Bài tập lớp 10

BÀI TẬP NGÀY 13-10-2013 Câu 1 (Xem thêm bài tập 2.38, SBT Hình học 11, trang 78 ). Cho hình chóp S.ABC, điểm O thuộc miền trong ∆ABC. Qua O vẽ các đường thẳng song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A′, B′, C ′. Nêu cách dựng các điểm A′, B′, C ′ và chứng minh khi O di động trên miền trong ∆ABC thì tổng OA′ SA + OB′ SB + OC ′ SC không đổi. Tìm vị trí điểm O để tích OA′.OB′.OC ′ lớn nhất. Câu 2 (Đề thi HSG BN 2011-2012 ). Cho tứ diện ABCD có AB.AC.AD = 54324 và O là điểm thuộc miền trong ∆BCD. Các đường thẳng qua O song song với AB,AC,AD lần lượt cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tại B′, C ′, D′. Chứng minh rằng OB′.OC ′.OD′ ≤ 2012. Câu 3 (Xem bài tập 2, SBT Hình học 12, trang 143 ). Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. 1. Tính góc và khoảng cách giữa các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 2. Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Chứng minh G là tâm mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Tính bán kính các mặt cầu đó theo a, b, c. Chứng minh 4 mặt của tứ diện là các tam giác nhọn. Câu 4 (Đề thi HSG BN 2000-2001 lớp 11 ). Cho khối chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, SC = 3cm và thể tích V = 1cm3. Chứng minh SA, SB, SC đôi một vuông góc và ABC là tam giác nhọn. Tính d(S, (ABC)). Câu 5. Cho hình chóp S.ABC. 1. Một mặt phẳng (P ) cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt tại A1, B1, C1 thỏa mãn SA SA1 + SB SB1 + SC SC1 = 6. Chứng minh (P ) luôn đi qua một điểm cố định. 2. Một mặt phẳng (Q) cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt tại A2, B2, C2 thỏa mãn 2 SA SA2 + SB SB2 + SC SC2 = 8. Chứng minh (Q) luôn đi qua một điểm cố định. Câu 6 (Xem lại vở phụ đạo Toán 11 ). Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm của ∆ABC, ∆DBC tương ứng. Mặt phẳng (α) đi qua IJ và cắt các cạnh AB,AC,DC,DB lần lượt tại M,N,P,Q. 1. Chứng minh ba đường thẳng MN,PQ,BC đồng quy. Tứ giác MNPQ là hình gì? 2. Đặt x = AM, y = AN, b = x+ y. Chứng minh ab = 3xy và 4a 3 ≤ b ≤ 3a 2 . Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và b. Câu 7 (Đề thi HSG BN 2012-2013 ). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi M,N là hai điểm thay đổi, lần lượt thuộc các cạnh AB, DC tương ứng, sao cho (SMN)⊥ (ABC) . Đặt x = AM, y = AN. Chứng minh x+ y = 3xy và tìm x, y để ∆SMN có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. Câu 8. Cho tứ diện OAMN có ÂOM = ÂON = M̂ON = 600, OA = a, OM = x, ON = y. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác AMN vuông tại A là a(x+ y)− xy = 2a2. Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc, OA = a, AC = 2.OB, BC = 2.OA. 1. Gọi M,N là chân đường vuông góc hạ từ O tới AC,BC tương ứng. Tính OB,OC, M̂ON và chứng minh MN⊥OC. 2. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh tan4ÔCD tan4ÔCA + MN AB = 1. Câu 10. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ biết d (BC,AB′) = d (AB,B′C) = 2√ 5 , d (AC,BD′) = 1√ 3 . b) Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ biết diện tích của ACC ′A′, ABC ′D′, BCD′A′ lần lượt là a, b, c. c) Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′ biết AB = a, AD = b, B̂AD = α, góc giữa AC ′ và (ABCD) là β. d) Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′ biết AB = a, AD = b, AA′ = c, Â′AD = α, B̂AD = γ. e) Tính thể tích khối tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c, ÂSB = α, B̂SC = β, ĈSA = γ. f) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a, AB⊥AC, CD⊥(ABC). Một mặt phẳng đi qua C vuông góc với BD, cắt BD,AD lần lượt ở F,E. Tính thể tích các khối đa diện CDEF và ABCEF . g) Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD, chứng minh V ≤ 1 6 .min {AB.AC.AD; BA.BC.BD; CA.CB.CD; DA.DB.DC} . Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB2 +CD2 = AC2 +BD2 = AD2 +BC2. Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm (hình chiếu của mỗi đỉnh trên mặt đối diện trùng với trực tâm của mặt đó) và trong 4 mặt của tứ diện có ít nhất 1 mặt là tam giác nhọn. Câu 12. Cho hình nón đỉnh O, đường sinh l = √ 5, bán kính đáy r = 1. 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình nón đó. 2. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình nón đã cho. Tính góc ÂOB và thể tích khối chóp O.ABC. Câu 13. Một hình nón có thể tích V và diện tích toàn phần S. Mặt cầu bán kính R được gọi là nội tiếp hình nón nếu nó nằm bên trong hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáý và mặt xung quanh của hình nón đó. Biểu diễn R theo V và S. Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AB = a,DC = b, CA = CB = x,DA = DB = y. Tính góc giữa (ABC) và (ABD). Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABC), SA = a. 1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. 2. Một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, lần lượt cắt SB, SC, SD tại B′, C ′, D′. Chứng minh B′D′//BD, AB′⊥SB. 1 3. Điểm M di động trên đoạn BC, điểm K là hình chiếu vuông góc của S trên DM . Tìm tập hợp các điểm K. 4. Đặt BM = x. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của SK. Câu 16. Cho hàm số y = −x3 + 3x− 2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x+ log2m = 0. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến đó bằng 4 và hoành độ tiếp điểm là một số nguyên. Câu 17. Cho hàm số y = 2x+ 1 1 + x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm M(0;m) và có hệ số góc bằng −2. Tìm m để ∆ cắt (C) tại A,B sao cho AB = √15. 3. Tìm các cặp điểm phân biệt P,Q thuộc đồ thị (C) sao cho P,Q đối xứng với nhau qua gốc tạo độ O. Câu 18. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 2−m2. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có diệm tích bằng 32. Câu 19. Giải phương trình a) 2x + 3x + 5x = 7x+ 3. b) 9x + 15x = 10x + 14x. c) x2 − 3x+ 6 + 2√9− 16x = 0. d) x2 + 6x+ 2 = 3x √ 3x5 + 6x3 . e) 7x2 + 12x+ (3x+ 4) √ 9x2 + 16x = 0 . f) x2 = 1− √ 1−√1 + x . g) √ x− 4−√2x− 9 = x− 5. h) 3(2 + √ x− 2) = 2x+√x+ 6. i) 2x = √√√√3 + 1 2 √ 3 + 1 2 √ 3 + 1 2 √ x+ 3. j) x+ 2 √ 7− x = 2√x− 1 +√−x2 + 8x− 7 + 1. k) √ 3x+ 5−√x− 1 = 4. l) √ 3x− 2 +√x− 1 = 4x− 9 + 2√3x2 − 5x+ 2. m) x4 − 16x− 32 4√1 + 2x = 16. n) (√ 1 + x+ 1 ) (√ 1 + x+ 2x− 5) = x. o) √ 2x2 + 3x+ 5 + √ 2x2 − 3x+ 5 = 3x. p) √ 10x− 1−√x+ 3 = 1. q) √ 2x− 5 +√x+ 2 = √2x+ 1. r) √ x2 − 1 = ( 1 2 x+ 1 )√ x+ 1 x− 1 . s) (2− 2x)√x2 + 2x− 1 = x2 − 2x− 1. t) x− 1 x = 1 + x3 2 − 2 1 + x3 . u) x2 − 3x+√2x− 1 + 1 = 0. v) x4 + √ x2 + 2014 = 2014. w) x4 − 2x3 + x−√2(x2 − x) = 0. x) x2 + 2x √ x− 1 x = 1 + 3x. y) 8sin4x− 8sin2x− cosx+ 1 = 0. z) 10x2 + 3x+ 1 = (6x+ 1) √ x2 + 3. Câu 20. Một hộp chứa 18 viên bi, gồm 5 bi xanh, 6 bi đỏ, 7 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra có đủ cả 3 màu xanh, đỏ, vàng. Câu 21. Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c và đôi một vuông góc. Gọi H,G lần lượt là trực tâm và trọng tâm tam giác ABC. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA,OB,OC với (ABC). 1. Tính OH,OG theo a, b, c. 2. Chứng minh sin2α+ sin2β + sin2γ = 2 và cosα cosβ cos γ + cosα cosβ + cosβ cos γ + cos γ cosα ≤ 9 + √ 3 9 . 3. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn và a2 tan B̂AC = b2 tan ÂBC = c2 tan B̂CA. 4. Chứng minh (S∆OAB) 2 + (S∆OBC) 2 + (S∆OCA) 2 = (S∆ABC) 2 và 9 2 OH2 ≤ S∆OAB + S∆OBC + S∆OCA ≤ √ 3S∆ABC . 5. Chứng minh rằng nếu a = b+ c thì ÔAB + ÔAC + B̂AC = 900. 2