Bài tập Khoảng cách và góc trong hình học phẳng

Khoảng cách và góc trong hình học phẳng Kiến thức cơ bản: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :ax+by+c=0 là: d(;M)= Chú ý: Nếu bài toán cho phương trình đường thẳng d dưới dạng ptts thì ta chuyển sang pttq rồi tính khoảng cách theo công thức Điều kiện cần và đủ để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đường thẳng Bài toán: Cho đường thẳng và hai điểm M và Nkhông nằm trên . Hãy xét vị trí tương đối của hai điểm M,N đối với đường thẳng Kết luận: +) Hai điểm M, N nằm về cùng phía đối với đường thẳng >0 +) Hai điểm M, N nằm khác phía đối với đường thẳng <0 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: Bài toán: Cho hai đường thẳng cắt nhau Viết pt các đường phân giác của các góc tạo bởi hai hai đường thẳng ; Kết luận: Phương trình hai đường phân giác ; của các góc tạo bởi hai đường thẳng ; có dạng: Chú ý: 1.Đường phân giác có tính chất: Mỗi điểm nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau; đều cách đều hai đường thẳng ; 2. Lấy một điểm bất kì M thuộc . Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác cắt tại điểm M’. Khi đó ta có: M và M’ đối xứng với nhau qua PT đường phân giác trong của góc A của Để viết PT đường phân giác trong của góc A của ta có các cách sau: C1) Gọi D là chân đường phân giác của góc A Tính toạ độ điểm D theo hệ thức véc tơ: Sau đó viết pt đường phân giác đi qua hai điểm A, D C2, 1) Viết pt đường phân giác ; trong và ngoài của góc A trong tam giác ABC 2)+ Nếu B và C nằm khác phía đối với đường thẳng thì là đường phân giác trong của góc A + Nếu B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng thì là đường phân giác trong của góc A Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng : Kí hiệu là: (; ) hoặc Khi đó: Chú ý: 1. Nếu và thì (Vì = 2. Nếu : và : thì ta có thêm công thức: Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Các bài toán liên quan đến khoảng cách Bài 1: Tính d(M;) biết: M(1;1) và : x-y-2=0 M(2;1) và : M(1;5) và : Bài 2: Cho hai điểm A(1;1) và B(3;6). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 Bài 3: Cho đường thẳng d: 8x-6y-5=0. Viết pt đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng 5 Bài4: Cho 3 điểm A(1;1), B(2;0), C(3;4). Viết pt đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B,C Dạng 2: Các bài toán liên quan ĐK để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đường thẳng Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(2;3),C(3;-6) và đường thẳng : x-2y-3=0 Xét xem đường thẳng cắt cạnh nào của tam giác Tìm điểm M trên sao cho nhỏ nhất Bài 6: Cho hai điểm P(1;6) , Q(-3;-4) và đường thẳng : 2x-y-1=0 Tìm toạ độ điểm M trên sao cho MP+MQ nhỏ nhất Tìm toạ độ điểm N trên sao cho lớn nhất Bài7: Cho đường thẳng : (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0 và hai điểm A(2;3), B(1;0) CMR: luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Xác định m để có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là lớn nhất Dạng 3: Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng Bài 8: Tìm các góc của một tam giác biết pt các cạnh tam giác đó là: x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1 Bài 9: Viết pt đường thẳng : Qua A(-2;0) và tạo với đường thẳng d: x+3y-3=0 một góc Qua B(-1;2) và tạo với đường thẳng d: một góc Bài 10: Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đườn thẳng và 3x+4y+12=0 bằng Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, biết pt các đường thẳng AB, BC lần lượt là: x+2y-1=0 và 3x-y+5=0. Viết pt đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M(1;-3) (Nêu các cách giải) Bài 12: Cho hai đường thẳng : 2x-y+5=0 và : 3x+6y-1=0 và điểm M(2;-1). Viết pt đường thẳng đi qua M và tạo với hai đường thẳng ; một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của và (Nêu các cách giải) Dạng 4: Các bài toán liên quan đến đường phân giác của góc Bài 13: Cho hai đường thẳng : 2x+3y+1=0 và : 3x+2y-3=0 Viết pt đường phân giác của góc tạo bởi và Viết pt đường phân giác của góc nhọn tạo bởi và Viết pt đường phân giác của góc tạo bởi và chứa điểm M(0;1) hoặc góc đối đỉnh với nó Bài 14: Cho ba điểm A(2;0); B(4;1); C(1;2) CMR: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác Viết pt đường phân giác trong của góc A Tìm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 15: Biết các cạnh của tam giác ABC có pt : AB: x-y+4-0; BC: 3x+5y+4=0; AC: 7x+y-12=0 Viết pt đường phân giác trong của góc A Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC Bài 16: Viết pt các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A và C lần lượt là : 3x-4y+27=0 và : x+2y-5=0 III. Bài tập về nhà: Bài 17: Lập pt đường thẳng qua điểm A(2;1) tạo với : 2x+3y+4=0 một góc bằng Bài 18: Cho hai đường thẳng : 2x-y+1=0 và : x+2y-7=0. Lập pt đường thẳng d đi qua gốc toạ độ sao cho đường thẳng d tạo với và một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của và . Tính diện tích tam giác cân đó Bài 19: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng có pt 7x-y+8=0. Lập pt các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(;). Hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có pt x-2y-1=0 và x+3y-1=0. Viết pt cạnh BC của tam giác. Bài 21: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có pt theo thứ tự là: x+2y-1=0 và 3x-y+5=0. Tìm pt cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;-3) Bài 22: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3;1), pt đường cao và đường phân giác trong kẻ từ A theo thứ tự có pt là: x+3y+12=0 và x+7y+32=0. Lập pt các cạnh của tam giác ABC Bài 23: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập pt đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3 Bài 24: Cho P(3;0) và hai đường thẳng : 2x-y-2=0 và : x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P cắt và lần lượt tại A và B. Viết pt của d biết PA=PB Bài 25: Cho hai điểm A(1;3) và B(3;2). Lập pt đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới đường thẳng đó bằng 1 Bài 26: (B-05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;1); B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 Bài 27: (A-06) Cho các đường thẳng : x+y+3=0; : x-y-4=0; : x-2y=0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng sao cho: d(M; )=d(M; ) Bài 28: (B-07) Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng : x+y-2=0; : x+y-8=0 Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc và sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Bài 29: (B-08) Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;1), đường phân giác trong của góc A có pt x-y+2=0 và đường cao kẻ từ B có pt 4x+3y-1=0 Bài 30: (Thử ĐH HH4-CTC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5;2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là : x+y-6=0 và : 2x-y+3=0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC