6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
26 trang |
Chia sẻ: lephuong6688 | Lượt xem: 1476 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài tập Toán khối 11, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 1
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau: xpi − và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
pi
pi
pi
pi
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
pi
− và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
pi pi
pi pi
− = − =
− = − =
4. Hai cung hơn kém nhau Pi: xpi + và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
pi
pi
pi
pi
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x
x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công thức nhân ba:
3 3sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 21 cos 2 1 cos2sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho
3 3
sin < < .Tính cos ,tan ,cot .
5 2
π
α π α α α α
= −
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( )o o180 < a < 270 .Tính sina , tana, cota.
Bài 3: Cho o o o otan15 2 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 .= −
Bài 4: Tính tanx cot xA
tanx cot x
+
=
−
biết 1sinx = .
3
Tính 2sin x 3cosxB
3sin x 2cosx
+
=
−
biết tanx = -2
Tính 2 2
2
sin x 3sin x cos x 2cos xC
1 4sin x
+ −
=
+
biết cotx = -3
Bài 5: Chứng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x
(sử dụng như 1 công thức)
2 2 2 2 2 2c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
2 2
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosxsin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosxd/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosxg/
( )( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin yi/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
24 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4
6 6
4 2 4 2
4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1E= sin x+4cos x + cos x+4sin x ; F= ;
sin x+cos x-1
4 4
6 6 4
2 2
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
π
∈
II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
* Biết 1 HSLG khác:
Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với
3
x 2
2
π
π
< <
a/ Tính cosx ; b/ Tính ( ) ( )sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
π π
π π
+ − + −
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 3
Bài 2: Tính:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 cos sin tan
2 2A 2 cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3 cos 2 tan
cos cot
2
π π
α α π α
α
π
α π α
π π π π
α β β α
β β β
π π β π α
π α β
− + −
= −
+ −
+ + − +
= − + −
− −− −
Bài 3: Đơn giản biểu thức:
( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
π π
π α α π α α
π π π
π α α α α
π π π
π α α π α α α
= + − − + − + −
= − + − − + −
= + + − − − + − + −
Bài 4: Đơn giản biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
π π π π= + + + + + + + +
= − − − + + + − + −
Bài 5: Đơn giản biểu thức:
( ) ( )
( )
( )o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin2550 cos 18812A B
9 tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
π
π π
π
π
− − − −
= = +
+ − −
Bài 6: Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3b /sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
π π
π π
− + − + =
+ + + + + + − =
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:
A B C
a / sin(A B) sin A; b / cos A cos(B C) 0; c / sin cos ;
2 2
3A B Cd / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o15 ,75 ,105 ,285 ,3045
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,
12 12 12 12 12
π π π π π
Bài 10: Tính cos x
3
π −
biết 12 3sin x , ( < x < 2 )
13 2
π
π=−
Bài 11: Cho 2 góc nhọn ,α β có
1 1
tan , tan
2 3
α β= = . a/ Tính ( )tan α β+ b/ Tính
α β+
Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả :
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
π + =
= −
a/ Tính ( )tan x y ; tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 4
Bài 13: Tính tan x 4
π −
biết 40sin x
41
=− và 3< x <
2
π
π
Bài 14: Tính tan 4
π
α
+
theo tanα . Áp dụng: Tính tg15o
Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F
3 cot 261 tan 201
+ +
= + = =
− −
−
= − = + =
+
Bài 16: Tính:
3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
π π π π
π π π π
= − + + + +
= + + + + + +
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
2 2 2 2 2 22 2A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
π π π π = + + + − = + + + −
Bài 18: Chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sinacosa sin bcosb
d /sin a sin a 2sina
4 4
π π
+ − = − = −
+ − = − = −
+ − = +
+ − − =
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B6/ tan tan tan
2 2
π
= −
= −
≠
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =
( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
π π
+ −
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin3x; e /8cosx.sin 2x.sin3x;
f / sin x .sin x .cos2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
π π + − − − −
Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 5
( ) ( ) ( )
a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a
+ − +
+ − − + + −
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C9/ sinA + sinB + sinC = 4 cos .cos .cos
2 2 2
A B C10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C15/ sinA + sinB - sinC = 4 sin .sin .cos
2 2 2
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh ABC∆ vuông nếu:
2 2 2sin B sin Ca / sin A ; b / sin C cos A cosB; c / sin A sin B sin C 2
cos B cosC
+
= = + + + =
+
Bài 24: Chứng minh ABC∆ cân nếu:
2C sinBa / sinA 2sinB.cosC; b/ tanA tanB 2cot ; c/ tanA 2tanB tanA.tan B; d / 2cosA
2 sinC
= + = + = =
Bài 25: Chứng minh ABC∆ đều nếu:
1 3
a / cosA.cosB.cosC ; b / sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C; c/ cosA cosB cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Chứng minh ABC∆ cân hoặc vuông nếu:
( ) ( )22
2 2 2 2 2
sin B C sin B CC tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ −
= = =
+ −
Bài 27: Hãy nhận dạng ABC∆ biết:
2 2 2 sinAa / sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC
cosB
+ + = + + = =
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1) A
B
có nghĩa khi B 0≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0≥
2) 1 s inx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
3) sin 0 ; s inx = 1 x = 2 ; s inx = -1 x = 2
2 2
x x k k kpi pipi pi pi= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c kpi pi pi pi pi= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x kpi pi≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi x kpi≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1
2
x
x
+
+
3) y = sin 4x +
4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2
os2xc
6) y = 2 s inx−
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 6
7) y = 1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
pi ) 9) y = cot(2x - )
3
pi
10) y = 1 1
s inx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = [ ]2sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐD ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
− = →
− = − →
− ≠ ± → 0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = 1
2
tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
2 2
k kpi pi − + pi + pi
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 32 ; 2
2 2
k kpi pi + pi + pi
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( )2 ; 2k k−pi + pi pi
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( )2 ; 2k kpi pi + pi
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;
2 2
k kpi pi − + pi + pi
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( );k kpi pi + pi
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên ;
6 3
pi pi
−
2) y = cosx trên khoảng 2 3;
3 2
pi pi
3) y = cotx trên khoảng 3 ;
4 2
pi pi
− −
4) y = cosx trên đoạn 13 29;
3 6
pi pi
5) y = tanx trên đoạn 121 239;
3 6
pi pi
−
6) y = sin2x trên đoạn 3;
4 4
pi pi
−
7) y = tan3x trên khoảng ;
12 6
pi pi
−
8) y =sin(x +
3
pi ) trên đoạn 4 2;
3 3
pi pi
−
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số
Khoảng
3
;
2
pi
pi
;
3 3
pi pi
−
23 25
;
4 4
pi pi
362 481
;
3 4
pi pi
− −
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 7
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ];−pi pi
2) y = -2cos 2
3
x
pi
+
trên đoạn 2 ;
3 3
pi pi
−
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : 1 s inx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
pi ) + 3 2) y = 3 – 1
2
cos2x 3) y = -1 - 2os (2x + )
3
c
pi
4) y = 21 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 s inx 3+ 6) y = 5cos
4
x
pi
+
7) y = 2sin 4s inx + 3x − 8) y = 24 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ];a b thì [ ] [ ]a ;a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )bbm f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ];a b thì [ ] [ ]a ;a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )bbm f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn ;
2 3
pi pi
− −
2) y = cosx trên đoạn ;
2 2
pi pi
−
3) y = sinx trên đoạn ;0
2
pi
−
4) y = cos pix trên đoạn 1 3;
4 2
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
I:LÍ THUYEÁT .
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
sin u = sin v ⇔
+−=
+=
pipi
pi
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2pi. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kpi ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kpi ( k ∈ Z )
2/ Phöông trình ñaëc bieät :
sinx = 0 ⇔ x = kpi , sinx = 1 ⇔ x =
2
pi + k2pi ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
pi + k2pi
cosx = 0 ⇔ x =
2
pi + k pi , cosx = 1 ⇔ x = k2pi , cosx = -1 ⇔ x = pi + k2pi .
3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .
Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 ≠ 0
Caùch 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(.22 ϕ−+ xba = c vôùi
22
cos
ba
a
+
=ϕ
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 8
asinx +bcosx = c ⇔ )sin(.22 ϕ++ xba = c vôùi
22
cos
ba
a
+
=ϕ .
