Báo cáo Vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

nội dung báo cáo: vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian Họ và tên: Bùi Linh Phượng Lớp: cao học toán - k15 Chuyên ngành : phương pháp Lời giới thiệu Trong chương trình Toán ở trường THPT, nội dung véctơ và phương pháp toạ độ là khái niệm mới đối với các em học sinh, nội dung này được trình bày giàn trải trong chương trình hình học từ lớp 10 đến lớp 12. Phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ được xem là những phương pháp toán học cơ bản, là những phương pháp toán học mới để nghiên cứu nhũng đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian. Trong nhiều trường hợp, phương pháp này làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn, xúc tích hơn và nó giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn những kiến thức về không gian vectơ nhiều chiều ở bậc học cao hơn. Với mục đích tìm hiểu phân phối chương trình vàphân tích sự phân bố, mạch kiến thức chủ yếu của nội dung vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học phổ thông, xác định những thuận lợi, khó khăn, sai lầm của học sinh, giáo viên khi thực hiện nội dung này để từ đó rút ra những những chú ý và kinh nghiệm của bản thân. Trong đề tài này gồm có 4 phần: Phần 1: Mở đầu. Phần 2:Tìm hiểu phân phối chương trình vàphân tích sự phân bố, mạch kiến thức chủ yếu của nội dung vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học phổ thông. Phần 3: Xác định những thuận lợi, khó khăn, sai lầm của học sinh, giáo viên, những chú ý và kinh nghiệm của bản thân khi thực hiện nội dung trên. Phần I Mở đầu Nội dung vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian có một vị trí rất quan trọng trong chươnh trình hìng học Phổ thông. Véc tơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học, việc sử dụng rộng rãi khái niệm véc tơ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng như trong kỹ thuật đã làm cho khái niệm véc tơ ngày càng phát triển. Cuối thế kỷ thứ 19, đầu thế kỷ thứ 20, phép tính véc tơ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Nhiều lý thuyết ra đời như: Đại số véc tơ, giải tích véc tơ, lý thuyết trường, giải tích ten-xơ, lý thuyết tổng quát về không gian vectơ nhiều chiều. Trong hình học lớp 10 đã giới thiệu về nhà toán học người Ailen: William Hamitlton, ông đã viết một trong những công trình toán học đầu tiên về véc tơ. Ông là người xây dựng khái niệm: Qua-téc-ni-ông, một đại lượng giống như véc tơ, có nhiều ứng dụng trong vật lý. Trong chương trình hình học phổ thông, học sinh được học về véc tơ, các phép tính về véc tơ và dùng véc tơ làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng với những mối quan hệ hình học sang những khái niệm Đại số và quan niệm Đại số, chúng ta thường gọi chung đó là: "Đại số hoá hình học". Một ví dụ đơn giản nhất: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d' ta viết phương trình của hai đường thẳng ấy, khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu hệ (I) VN thì d // d' Nếu hệ (I) có một nghiệm (x0, y0) thì: d ầ d' = A(x0, y0) Nếu hệ (II) vô số nghiệm thì: d d' Sự ra đời của phương pháp toạ độ đã xác lập được một mối liên hệ chặt chẽ, mật thiết giữa khoa học và đời sống. Trong lịch sử toán học, đến thế kỷ thứ 17, không có những phương pháp tổng quát để giải phương trình và chứng minh những định lý hình học và đó là hạn chế lớn của hình học sơ cấp. Chẳng hạn như, khi gặp những bài toán về những đường cong phức tạp hoặc là khi giải thích những hiện tượng vật lý thì sẽ có rất nhiều khó khăn. Vấn đề đặt ra là phải tìm ra được một phương pháp tổng quát để giải quyết những bài toán đó. Và một phương pháp toán học mới ra đời, đó là phương pháp toạ độ mà cơ sở của nó là hệ trục toạ độ. Phương pháp toạ độ giúp chúng ta giải quyết những bài toán về những đường, những mặt, những khối từ đơn giản