Bài tập phần rút gọn

BAỉI TAÄP PHAÀN RUÙT GOẽN Baứi 1 : 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 6 5 14 6 5   . 2) Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 x 1 . x 1x 2 x 1 x          a) Ruựt goùn bieồu thửực Q. b) Tìm x để Q > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn : 1. P = 6 2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x  1. Biểu thức rút gọn : Q = 1 2 x . b) Q > - Q  x > 1. c) x =  3;2 thì Q  Z Baứi 2 : Cho biểu thức P = 1 x x 1 x x    a) Rút gọn biểu thức sau P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1 2 . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x  1. Biểu thức rút gọn : P = x x   1 1 . b) Với x = 1 2 thì P = - 3 – 2 2 . Baứi 3 : Cho biểu thức : A = 1 1 1 1      x x x xx a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 1 c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để A = A. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1. Biểu thức rút gọn : A = 1x x . b) Với x = 4 1 thì A = - 1. c) Với 0  x < 1 thì A < 0. d) Với x > 1 thì A = A. Baứi 4 : Cho biểu thức : A = 1 1 31 a 3 a 3 a            a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Xác định a để biểu thức A > 2 1 . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A = 3 2 a . b) Với 0 2 1 . Baứi 5 : Cho biểu thức: A = 2 2 x 1 x 1 x 4x 1 x 2003 . x 1 x 1 x 1 x             . 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠  1. b) Biểu thức rút gọn : A = x x 2003 với x ≠ 0 ; x ≠  1. c) x = - 2003 ; 2003 thì A  Z . Baứi 6 : Cho biểu thức: A =  2 x 2 x 1x x 1 x x 1 : x 1x x x x           . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = 1 1   x x . b) Với 0 < x < 1 thì A < 0. c) x =  9;4 thì A  Z. Baứi 7 : Cho biểu thức: A = x 2 x 1 x 1: 2x x 1 x x 1 1 x            a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = 1 2  xx b) Ta xét hai trường hợp : +) A > 0  1 2  xx > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A < 2  1 2  xx 2  xx  > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm). Baứi 8 : Cho biểu thức: P = a 3 a 1 4 a 4 4 aa 2 a 2        (a  0; a  4) a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  4. Biểu thức rút gọn : P = 2 4 a b) Ta thấy a = 9  ĐKXĐ . Suy ra P = 4 Baứi 9 : Cho biểu thức: N = a a a a1 1 a 1 a 1              1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a . b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ . Suy ra N = 2005. Baứi 10 : Cho biểu thức 3x 3x 1x x2 3x2x 19x26xx P         a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi 347x  c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x  0, x  1. Biểu thức rút gọn : 3x 16x P    b) Ta thấy 347x   ĐKXĐ . Suy ra 22 33103 P   c) Pmin=4 khi x=4. Baứi 11 : Cho biểu thức                          1 3 22 : 9 33 33 2 x x x x x x x x P a. Rút gọn P. b. Tìm x để 2 1 P  c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn : a. ) ĐKXĐ : x  0, x  9. Biểu thức rút gọn : 3x 3 P    b. Với 9x0  thì 2 1 P  c. Pmin= -1 khi x = 0 Bài 12: Cho A= 1 1 1 4 . 1 1 a a a a a a a                 với x>0 ,x 1 a. Rút gọn A b. Tính A với a =      4 15 . 10 6 . 4 15   ( KQ : A= 4a ) Bài 13: Cho A= 3 9 3 2 1 : 9 6 2 3 x x x x x x x x x x                        với x 0 , x 9, x 4 . a. Rút gọn A. b. x= ? Thì A < 1. c. Tìm x Z để A Z (KQ : A= 3 2x  ) Bài 14: Cho A = 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x x x x x          với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A. c. Tìm x để A = 1 2 d. CMR : A 2 3  . (KQ: A = 2 5 3 x x   ) Bài 15: Cho A = 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x         với x 0 , x 1. a . Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A = 1 x x x  ) Bài 16: Cho A = 1 3 2 1 1 1x x x x x       với x 0 , x 1. a . Rút gọn A. b. CMR : 0 1A  ( KQ : A = 1 x x x  ) Bài 17: Cho A = 5 25 3 5 1 : 25 2 15 5 3 x x x x x x x x x x                        a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z ( KQ : A = 5 3x  ) Bài 18: Cho A = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 a a a a a a a          với a  0 , a 9 , a 4. a. Rút gọn A. b. Tìm a để A < 1 c. Tìm a Z để A Z ( KQ : A = 1 3 a a   ) Bài 19: Cho A= 7 1 2 2 2 : 4 42 2 2 x x x x x x xx x x                       với x > 0 , x 4. a. Rút gọn A. b. So sánh A với 1 A ( KQ : A = 9 6 x x  ) Bài20: Cho A =  23 3 : x y xyx yx y y xx y x y          với x 0 , y 0, x y a. Rút gọn A. b. CMR : A  0 ( KQ : A = xy x xy y  ) Bài 21 : Cho A = 1 1 1 1 1 . 1 1 x x x x x x x x x x x x x x                     Với x > 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =  2 1x x x   ) Bài 22 : Cho A =   4 3 2 : 2 22 x x x x x xx x               với x > 0 , x 4. a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5 (KQ: A = 1 x ) Bài 23 : Cho A= 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 2x x x x x                 với x > 0 , x 1. a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5 (KQ: A = 3 2 x ) Bài 24 : Cho A= 3 2 1 1 4 : 1 1 11 x x x x xx               với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z (KQ: A = 3 x x  ) Bài 25: Cho A= 1 2 2 1 2 : 11 1 1 x xx x x x x x                  với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = 1 1 x x   ) Bài 26 : Cho A = 2 3 3 2 2 : 1 93 3 3 x x x x xx x x                    với x 0 , x 9 . a. Rút gọn A. b. Tìm x để A < - 1 2 ( KQ : A = 3 3a   ) Bài 27 : Cho A = 1 1 8 3 1 : 1 11 1 1 x x x x x x xx x x                       với x 0 , x 1. a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5 (KQ: A = 4 4 x x  ) c . CMR : A 1 Bài 28 : Cho A = 1 1 1 : 1 2 1 x x x x x x         với x > 0 , x 1. a. Rút gọn A (KQ: A = 1x x  ) b.So sánh A với 1 Bài 29 : Cho A = 1 1 8 3 2 : 1 9 13 1 3 1 3 1 x x x xx x x                    Với 1 0, 9 x x  a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 6 5 c. Tìm x để A < 1. ( KQ : A = 3 1 x x x   ) Bài30 : Cho A = 22 2 2 1 . 