Bài tập nâng cao Đại số 9

I. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng thêm 3cm và chiều dài thêm 2cm thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm di 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó. Bài 2: Ba ôtô chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi ôtô chở mấy chuyến. Bài 3: Ba canô cùng rời bến sông A một lúc để đến bên B. Canô thứ hai mỗi giờ đi kém canô thứ nhất 3km nhưng hơn canô thứ ba là 3km nên đến bến B sau canô thứ nhất 2 giờ, nhưng trước canô thứ ba là 3 giờ. Tính chiều dài quãng sông AB. Bài 4: Một bè nứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nước) và một canô đồng thời rời bến A để xuôi dòng sông. Canô xuôi dòng được 96 km thì quay trở lại A. Cả đi lẫn về mất 14giờ. Trên đường quay về A khi còn cách A là 24 km thì canô gặp chiếc bè nứa nói trên. Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc dòng nước. Bài 5: Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ hai trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi ngày máy làm việc riêng thì có thể cày xong cánh đồng trong bao lâu? Bài 6: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan hãng ôtô. Người ta nhận thấy rằng nếu mỗi xe chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 học sinh. II. Hàm sỐ y = ax2 (a¹ 0) Bài 1: Cho hàm số y = (m2 - 6m + 12)x2 a/ Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trong (- ¥; 0); đồng biến trong khoảng ( 0; + ¥). b/ Khi m = 2, hãy tìm x để f(x) = 8; f(x) = 2; f(x) = -2 c/ Khi m = 5, hãy tính: ; ; d/ Tìm giá trị của m khi x = 1; y = 5 Bài 2: Tìm giá trị của m để hàm số a/ Nghịch biến khi x < 0 b/ Đồng biến khi x > 0 III. ĐỒ thỊ cỦa hàm sỐ y = ax2 ( a ¹ 0) Bài 1: Cho hàm số y = ax2. a/ Xác định hệ số a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-4; 8) b/ Đường thẳng nào trong số các đường thẳng x = 2; x = 0; x = - 2 cắt parabol, cắt tại mấy điểm? c/ Có giá trị nào của m để đường thẳng x = m không cắt parabol hoặc cắt parabol tại hai điểm hay không ? Vì sao? Bài 2: Tong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm và đường thẳng D có phương trình ( a ¹ 0). Gọi M (x; y) là một điểm của mặt phẳng; H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng D. a/ Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm m. b/ Nếu MF = MH hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x, y, từ đó suy ra tập hợp các điểm M. Bài 3: a/ Trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, hãy vẽ đồ thị các hàm số sau y = x2; y = (x -1)2 và y = (x+1) + 2 b/ Có thể nêu lên mối quan hệ gì về đồ thị của ba hàm số trên; c/ Từ đồ thị hàm số y = (x -1)2 + 2 có thể rút ra nhận xét gì về đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0). Bài 4: Cho hàm số y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a/ Hàm số nhận giá trị -1 với x = 0; x = 1 và nhận giá trị 1 với x = 1 b/ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ 1 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ và 1 IV. * Phương trình bẬc hai mỘt Ẩn sỐ * Công thỨc nghiỆM cỦa phương trình bẬc hai * Công thỨc nghiỆm thu gỌn Bài 1: Giải các phương trình a/ x2 - 10x + 29 = 0 b/ x2 - 6x + 2 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau với ẩn số là x và m a/ 4m2 + 21m - 18 = 0 b/ (m2 - n2) x2 - 2mx + 1 = 0 Bài 3: Với giá trị nào của tham số n thì các phương trình sau có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. a/ x2 - nx + 21 = 0 b/ x2 - 2 (n - 4)x + n2 + n + 3 = 0 Bài 4: a/ Với giá trị nào của a thì phương trình sau vô nghiệm: b/ Tìm giá trị nguyên dương của k để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 - 4x + k = 0 c/ Tìm giá trị nguyên âm của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x2 - 6x + m + 7 =0 Bài 5: Cho phương trình: (k2 - 4) x2 + 2 (k + 2) x + 1 = 0 a/ Tìm giá trị của k để phương trình có nghiệm b/ Tìm giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất V. HỆ thỨc Viét - áp dỤng Bài 1: Cho phương trình 2x2 - 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình; hãy tính giá trị các biểu thức: a/ ; b/ c/ ; d/ Bài 2: Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (k - 1) x2 - 2kx + k - 4 = 0. Không giải phương trình hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc tham số k Bài 3: a/ Cho phương trình: x2 - (m + 3) x + 2 (m + 2) = 0 (1). Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm x1 = 2x2 b/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và Bài 4: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức: a/ ; b/ ; c/ Bài 5: Cho phương trình (m - 1) x 2 - 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số. a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình. c/ Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m. d/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). a/ Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b/ Tìm m sao cho hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn 10x1x2 ++ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài 7: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 - mx + m + 1 = 0. Có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 + 2 (x1 + x2) - 19 = 0 Bài 8: Cho phương trình x2 - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0 (m là tham số) a/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m b/ Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m c/ Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau. VI. Phương trình quy vỀ bẬc hai Bài 1: Giải các phương trình sau: a/ 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 b/ x3 - 7x + 36 = 0 c/ (2x2 - x - 1)2 - (x2 - 7x + 6)2 = 0 Bài 2: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, giải các phương trình trùng phương sau: a/ 4x4 - 109x2 + 225 = 0 b/ 3x4 - 22x2 - 45 = 0 c/ x4 + 17x2 + 52 = 0 Bài 3: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình sau: a/ (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0 b/ VII. GiẢi toán bẰng cách lẬp phương trình Bài 1: Một người đi xe đạp dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B dài 60km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quảng đường AB, anh nhận thấy vận tốc thực tế chỉ bằng vận tốc dự định nên trên đoạn đường còn lại anh đã tăng vận tốc thêm 3km một giờ. Tuy vậy anh vẫn đến B chậm mất 40 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp. Bài 2: Một phòng họp có 100 người, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu có thêm 44 người thì phải kê thêm hai dãy ghế và mỗi dãy ghế phải bố trí thêm hai người nữa. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế. Bài 3: Hai đội làm đường được phân công sửa một đoạn đường. Nếu đội thứ nhất làm một nửa đoạn đường, sau đó để đội hai làm tiếp cho đến lúc xong thì thời gian tổng cộng là 8 giờ. Nếu cả hai đội cùng làm chung thì trong 3 giờ xong đoạn đường. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu mới sửa xong đoạn đường. VIII. Bài tẬp ôn chương III Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (m là tham số) a/ Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c/ Chứng minh rằng biểu thức A = x1 (1- x2) + x2 ( 1 - x1) không phụ thuộc m. Bài 2: Cho hàm số y = 2x2 (P) a/ Vẽ đồ thị hàm số b/ Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục tọa độ c/ Tùy theo giá trị của m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (D) có phương trình y = mx - 1 d/ Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A (0; -2) Bài 3: a/ Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 - 2(m + 2) x + 2m2 + 7 = 0 có một nghiệm x = 5, khi đó hãy tìm nghiệm còn lại. b/ Tìm giá trị của tham số k sao cho phương trình x2 + (k -2) x + k + 5 = 0 có nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện . Bài 4: Xác định giá trị của tham số a sao cho nghiệm của phương trình sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0 Bài 5: Chứng minh rằng đường thẳng y = - x luôn luôn cắt parabol y = x2 - 2(m + 2) x + m2 + 3m tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó không phụ thuộc vào tham số m. IX. Ôn tẬp cuỐi năm Bài 1: Giải và biện luận hệ phương trình: (m là tham số) a/ ; b/ Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình: y = (k -2) x + q (k và q là tham số) Tìm các giá trị của k và q biết đường thẳng d thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a/ Đi qua điểm A ( -1; 2) và B (3; -4) b/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ c/ Cắt đường thẳng -2y + x - 3 = 0 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (D1) có phương trình: y = -2x - 2 a/ Chứng minh rằng AÎ (D1) b/ Tìm giá trị của a để parabol (P): y = ax2 đi qua điểm A c/ Viết phương trình đường thẳng (D2) đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng (D1) d/ Gọi A và B là giao điểm của (P) với (D2) và C là giao điểm của (D1) với trục tung. Tìm tọa độ của các điểm B; C và tính SDABC Bài 4: Cho đường thẳng có phương trình: 2(m -1)x + (m -2)y = 2 ( m là tham số) a/ Tìm m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai điểm A và B phân biệt. b/ Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB theo m c/ Tìm m để đường thẳng đã cho cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. d/ Chứng minh rằng đường thẳng đã cho luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định đó. Bài 5: Cho parabol (P) có phương trình y = - x2 a/ Tìm tập hợp các điểm m sao cho từ đó có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P). b/ Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ bằng