cho đến phức tạp và điều quan trọng nhất là nó có ứng dụng nhiều trong các ngành vật lý, cơ học, kỹ thuật và nhiều ngành khoa học khác. Người ta đã xem đây là một cuộc cách mạng trong toán học vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát khỏi việc tư duy cụ thể, trực quan của không gian thực để đạt đến đỉnh cao của trừu tượng hoá và khái quát hoá. Vì thế nội dung véc tơ và phương pháp toạ độ được trình bày trong chương trình THPT có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nó là tiền đề, là cơ sở ban đầu để các em học sinh tiếp tục nghiên cứu về véc tơ và toạ độ trong không gian nhiều chiều ở các bậc học cao hơn. Điều quan trọng hơn là các em đã thấy được ứng dụng của toán học trong khoa học, kỹ thuật đặc biệt là trong vật lý, và từ việc nghiên cứu khoa học để đến phục vụ cuộc sống của con người. Phần 2: Tìm hiểu phân phối chương trình và phân tích sự phân bố mạch kiến thức chủ yếu của nội dung vectơ và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học phổ thông. I/ Nội dung vectơ trong mặt phẳng và trong không gian: 1/ Vectơ trong mặt phẳng: ở chương trình hình học lớp 10, chương I: Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ: vectơ, vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau, và các phép toán trên vectơ: phép cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số. Các định nghĩa: Định nghĩa 1: Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm đầu mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu điểm nào là điểm cuối. Định nghĩa 2 : Vectơ- không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Định nghĩa 3: Hai vectơ gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. * Chú ý: Nếu hai véctơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Định nghĩa 4: Độ dài của vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối. Định nghĩa 5: Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng độ dài và cùng hướng. Các phép toán trên vectơ: Định nghĩa 6 : Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ và , lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho: . Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và . Kí hiệu: . Phép lấy tổng của hai vectơ gọi là phép cộng vectơ. * Tính chất: + Tính chất giao hoán: + Tính chất kết hợp: + Tính chất của vectơ - không: * Chú ý: + Quy tắc 3 điểm: 3 điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có: + Quy tắc hình bình hành: với OABC là hình bình hành. Định nghĩa 7: Vectơ đối của một vectơ: Nếu thì gọi là vectơ đối của . Định nghĩa 8: Hiệu của hai vectơ: * Chú ý: +) Cách dựng hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ và , từ điểm O bất kỳ vẽ . Khi đó: . +) Nếu cho một vectơ , với mọi điểm O bất kỳ ta có: Định nghĩa 9: Phép nhân vectơ với một số: Tích của vectơ với một số thực k, ký hiêu là một vectơ xác định như sau: 1) Nếu thì vectơ cùng hướng với Nếu thì vectơ ngược hướng với . 2) Độ dài vectơ Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số. * Các tính chất của phép nhân vectơ với số: Cho hai vectơ bất kỳ , và mọi số thực k, l ta có: +) +) +) +) hoặc . * Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Vectơ và cùng phương () khi và chỉ khi có số k sao cho * Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B và C thẳng hàng là: . * Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ và không cùng phương, khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có cặp số (m;n) sao cho: . SGK Hình học nâng cao lớp 10 đã dùng định lý này để hình thành cho học sinh khái niệm toạ độ vectơ trên hệ trục toạ độ xOy và kiến thức về vectơ nói chung chính là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trên mặt phẳng. * Định nghĩa trọng tâm của hệ n-điểm: Cho hệ n-điểm: A1 , A2, , An , điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n-điểm: A1 , A2, , An nếu nó thoả mãn đẳng thức: Tính chất: Định nghĩa này được thể hiện trong các bài toán và bài tập trong SGK Hình học nâng cao lớp 10: - Bài toán về trung điểm của đoạn thẳng; - Bài toán về trọng tâm tam giác; - Bài tập về trọng tâm của tứ giác. Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng: ở chương II, SGK hình học 10 trình bày về tích vô hướng của hai vectơ và những ứng dụng, bao gồm: định nghĩa, tính chất, biểu thưvs toạ dộ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác. Định nghĩa 10: Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số, ký hiệu ., được xác định bởi công thức: . Trước khi đưa ra định nghĩa về tích vô hướng, SGK đã chỉ ra một ví dụ trong vật lý: công sinh bởi một lực để cho học sinh thấy được những ứng dụng của tích vô hướng trong khoa học và đời sống. * Chú ý: nghiên cứu: * Tính chất: Với 3 véc tơ ,, tuỳ ý, mọi số thực k, ta có: + + + + * Công thức hình chiếu: Véc tơ còn gọi là hình chiếu của trên đường thẳng OA Công thức: * Phương trình của 1 điểm đối với 1 đường tròn Cho đường tròn (O, R) và điểm M cố định, đường thẳng D thay đổi luôn đi qua M, cắt đường tròn đó tại hai điểm A và B. Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O,R) được tính bởi: * Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, quan trọng nhất, những hệ thức quan trọng nhất về phương pháp toạ độ trên mặt phẳng. Những kiến thức về véc tơ được áp dụng để chứng minh hệ thức lượng trong tam giác. * Hệ thức lượng trong tam giác: HS được xuất phát từ những kiến thức cơ bản đã biết từ ở cấp II và đưa vào những biểu thức về véc tơ vừa học xong để tìm ra những công thức, những định lý mới: HS xuất phát từ định lý Pitago và sử dụng những biểu thức về véc tơ như phép trừ véc tơ, bình phương vô hướng, tích vô hướng của hai véc tơ để đi đến định lý côsin: a2 = b2 + c2 -2 bccosA HS được xuất phát từ những kiến thức đã biết của cấp 2 để đi đến định lý Sin: Từ bài toán tìm tổng bình phương hai cạnh của tam giác để đi đến công thức tính đường trung tuyến trong tam giác: Đối với công thức tính diện tích, học sinh cũng được bắt đầu từ công thức tính diện tích đã biết ở THCS: Từ đó đi đến các công thức khác: S = phải Trong phần kiến thức này học sinh thấy được ứng dụng rất thực tế của toán học trong các bài toán giải tam giác như tính khoảng cách từ hai vị trí không thể đo trực tiếp được. Các em học sinh đã thấy rõ được rằng: kiến thức véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng giác trong tam giác, trong đường tròn và nó cũng là cơ sở, đặt nền móng để các em tiếp thu kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian. 2/ Véc tơ trong không gian ở chương trình lớp 11, véc tơ trong không gian nằm ở chương III: Véc tơ trong không gian, quan hệ vuông góc. Học sinh phải nắm được kiến thức về véc tơ vì nó là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian, khi học chương này học sinh cần biết vận dụng các kiến thức đã có về véc tơ trong mặt phẳng để áp dụng vào trong không gian. Định nghĩa, các phép toán, tính chất của véc tơ trong không gian được biểu thượng tương tự như trong mặt phẳng nên SGK không nhắc lại mà nhấn mạnh ở một số điều sau: + Gắn véc tơ, các bài toán về véc tơ lên các hình không gian cụ thể: hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp giúp học sinh có óc tưởng tượng không gian, rèn luyện kỹ năng về giải toán bằng phương pháp véc tơ. Không quá chú trọng về vấn đề này nhưng phải để cho học sinh thấy rằng: giải toán bằng phương pháp véc tơ nhanh, ngắn gọn hơn so với phương pháp tiên đề . + Đưa ra khái niệm mới: ba véc tơ đồng phẳng: Định nghĩa: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Hoặc chúng ta có thể hiểu: Khái niệm này dựa vào định lý: Biểu thị một véc tơ qua véc tơ không cùng phương trên cùng một mặt phẳng ở Đ4 chương I, hình học 10. Từ định lý này ta thấy rằng: véc tơ đồng phẳng với hai véc tơ không cùng phương khi ((m, n) là