Bài tập về Bất đẳng thức

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC I. CMR a2 – 3a + 3 > 0 , "aÎR a2 + b2 ³ 2ab , "a, bÎRa2 +3a +3 > 0 "aÎR a2+ b2 + c2 ³ ab +bc +ca , "a, b, cÎR a2 + b2 + 4 ³ ab + 2(a +b) , "a, bÎR a2+ b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b +c + d + e) , "a, b, c, d, eÎR . Suy ra , "a, bÎR , "a, b, cÎR a3 + b3 ³ ab(a+b) , "a, b ³ 0 a3b + ab3 £ a4 + b4 , "a, bÎR a4 + 16 ³ 2a3 + 8a , "aÎR , "a, b, c, d > 0 , "a, b > 0 , "a, bÎR , "a ³ 1 , "a, b, c > 0 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , "aÎR x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , "xÎR. Hd: BÑT II.CMR 1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: i. Neáu ii. Neáu b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 2. Cho a , b , c laø ñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc. CMR: a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b. abc ³ (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0 3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2 4. Cho x + y + z = 1. CMR: 5. CMR: a. , "xÎR b. , "x, yÎR III.CMR . (a, b , c, d ³ 0) . (a, b , c ³ 0) (a, b , c > 0) (a, b , c > 0) (a, b , c > 0) (x , y > 0) (a + b)(b+c)(c+a) ³ 8abc (a, b , c ³ 0) (a, b , c > 0) (a + 2)(b + 8) (a + b) ³ 32ab (a, b ³ 0) (1 –a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc vôùi a + b + c = 1 vaø a, b, c ³ 0 vôùi x+y =1 vaø x , y > 0. (a + 2) (b + 8) ³ 36 vôùi ab = 4 vaø a, b > 0 "a, b ³ 1 vôùi a + b + c = 1 vaø a, b, c ³ - IV.CMR: 1. (ab +by)2 £ (a2 + b2)(x2 +y2) ,"a, b, x, yÎR. Daáu baèng xaûy ra khi naøo? 2. vôùi x2 + y2 = 1 3. 2 vôùi 9x2 + 4y2 = 1 4. vôùi 2x2 + 3y2 = 7 5. bieát 4x + 6y = 1. Daáu baèng xaûy ra khi naøo? 6. bieát 4x - 3y = 3. Daáu baèng xaûy ra khi naøo? V.Tìm GTLN cuûa haøm soá sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) vôùi -5 £ x £ 7 (maxy = 36 khi x = 1) 2. y = (2x - 3)(10 – 3x) vôùi 3. y = vôùi x ³ 4 (maxy = khi x = 8) 4. y = x + (maxy = 4 khi x = ± 2) VI.Tìm GTNN cuûa haøm soá sau: 1. y = vôùi x > -5 (miny = 4 khi x = -1) 2. y = vôùi x > 2 (miny = 8 khi x = 5) 3. y = vôùi x ¹ 0 (miny = 6 khi x = ) 4. y = vôùi x ¹ 0 (miny = 2 khi x = ±1) 5. y = vôùi x > 0 (miny = 9 khi x = 2) 6. y = (miny = 2 khi 2 < x < 4) VII. Tìm GTLN vaø GTNN cuûa bieåu thöùc S = xy + yz + zx bieát x2 + y2 + z2 = 1 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: a. b. c. c. d. Tìm ñieàu kieän cuûa caùc baát phöông trình sau: a. b. CMR caùc baát phöông trình sau voâ nghieäm: a. b. c. d. Giaûi caùc baát phöông trình sau: a. b. x2 > x c. d. Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình sau: a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m Tìm k ñeå hai baát phöông trình sau töông ñöông: a. 3x + 2 > x – 5 vaø 4x + k > 2x – 5 b. 2x +3 ≤ x + 6 vaø 5x – 1 ≤ 3x + 2 Tìm m ñeå heä bpt sau coù nghieäm: (ÑS: m<1) Tìm m ñeå heä bpt sau voâ nghieäm: a. b. Tìm m ñeå heä bpt sau coù nghieäm duy nhaát : (ÑS: m=) DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT Xeùt daáu caùc bieåu thöùc: a. f(x) = (3x + 1)(6 – 3x) b. f(x) = c. f(x) = x – 14x + 48 d. f(x) = e. f(x) = f. f(x) = x3 + 5x2 - 6x Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1/ (x + 1)(x + 5)(4 – x) ³ 0 2/ (4x + 7)2 < (3x – 1)2 . 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ (2x – 1)(x – 3) ³ x2 – 9 Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1/ a. b. c. d. 2/ a. b. c. 3/ a. b. 4/ a. b. Giaûi caùc baát phöông trình sau: a. b. c. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN 1. Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa bpt baäc nhaát hai aån sau: a. x + 2y > 3 b. 3x – y < 0 c. x – 2 ³ 0 d. y + 3 < 0 d. 2(x + 1) – 3(y – 2) 2 2. Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä bpt baäc nhaát hai aån sau: a. b. c. d. DAÁU CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 - 2x + 5 > 0 -x2 + 3x - 4 > 0 b) x2 + 4x + 4 > 0 x2 - 6x + 9 > 0 -x2 + 2x -1 > 0 c) 2x2 + 3x + 1 > 0 -x2 + 5x - 4 > 0 Giaûi caùc baát phöông trình sau: a. 8x2 – 10x < - 16x2 + 25 b. (x2 -2x + 1)(-x2 + 3x -7)(2x2 – 5x +3) ³ 0 c. d. e. f. g. h. k. Tìm m ñeå caùc pt sau voâ nghieäm: a. (m – 2)x2 – 4mx + 2m – 6 = 0 b. (5 – m)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 c. (m + 2)x2 +(m + 2)x + m = 0 Tìm m ñeå caùc pt sau coù : a) hai nghieäm phaân bieät b) hai nghieäm traùi daáu c) hai nghieäm döông d) hai nghieäm aâm 1) 2x2 - mx + m = 0 2) x2 + 2mx + m + 2 = 0 3) x2 - 2(2 – m)x + m2 – 2m – 3 = 0 4) (3 – m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 5) (m + 7)x2 - 2(m – 9 )x – 7m + 15 = 0 6) (m – 2 )x2 + 2(2m – 3 )x + 5m – 6 = 0 Tìm m ñeå caùc pt sau nghieäm ñuùng vôùi moïi xÎR: a. (1 – m)x2 - (1 – m)x + 5 > 0 b. (m + 2)x2 + 3(m + 2)x – 4 > 0 c. (m2 – m – 6)x2 + 2(m + 2)x + 1 > 0 d. (m2 + m – 2)x2 + (m – 1)x + 6 < 0 e. mx2 - 2(m – 2)x + 2m – 1 ³ 0 f. (m – 1)x2 + (m – 1)x + 1 – 2m < 0 g. h. Tìm m ñeå caùc bpt sau voâ nghieäm: a. x2 - (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 2 £ 0 b. mx2 - (2m – 1)x + m + 1 < 0 c. (m – 1)x2 - (m – 1)x + 1 – 2m > 0 d. mx2 - (m + 2)x + m + 2 ³ 0 Tìm m ñeå caùc bpt sau coù nghieäm: a. x2 - 2(m – 2)x + m + 10 £ 0 b. x2 + 2mx + 2 – m < 0 Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình sau: 1) a. b. c. 2) 3) a. b. 4) a. b. c. 5) a. b. 6) a. b. c. Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình sau: 1/ a. b. 2/ a. b. 3/ a. b. c. d. e. 4/ a. b. c. d. 5/ a. b. c. Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: a. b. c. d. e. f. g. Tìm m ñeå heä baát phöông trình sau coù nghieäm: a. b. Cho bpt mx2 – (m+1)x + 1 £ 0 (1) a. Giaûi bpt(1) khi m = -1 b. Tìm m ñeå (1) coù nghieäm duy nhaát