1 22 1 x x x x x x x            với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. CMR nếu 0 0 c. Tính A khi x =3+2 2 d. Tìm GTLN của A (KQ: A = (1 )x x ) Bài 31 : Cho A = 2 1 1 : 21 1 1 x x x x x x x x            với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. CMR nếu x 0 , x 1 thì A > 0 , (KQ: A = 2 1x x  ) Bài 32 : Cho A = 4 1 2 1 : 1 11 x x x xx        với x > 0 , x 1, x 4. a. Rút gọn b. Tìm x để A = 1 2 Bài 33 : Cho A = 1 2 3 3 2 : 1 11 1 x x x x x xx x                 với x 0 , x 1. a. Rút gọn A. b. Tính A khi x= 0,36 c. Tìm x Z để A Z Bài 34 : Cho A= 3 2 2 1 : 1 2 3 5 6 x x x x x x x x x                       với x  0 , x 9 , x 4. a. Rút gọn A. b. Tìm x Z để A Z c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = 2 1 x x   ) BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT Baứi 1 : 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :      ba ba 4 2       1 3 b a Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 1 . Baứi 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Hướng dẫn : 1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0  m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = 4 3 . 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :      12 2 xy xy  (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3. Với (x;y) = (1;1)  m = 2 1 Baứi 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0       2 1 0 0 y x Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2). Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :      ba ba 21 1       3 2 b a Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần :       222 23 2 2 mm mm  m = 2. Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 . Hướng dẫn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - 3  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0            2 5 2 1 0 0 y x Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( 2 5 ; 2 1  ). Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y = 6 x 4  ; y = 4x 5 3  và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. Baứi 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn . A. kiến thức cần nhớ : 1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0. Phương pháp giải : + Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = b a  . + Nếu a = 0 và b ≠ 0  phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0  phương trình có vô số nghiệm. 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :      c'y b' x a' c by ax Phương pháp giải : Sử dụng một trong các cách sau : +) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. B. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây : a) 2 2 x x 1 -x x    ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S =   4 . b) 1 x x 1 - 2x 3 3  = 2 Giải : ĐKXĐ : 1 x x3  ≠ 0. (*) Khi đó : 1 x x 1 - 2x 3 3  = 2  2x = - 3  x = 2 3 Với  x = 2 3 thay vào (* ) ta có ( 2 3 )3 + 2 3 + 1 ≠ 0 Vậy x = 2 3 là nghiệm. Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + Nếu m  2 thì (1)  x = - (m + 2). + Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm m  Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Giải : Ta có : với m  Z thì 2m – 3  0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - 3 - m2 4 . để pt có nghiệm nguyên thì 4  2m – 3 . Giải ra ta được m = 2, m = 1. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. Giải : a) Ta có : 7x + 4y = 23  y = 4 7x - 23 = 6 – 2x + 4 1 x  Vì y  Z  x – 1  4. Giải ra ta được x = 1 và y = 4. BAỉI TAÄP PHAÀN HEÄ PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Giải hệ phương trình: a) 2x 3y 5 3x 4y 2        b) x 4y 6 4x 3y 5      c) 2x y 3 5 y 4x      d) x y 1 x y 5      e) 2x 4 0 4x 2y 3       f) 2 5 2 x x y 3 1 1,7 x x y           Baứi 2 : Cho hệ phương trình : mx y 2 x my 1      1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn : Baứi 3 : Cho hệ phương trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2)        1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Baứi 4 : Cho hệ phương trình: (a 1)x y a x (a 1)y 2        có nghiệm duy nhất là (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y x y   nhận giá trị nguyên. Baứi 5 : Cho hệ phương trình: x ay 1 (1) ax y 2      1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình mx y n nx my 1      có nghiệm là  1; 3 . Baứi 7 : Cho hệ phương trình  a 1 x y 4 ax y 2a        (a là tham số). 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2. Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phương trình :      1 - m 4y 2)x - (m 0 3)y (m -x (m là tham số). a) Giải hệ khi m = -1. b) Giải và biện luận pt theo m. Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình :      1 m 4y mx 0 y m -x (m là tham số). a) Giải hệ khi m = -1. b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn. c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0. Baứi 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ thỡ gaởp nhau. Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28 km. Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe. HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h . Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h. Baứi 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứ trửa. Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A. ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng. Baứi 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau 5 4 4 giụứ thỡ ủaày beồ. Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau 5 6 giụứ nửừa mụựi nay beồ . Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ. ẹaựp soỏ : 8 giụứ. Baứi 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal). Hoỷi phaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C. Hửụứng daừn : Ta coự heọ pt :      400 20y 100x 10 y x       7,5 y 2,5 x Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C. Baứi 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50%. Laùi theõm 300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40%. Tớnh noàng ủoọ axớt trong dung dũch ban ủaàu. Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu. Theo baứi ra ta coự heọ pt :             %40%100. 500 y 200) ( %50%100. 200 y 200) ( x x       1000 y 400x Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%. Phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a  0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac *  < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm *  = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - a b 2 (hoặc x1,2 = - a b / ) * > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = a b 2  ; x2 = a b 2  (hoặc x1 = a b //  ; x2 = a b //  ) 2. Định lý Viột. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a  0) thỡ S = x1 + x2 = - a b p = x1x2 = a c Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x1 và x2 trái dấu ( x1 < 0 < x2 )  p = x1x2 < 0 Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 )          0 0 0 S p Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0)          0 0 0 S p 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)  Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = a c  Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a c  Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x1 2+ x2 2 = (x1+ x2) 2 – 2x1x2 = S 2 – 2p *) (x1 – x2) 2 = (x1 + x2) 2 – 4x1x2 = S 2 – 4p *) x1 3 + x2 3 = (x1 + x2) 3 – 3x1x2(x1 + x2) = S 3 – 3Sp *) x1 4 + x2 4 = (x1 2 + x2 2)2 – 2x1 2x2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx   = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x   = p pS 22  *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a 2 = p – aS + a2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 211 aaSp aS axax axx axax          (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc 0/  ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0/  ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.  Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2 B . Bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Giải. Ta có / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + Nếu / > 0  m2 – 9 > 0  m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 = m + 1 - 92 m x2 = m + 1 + 9 2 m + Nếu / = 0  m =  3 - Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4 - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu / < 0  -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm Kết kuận:  Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4  Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2  Với m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = m + 1 - 92 m x2 = m + 1 + 9 2 m  Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Hướng dẫn  Nếu m – 3 = 0  m = 3 thì phương trình đã cho có dạng - 6x – 3 = 0  x = - 2 1 * Nếu m – 3  0  m  3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - Nếu / = 0  9m – 18 = 0  m = 2 .phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - 32 2/   a b = - 2 - Nếu / > 0  m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 3 23   m mm - Nếu / < 0  m < 2 .Phương trình vô nghiệm Kết luận: Với m = 3 phương trình có nghiệm x = - 2 1 Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 Với m > 2 và m  3 phương trình có nghiệm x1,2 = 3 23   m mm Với m < 2 phương trình vô nghiệm Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( 53  )x - 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 Giải a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = 2 2009  a c b) 17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = - 17 204  a c = - 12 c) x2 + ( 53  )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( 53  ) = - 3 + 5 x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5 (hoặc x1 = 5 , x2 = - 3 ) d ) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có       )73(-2 76 - xx 72 - 3 xx 2 1 2 1 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7 Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Hướng dẫn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 Hoặc x2 = 3 1m b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0  m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0  x = - 1 * m – 3  0  m  3 (*)           3 22 1 2 1 m m x x Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của