Caùch 2 :
Xeùt phöông trình vôùi x = pi + kpi , k ∈ Z
Vôùi x ≠ pi + kpi ñaët t = tan
2
x ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t :
(c + b)t2 – 2at + c – a = 0
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0 .
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx
3. xxx 3sin419cos33sin3 3+=− , 4.
4
1)
4
(cossin 44 =++ pixx
5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x− = +
7. 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x
x
x
−
= 8. 2 1sin 2 sin
2
x x+ =
4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :
Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0
vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 .
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. x
x 2cos
3
4
cos =
7. 2
3 3 2 tan
cos
x
x
= + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 26sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 24sin 12cos 7x x+ =
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 .
Caùch 1 :
• Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xeùt cos 0x ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx.
Caùch 2: Thay sin2x =
2
1 (1 – cos 2x ), cos2x =
2
1 (1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1 sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø cos2x .
b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi
ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = 2
pi
+ kpi ,k∈Z.
Baøi taäp :
1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 9
5. 2 2 1sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phöông trình daïng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinxcosx = 2
12 −t
Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .
Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinxcosx = 2
1 2t−
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx
2/ xx 2cos
3
4
cos = ÑS : x = k3pi , x= ±
4
pi
+k3pi , x = ±
4
5pi +k3pi
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x = 2cos2 ( −
4
pi
2
x
) ÑS: sinx =1 v sin
2
x = 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = -
4
pi + k pi
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1 ÑS : x = k2pi , x = ±
3
pi +k2pi
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan
2
x
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x
12/ tan3( x - 4
pi
) = tanx - 1 ÑS : x = kpi v x =
4
pi + kpi
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = 4
pi
+ kpi
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 10
II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX.
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x=
4
pi +
2
pik
5/ sin3(x -
4
pi
) = 2 sinx ÑS : x =
4
pi
+kpi
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = ±
3
pi + kpi v x=
4
pi +
2
pik
7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG .
Giaûi caùc phöông trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x =
2
3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++ xx
xx
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/
x2sin
2 + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ).
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC .
Giaûi caùc phöông trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 4
1
5/ sin4 2
x
+ cos4 2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x
9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+
11/ sin2 )
42
( pi−x tan2x – cos2
2
x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
15/ 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=
+
+
+ x
x
xx
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan
2
x )
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 11
20/ cotx – 1 = 2
cos 2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ℕ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử
trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một
phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k
nA là:
( ) ( ) ( )
k
n
n!A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ℕ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k
nC là: ( )
( ) ( )k
n
n n 1 ... n k 1n!C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
ℕ
III. Khai triển nhị thức Newton
( ) nn k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n n
k 0
a b C a b C a C a b .. C a b .. C b− − −
=
+ = = + + + + +∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: k n k kk 1 nT C a b−+ =
–
0 1 2 n n
n n n nC C C ... C 2+ + + + =
– ( ) ( )k n0 1 2 3 k nn n n n n nC C C C ... 1 C ... 1 C 0− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( ) nn k n k kn
k 0
a b C a b−
=
+ = ∑ là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Hoangtrongnam2010@gmail.com 12
–
( ) nn k k n kn
k 0
a b C a b −
=
+ = ∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập { }A 0;1;2;3;4= . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập { }A 1,2,3,4,5= hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1
xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( ) ( )
k
n
n!A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập { }A 0,1,2,3,4,5= có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( ) ( )
k
n
n!C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm *n ∈ℕ trong phương trình chứa k kn n nP ,A ,C
Phương pháp giải: Dùng các công thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k
n n n
n! n!P n! n 1 ; A n n 1 ... n k 1 1 k n ; C 0 k n
n k ! k! n k !
= ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤
− −
Bài 8: Tìm *n ∈ℕ , nếu có: ( )3n n
n 1
2P A 1
P
−
= .
Bài 9: Tìm *n ∈ℕ , nếu có: ( )3 3n n 16n 6 C C . 2+− + ≥
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Ne
File đính kèm:
- Bai tap toan 11.pdf