Bài tập quan hệ song song

I. Chứng minh hai đường thẳng song song Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (CD > AB). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB a, Chứng minh MN//CD b, Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì? Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn Bài 4: Cho tam giác ABC nằm trong mp(P). Gọi Bx; Cy là 2 nửa đường thẳng song song và nằm về cùng phía đối với mp(P). M và N là 2 điểm di động lần lượt trên x, Cy sao cho CN = 2BM a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định I khi M, N di động b, E là điểm thuộc đoạn AM và . Gọi F là giao điểm của IE và AN, Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ//Bx//Cy và (QMN) chứa đường thẳng cố định khi M, N di động Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên BC, SC, SD và AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chứng minh PQ//SA b, Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK//AD//BC c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx và mp(SAB); giao điểm của Qy và mp(SCD) II. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng – Thiết diện qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I; J là trung điểm của AD và BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB a, Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG) b, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAB và SAD và M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy AD = a; BC = b. Gọi I; J là trọng tâm các tam giác SAD và SBC a, Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) vớimp(SBC); của (BCI) và (SAD) b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi 2 mp (SAB) và (SCD) Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a, Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân b, Tính diện tchs của thiết diện theo a Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, . Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. a, Tìm giao điểm I của Dx và mp(SAB). Chứng minh AI//SB b, Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AIC) và tính diện tích của thiết diện đó Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành; I, J lần lượt là trung điểm của SA và AB. M là điểm bất kì trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJM) Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều; SC = SD = . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA; SB. M là điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N a,Chứng minh HKMN là hình thang cân b, Đặt AM = x . Tính diện tích tứ giác HKMN theo a và x. Tìm x để diện tích này nhỏ nhất c, Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; HN và KM Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy M trên cạnh BA; P trên cạnh CD sao cho . Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng qua MP và song song với AC. Tính diện tích thiết diện đó III. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD a, Chứng minh và b, Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC song song với mp(MNP) c, Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2//mp(SAC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, M trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG//mp(ACD) Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi O và O’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh: a, Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) là b, Điều kiện cần và đủ để OO’//mp(BCD) và mp(ACD) là BC = BD và AC = AD Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng a, Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE) b, Trên AE và BD lấy M và N sao cho . Chứng minh MN//mp(CDEF) IV. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng – Thiết diện song song với đường thẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm bất kì trên SB và CD. là mặt phẳng qua MN và song song với SC a, Tìm giao tuyến của mp với các mặt phẳng (SBC); (SCD); SAC) b, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua M trên IJ và song song với AB và CD a, Tìm giao tuyến của mp(P) với mp(IJD) b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mo(P). Thiết diện là hình gì? Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC; M là điểm di động trên SA, (P) là mặt phẳng di động luôn đi qua C’M và song song với BC a, Chứng minh (P) luôn chứa đường thẳng cố dịnh b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ bởi mp(P). Xác định điêm M đê thiết diện là hình bình hành c, Tìm tập hợp giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M di chuyển trên cạnh SA Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a và AB = b. Mặt bên SAD là ta, giác đều, (P) là mặt phẳng qua điểm M trên đoạn AB và song song với SA và BC, pm(P) cắt CD; SC; SB lần lượt tại I; J; K a, Chứng minh MIJK là hình thang cân b, Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) theo a và x = AM. Bài 5: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm trên AB và CD và (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SA a, Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC) b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) c, Tìm điều kiện của M; N để thiết diện là hình thang Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O; M là điểm di động trên SC và (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD a, Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định b, Tìm các giao điểm H và K của (P) với SB và SD. Chứng minh là một hằng số c, Thiết diện của hình chóp với mp(P) có thể là hình thang được hay không Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a; M và P là hai điẻm di động trên các cạnh AD và BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện a, Chứng minh thiết diện thông thường là hình thang cân b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất V. chứng minh hai mặt phẳng song song Bài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD) cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // mp(SAB) c, Giả sử các tam giác SAB và ABC cân tại A. Gọi AE và AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // mp(SAD) Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC và BF lấy M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD; AF tại M’, N’ a, Chứng minh: (CBE) // (ADF) b, Chứng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’) c, Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp I khi M, N di động Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của các góc đồng phẳng Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD a, Chứng minh mp(OMN) // mp(SBC) b, Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ // mp(SBC) Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là hai điểm di động lần lượt trên AD và BC sao cho . Chứng minh IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A. Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a). Mặt phẳng qua M và song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD tại N, P, Q a, Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b, Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M chạy trên AD c, Tính diện tích MNPQ theo a và x Bài 7: Cho 2 đường thẳng a và b chéo nhau. Tìm tập hợp các điểm I trên đoạn MN và chia MN theo tỉ số k cho trước trong 2 trường hợp: a, M, N di động lần lượt trên a, b b, M, N di động trên a, b và MN luôn song song với 1 mặt phẳng hoặc nằm trên mặt phẳng cho trước cắt a và b VI. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng – Thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD đều. Mặt phẳng di động song song với mp(SBD) qua I trên đoạn AC a, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp b, Tính diện tích của thiết diện theo a, b và x = AI Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn (P) //(Q), a, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(Q); giao tuyến của mp(NAC) và mp(Q) b, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(NAC) Bài 3: Từ 4 đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ 4 nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm trong mp(ABCD). Một cắt 4 nửa đường thẳng tại A’; B’; C’; D’ a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành c, Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD a, Chứng minh (G1G2G3) // mp(BCD) b, Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(G1G2G3). Tính diện tích thiết diệntheo diện tích của tam giác BCD c, M di động trong tứ diện sao cho G1M // (ACD). Tìm tập hợp điểm M Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB = 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân tại S và SA = 2a. Mặt phẳng di động song song với mp(SAB) cắt AD; BC; SC; SD tại M; N; P; Q a, Chứng minh MNPQ là hình thang cân b, Đặt x = AM (0 < x < a). Tìm x để MNPQ ngoại tiếp một đường tròn. Tính bán kính đương tròn đó c, Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M đi động trên AD Gọi J là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ có phương không đổi và J di động trên 1 mp cố định Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O, E là trung điểm của SB. Biết tam giác ACE đều và AC = OD = a. di động song song với mp(ACE) và qua I trên OD, mp cát AD, CD, SC, SB, SA lần lượt tại M, N, P, Q, R a, Nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR b, Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên đoạn OD c, Tính diện tích MNPQR theo a và x = DI. Xác định x để diện tích đó lớn nhất Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đay là hình bình hành. Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’; D’. Chứng minh điều kiện cần và đủ để A’B’C’D’ là hình bình hành là mp(P) // (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với mp(ABC) cắt SA; SB; SC lần lượt tại A’; B’; C’. Tìm tập hợp điểm chung của 3 mặt phẳng (A’BC), (B’AC), C’AB) Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; J theo thứ tự là trung điểm của BC; BD; AD. qua EF và song song với BJ, mp qua BJ và song song với CD a, Thiết diện do mp cắt tứ diện là hình gì? b, Xác định thiết diện do mp cắt tứ diện . Chứng minh c, AC và AD cắt lần lượt tại H, K. Gọi I là giao điểm của AC và mp. Chứng minh HE; KF và AB đồng quy tại M d, Giả sử các tam giác ABC và ABD vuông tại B. Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD bằng a Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay là hình thang với các cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1). Gọi S0 là diện tích tam giác SAB và là mặt phẳng qua M trên cạnh AD và song song với mp(SAB). Đặt . a, Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với . Tính diện tích thiết diện theo S0, p, x b, Tính x để diện tích thiết diện bằng Bài 11: Cho hình chóp SABC, I là trung điểm của SB và J nằm trên đoạn SC sao cho và O là trọng tâm tam giác ABC a, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(OIJ), gọi s là diện tích của thiết diện này b, là mặt phẳng qua M trên nửa đường thẳng BC và song song hoặc trùng với mp(OIJ). Đặt . Tìm x để cắt hình chóp c, Biện luận theo x các dạng của thiết diện của hình chóp với mp d, Gọi H(x) là diện tích của thiết diện nói ở câu c. Tính H(x) theo s và x Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E là giao điểm của AD và BC. Mp(P) song song với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại J, K, H, I a, Tứ giác IJKH là hình gì? b, Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác IJKH là hình bình hành Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c. Lấy M trên AB, mặt phẳng qua M song song với AD và BC cắt các cạnh AC, CD, BD tại N, P, Q a, Tứ giác MNPQ là hình gì? b, Đặt AM = x. Tính các cạnh của tứ giác MNPQ c, Muốn tứ giác MNPQ là hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trong trường hợp này. Tìm vị trí của M trên AB để tứ giác có diện tích lớn nhất Bài 14: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song với BC, cắt BD và CD tại M, N, đặt BM = x. Tính VII. Phép chiếu song song – Hình lăng trụ – Hình hộp Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Mp qua đường chéo A’C và song song với đường chéo BC’ chia AB theo tỉ số nào? Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Lấy thoả mãn: . Mp(MPN) cắt B’C’ tại Q. Tìm Bài 3: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’ a, Chứng minh C’B // mp(AHC’) b, Tìm giao điểm của AC’ và mp(BCH) c, Mp(P) qua trung điểm của CC’ và song song với AH và CB’. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ Bài 4: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ a, Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’) b, Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểm của B’C’ với mp(AA’N), của MN với (AB’C’) Bài 5: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC’), (BCA’) và (CAB’) có 1 điểm chung O trên GG’. Tính tỉ số OG : OG’ Bài 6: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ a, Chứng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C) b, Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1; G2 của các tam giác BDA’ và B’D’C. Chứng minh G1; G2 chia AC’ làm 3 phần bằng nhau Bài 7: Chứng minh rằng trong hình hộp, tổng các bình phương của 4 đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ a, Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC; A’B’C’ và ACC’. Chứng minh (IGK) // (BB’C’C) và (A’KG) // (AIB’) b, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB’ và MN Bài 9: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi M, N là trung điểm của BC và CC’, P đối xứng với C qua A a, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(A’MN) b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(MNP) Bài 10: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’; DD’ a, Chứng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) và (BDC’) b, Xác định thiết diện của hình lập phương với mp(MNP)? Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a, ABB’A’, ACC’A’ là các hình vuông. Gọi I, J là tâm của ABB’A’, ACC’A’ và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a, Chứng minh IJ // mp(ABC) b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân