Bài Tập Về Bất Đẳng Thức Dạng Á Nesbit

VIII- Bất đẳng thức dạng “ á Nesbit ” Bài 144. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng . (*) ( Bất đẳng thức Nesbit với ba số dương ) Giải Cách 1. (*) Û 2a(a + c)(a + b) + 2b(b + c)(b + a) + 2c(c + a)(c + b) ³ ³ 3(a + c)(a + b)(b + c) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có . (1) .Dấu “=” xảy ra Û a3 = b3 Û a = b Tương tự, ta có Dấu “=” xảy ra Û a3 = b3 Û b = c. Dấu “=” xảy ra Û c3 = a3 Û c = a. Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức Û a = b = c . Cách 2. Đặt ; ; . Suy ra B + C = . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: A + B = A + C = Cộng từng vế của (1), (2), ta có: 2A + B + C ³ 6 ị 2A ³ 3 (do B + C = 3) hay (đpcm). Dấu “=” của (*) xảy ra Û (1), (2) cùng xảy ra đẳng thức Û a = b = c . Cách 3. Đặt Thay vào (*), ta có: . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û x = y = z Û a + b = b + c = c + a Û a = b = c. Cách 4. Đặt . . Ta có Theo bài 130, ta có 2(A + 3) = . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û a + b = b + c = c + a Û a = b = c. Cách 5. Nhân hai vế của (*) với (a + b + c) đã được chứng minh ở bài trước.?? Nhận xét: Từ bất đẳng thức (*) nếu ta thay thì được: . Nếu ta cho xyz = 1 thì ta có bất đẳng thức “đẹp” sau: Để chứng minh , bạn đọc có thể chuyển về bất đẳng thức (*) hoặc chứng minh trực tiếp. Bài 145. Cho x, y, z, t dương thoả mãn xyzt = 1. Chứng minh rằng . (*) ( Toán học & tuổi trẻ ) Giải. Nhân hai vế của (*) với (xyz + yzt + ztx + txy), ta có áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: Tương tự, ta có: Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta được + Dấu “=” của (*) xảy ra Û (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức và xyzt = 1 Û x = y = z = t = 1. Nhận xét: Nếu ta đặt thì ta đưa được (*) về bất đẳng thức quen thuộc . Bài 146. Cho n ẻ N* ; a1, a2,, an là n số thực sao cho a1+ a2 ++ an = 1. Hỏi bất đẳng thức sau có đúng không? . (*) ( Olypic toán Singapore – 2001 ) Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: ; Cộng từng vế của(1), (2),.., (n), ta được . (**) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có . (1)’ Tương tự, ; (2)’ . (n)’ Cộng từng vế của (1’), (2’),..., (n’), ta được . Kết hợp với (**) suy ra (*) đúng ị dấu “=” xảy ra Û (1), (2),, (n) ; (1’), (2’),, (n’) cùng xảy ra đẳng thức và a1+ a2 ++ an = 1 . Bài 147. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng . (*) Giải. Ta có (*) . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số dương, ta có áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: Cộng từng vế của (1’), (2’), ta được Cộng từng vế của (1), (2), ta được Tương tự , ; Cộng từng vế của (3), (4), (5), ta được . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û a = b = c. Bài 148. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: ; ; . Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được Theo giả thiết a + b + c = 1 ị . Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được khi (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức và a + b + c = 1 Û . Bài 149. Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng . Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có . (1) Ta lại có Cộng từng vế của (1), (2) Chứng minh tương tự, ta có: ; Cộng từng vế của (3), (4), (5), ta được . (*) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có . (6) Tương tự, (7); . (8) Từ (6), (7), (8) suy ra . Kết hợp với (*), ta có (đpcm). Dấu “=” xảy ra Û (3), (4),,(8) cùng xảy ra đẳng thức Û a = b = c. Bài 150. Cho a, b, c, d > 0 thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho chín số dương, ta có hay . (1) Lại dụng bất đẳng thức Cô-si cho bảy số dương, ta có hay . (2) Tương tự, . (3) Từ (2), (3) suy ra hay . (4) Từ (1), (4) ta có . (5) Tương tự, ; (6) (7); . (8) Cộng từng vế của (5),,(8), ta được . (*) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bảy số dương, ta có hay . (9) Tương tự, ; (10) (11); . (12) Cộng từng vế của (9),, (12), ta được . Theo giả thiết . .Kết hợp với (*) . Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được khi (2),, (12) cùng xảy ra đẳng thức và Û . Bài 151. Cho x, y, z, t > 0 thoả mãn xyzt = 1. Chứng minh rằng + . Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có hay . (1) Tương tự , ; (2) ; (3) . (4) Cộng từng vế của (1),,(4), ta được + . (đpcm) Dấu “=” xảy ra Û (1),, (4) cùng xảy ra đẳng thức và xyzt =1 Û x = y = z = t = 1. Nhận xét: Bạn đọc có thể đặt để đưa bất đẳng thức đã cho về dạng . Bài 152. Cho a, b, c > 0; n ẻ N*. Chứng minh rằng . (*) ( Toán học & tuổi trẻ ). Giải. Ta có (*) Û Û . (**) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (n + 1) số dương, ta có: hay . (1) +) , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số dương, ta có hay . (2) Tương tự, . (3) Từ (2), (3) ị hay . (4) +) n = 1 ị (4) luôn đúng. Cộng từng vế của (1), (4), suy ra . (5) Tương tự , ; (6) . (7) Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta được . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û (5), (6),(7) cùng xảy ra đẳng thức Û a = b = c. Nhận xét : Liệu (**) có đúng với k số dương không? Để trả lời câu hỏi này ta xét bất đẳng thức sau đây. Bài 153. Cho x1, x2,, xk > 0, k nguyên : k > 2; p ẻ Q sao cho . Chứng minh rằng . (*) Giải. Do nên $ n ẻ N*: , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho np số dương, ta có hay . (1) +) Với p > 2, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n(p – 1) số dương, ta có hay . (2) Tương tự, . (3) Cộng từng vế của (2), (3), ta được hay . (4) +) Với p = 2 suy ra (4) luôn đúng. Từ (1), (4) suy ra . (5) Tương tự, ; (6) . (k + 5) Cộng từng vế của (5),, (k + 5), ta được . (đpcm) Dấu “=” của (*) xảy ra Û (5),, (k + 5) cùng xảy ra đẳng thức Û x1 = x2 == xk. Nhận xét: - Do nên ta đặt ; ; ; với a1, a2,, ak > 0. Thay vào (*), ta được . (**) Bạn đọc có thể chứng minh trực tiếp (**) mà không cần thông qua (*). - Mở rộng hơn bất đẳng thức (**), chứng minh dành cho bạn đọc: Cho x1, x2,, xk > 0, k nguyên : k > 2, i nguyên : i > 1; sao cho . Chứng minh rằng ³