chóp SABC theo R. 14. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b hai mặt phẳng ACD và BCD vuông góc với nhau. a) CMR tam giác ACD vuông. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 15. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. a) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ. b) Một mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy của hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ và hình cầu ngaoi5 tie61o hình trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P). 16. Cắt hình nón N (đỉnh S) bởi mặt phẳng đi qua trục của no ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a . a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của N. b) Cho một dây cung BCcủa đường tròn đáy sao cho mp SBC tạo với đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC. c) Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 18. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên măṭ phẳng (ABCD) là điểm H thuôc̣ đoaṇ AC, 4 AC AH  . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.