duy nhất). + Định lý nói về biểu thị một véc tơ qua hai véc tơ không đồng phẳng: . Trong đó: - : Không đồng phẳng - m, n, p: Là duy nhất - : Là véc tơ bất kỳ ở chương trình lớp 12: ở chương III, trong bài hệ toạ độ trong không gian, có khái niệm: Tích có hướng của hai vectơ. Vì tích có hướng là một vectơ chứ không phải một số nên còn gọi là tích vectơ, khái niệm này cũng là cơ sở để học sinh tiếp thu kiến thức về phương pháp toạ độ trong không gian. II. Phương pháp toạ độ trên mặt phẳng và trong không gian 1. Phương pháp toạ độ trên mặt phẳng ở lớp 10, Chương I, học sinh nắm được những kiến thức sơ khai về khái niệm trục và hệ trục, toạ độ của điểm, của vectơ và các phép toán, tính chất trên trục và hệ trục. Chủ yếu là học sinh nắm được những kiến thức về hệ trục và giải được các bài tập đơn giản trên các vectơ trên hệ trục. Định nghĩa: Hệ trục toạ độ bao gồm hai trục Ox và Oy vuông góc tại O, vectơ đơn vị trên trục Ox là , vectơ đơn vị trên trục Oy là , O gọi là gốc toạ độ. Kí hiệu: Oxy hay (O; ; ). Định nghĩa toạ độ của vectơ trên hệ trục toạ độ: Đối với hệ trục toạ độ (O; ; ), nếu thì cặp số (x;y) được gọi là toạ độ của vectơ , KH: = (x;y) hay (x;y). Định nghĩa toạ độ của điểm trên hệ trục: Trên hệ trục toạ độ (O; ; ), toạ độ của M là (x;y) nếu Trên hệ toạ độ, học sinh hiểu rõ hơn về hai vectơ bằng nhau và hai vectơ cùng phương. +) Hai vectơ bằng nhau: (x;y); (x’;y’) trên Oxy +) Hai vectơ cùng phương: , cùng phương Û Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ: Cho (x;y); (x’;y’), k ẻℝ. Khi đó: * Học sinh tìm được toạ độ của vectơ khi biết toạ độ của hai điểm đầu mút: M(xM, yM); N(xN;yN) khi đó: * Từ các kiến thức trên, học sinh tìm ra được toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm tam giác. Chương II: Học sinh được làm quen với phương pháp toạ độ trên mặt phẳng qua các nội dung: + Phương trình tổng quát của đường thẳng + Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng + Phương trình của đường tròn + Phương trình của ba đường cônic: Elip. hypebol, parabol. Học sinh đã dần dần làm quen với cách giải quyết các bài toán bằng phương pháp toạ độ. 2. Phương pháp toạ độ trong không gian Học sinh tiếp cận với những kiến thức cơ bản về phương pháp toạ độ trong không gian dựa vào phương pháp toạ độ trong mặt phẳng: Định nghĩa hệ trục toạ độ trong không gian: Hệ gầm Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ đôi một vuông góc trong không gian, vectơ đơn vị trên trục Ox là , vectơ đơn vị trên trục Oy là , vectơ đơn vị trên trục Oz là . Định nghĩa toạ độ của vectơ: Toạ độ của điểm: Các tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian tương tự như các tính chất và các phép toán trong mặt phẳng. Người ta cũng dùng toạ độ để định nghĩa tích có hướng của hai vectơ, đây là cơ sở để viết phương trình đường thẳng trong không gian. Từ đó học sinh hiểu và vận dụng được các ứng dụng của tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện, độ dài đường cao trong tứ diện... Trong phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, ta đi tìm hiểu phương trình của đường thẳng, đường tròn, ba đường cônic, còn trong phương pháp toạ độ trong không gian ta đi tìm hiểu phương trình của đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. SGK cũng trình bày và hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện và giải quyết các vấn đề về vị trí tương đối của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của mặt phẳng và mặt cầu. Phần 3: Những thuận lợi, khó khăn, sai lầm, những chú ý, kinh nghiệm Của giáo viên và học sinh khi thực hiện nội dung này 1. Nội dung vectơ: a. Thuận lợi + Nội dung vectơ là một kiến thức hoàn toàn mới nhưng học sinh đã thấy ngay được tính ưu việt của nó, nếu biết cách ứng dụng vào giải các bài toán thì cách giải sẽ nhanh chóng, ngắn gọn hơn rất nhiều so với cách giải thông thường ở Trung học cơ sở. Để cho học sinh thấy rõ được điều này, giáo viên đưa ra ví dụ: Cho tứ giác ABCD; M,N là trung điểm của AB, CD; E, F là trung điểm của AD, BC; P, Q là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng: ba đoạn thẳng MN, EF, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Nếu sử dụng theo tính chất hình bình hành: Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm thì khá dài, khó trình bày cho những học sinh yếu có thể hiểu được. Nhưng nếu dùng phương pháp vectơ để làm thì bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn và xúc tích như sau: Gọi G1 là trung điểm của MN ta có: Gọi G2 là trung điểm của EF, ta có: Gọi G3 là trung điểm của PQ, ta có: Từ ba đẳng thức trên ta dễ thấy: G1 º G2 º G3 ị Điều phải chứng minh Qua bài toán trên ta cũng thấy rõ được một thuận lợi nữa đó là học sinh đã bước đầu làm quen với “Đại số hoá hình học” không cần vẽ hình vẫn có thể chứng minh được một bài toán hình học 11. SGK trình bày những phần kiến thức mới này bằng phương pháp đặt vấn đề một cách tự nhiên, không gò ép, gợi động cơ tìm hiểu, giúp học sinh nắm bắt kiến thức bằng những ví dụ và các hoạt động trí tuệ. VD: Trong dạy học định lý cosin, ta nhắc lại định lý Pitago: Trong tam giác vuông ABC tại A ta có: và biến đổi : Từ đó ta đi đến công thức: a2 = b2 + c2 - 2BC cosA Học sinh nhận ra rằng công thức là trường hợp đặc biệt của định lý cosin. Trong phần này học sinh rất có hứng thú khi học giải tam giác, các bài toán ứng dụng thực tế, tính toán. b. Khó khăn và sai lầm của giáo viên và học sinh hay mắc phải: - Mặc dù có những thuận lợi ở trên nhưng vì đây là kiến thức, phương pháp hoàn toàn mới nên học sinh vẫn không tránh khỏi nhiều bỡ ngỡ, chưa tạo ngay được một nếp suy nghĩ, một cách tư duy mới. Trong quá trình học và ứng dụng kiến thức và vectơ, học sinh vẫn bị những cách làm cũ chi phối hoặc hay nhầm lẫn khi thực hiện phép toán. - Trong quá trình dạy: bài đầu tiên: các định nghĩa khái niệm phương và hướng của một vectơ không được định nghĩa cụ thể, mà học sinh chỉ nhận biết qua trực quan bằng hình vẽ, từ đó học sinh phản ánh lại trong não của mình hình ảnh của phương, hướng, của vectơ nhưng không được phát biểu bằng lời. Chính vì thế: Giáo viên không nên đưa ra những câu hỏi như : hai vectơ cùng hướng khi nào? Vì sao hai vectơ này cùng hướng? Đây cũng là sai lầm mà giáo viên thường hay mắc phải. - Trong hình học không gian, nhiều khi giải quyết bài toán không cần phải chú trọng đến hình vẽ, điều này làm cho học sinh hạn chế về óc tưởng tượng không gian. VD: + Học sinh hay lầm lẫn: hai vectơ có độ dài bằng nhau thì kết luận ngay là hai vectơ đó bằng nhau mà không quan tâm đến phương, hướng. + Nhầm lẫn trong quá trình cộng vectơ như ; trong phép trừ vectơ như . + Học sinh chưa hiểu rõ và nắm vững được các phép toán tổng, hiệu của 2 vectơ là một vectơ, tích của một vectơ với một số là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số nên cũng hay nhầm lẫn ở điều này. c. Chú ý và kinh nghiệm của bản thân: - Cần đưa ra nhiều ví dụ hoạt động trí tuệ sau mỗi một khái niệm hay một phép toán mới. - Làm cho học sinh thấy rõ được tính ưu việt của phương pháp vectơ khi giải toán nhưng không quá chú trọng, quá đi sâu về việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán vì không nên đòi hỏi quá cao vào một phần kiến thức hoàn toàn mới đối với học sinh. - Vận dụng triệt để và có sáng tạo những ví dụ, những hoạt động gợi mở của SGK nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác trong học tập của học sinh. Ví dụ 1: Ta có thể dùng phương pháp gợi mở vấn đáp trong dạy học định lý cosin. Gợi vấn đề bằng cách câu hỏi: + Ta đã biết DABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2. Nếu góc A không vuông thì BC2 tính như thế nào? + áp dụng trong các bài toán thực tế, để đo khoảng cách giữa hai điểm B và C mà không thể đo trực tiếp được thì ta làm thế nào? - Ta có thể biểu diễn qua hai vectơ như thế nào? Khi đã giải quyết được những câu hỏi trên, học sinh sẽ suy ra được công thức: Khi đó, học sinh cũng phát hiện ra: định lý Pitago cũng chính là trường hợp đặc biệt của định lý cosin. - Khi dạy học vectơ trong không gian, cần chú ý những điều sau: + Cho học sinh làm quen với phương pháp sử dụng công cụ vectơ để minh hoạ hay vận dụng những tính chất của nhiều khái niệm trên những hình không quan: tứ diện, hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ,... + Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích một vectơ theo ba vectơ khác không đồng phẳng, đặc biệt là phân tích một vectơ trên một cạnh nào đó của một hình đã cho theo các vectơ trên cách cạnh của hình ấy. + Vận dụng tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phảng, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. + Rèn luyện cho học sinh sử dụng tích có hướng của hai vectơ để giải quyết một số bài toán trong phương pháp toạ độ trong không gian. 2. Nội dung phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian a. Thuận lợi Theo quan điểm: giảm nhẹ chương trình, làm cho chương trình toán phổ thông bớt mang tính hàn lâm, đơn giản hơn nên có nhiều thuận lợi khi thực hiện nội dung này, giáo viên dễ dậy, học sinh không bị yêu cầu quá cao, không cần tìm hiểu quá sâu, chủ yếu là nắm được những khái niệm và quy tắc để làm bài tập. Khi học sinh học về các dạng phương trình đường thẳng, các khái niệm, công thức đơn giản, dễ hiểu, học sinh đã có nền kiến thức ở đại số, ở kiến thức về vectơ. Khi học sinh học phương pháp toạ độ trong không gian, học sinh thấy được mối liên hệ, sự giống và khác nhau giữa phương pháp toạ độ trên mặt phẳng và phương pháp toạ độ trong không gian để từ đó học sinh sẽ tiếp thu bài nhanh hơn. Học sinh thấy rõ được tính ưu việt của phương pháp toạ độ, có thể giải quyết được nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp bằng phương pháp này. b. Khó khăn, sai lầm hay mắc phải - Khi học về phương trình đường thẳng trong phương pháp toạ độ trên mặt phẳng, học sinh hay nhầm lẫn vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng, từ đó dẫn đến áp dụng công thức sai. - Trong chương trình lớp 10 hay lớp 12 phương pháp toạ độ là một phương pháp hoàn toàn mới đối với học sinh nhưng các em lại gặp quá nhiều công thức, dù đơn giản nhưng nhiều nên khó nhớ, hay nhầm lẫn . - Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ, thường hay bị phương pháp cũ như phương pháp tổng hợp, phương pháp tiên đề chi phối. c. Chú ý và kinh nghiệm của bản thân - Để giảm nhẹ lý thuyết, những chứng minh không quá phức tạp hoặc là được bỏ qua, thay bằng những hoạt động kiểm chứng hay những minh hoạ đơn giản. Ví dụ: + ở trong SGK lớp 10 cơ bản: không trình bày phương trình đường phân giác của hai đường thẳng. Còn ở SGK nâng cao lớp 10 thì có đưa ra nhưng dưới hình thức một bài toán gợi động cơ để học snh tự tìm ra công thức. + Đối với phương trình đường elip, SGK cơ bản chỉ đưa ra khái niệm đơn giản qua phép co theo một trục, không đưa ra khái niệm Hypebol và Parabol nhằm mục tiêu giới thiệu cho học sinh về những hình trong thực tiễn, song không tìm hiểu sâu vào chúng. Còn SGK nâng cao thì cũng đưa ra dưới hình thức một bài toán gồm nhiều câu hỏi vấn đáp, gợi động cơ để học sinh tự tìm ra phương trình chính tắc của elip. - Khi dạy học nội dung này cần chú trọng cả hai kỹ năng “đọc” và “viết” phương trình. Ví du: Trong mặt phẳng, đường thẳng d có phương trình: 2x - 1 = 0 là đường thẳng song song với Oy, có vectơ pháp tuyến là , vectơ chỉ phương Trong không gian: đường thẳng d có phương trình: 2x - y + z = 0 là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ và có vectơ pháp tuyến: . Ngược lại, khi biết được một số yếu tố xác định của một đường thẳng thì cũng có thể viết được phương trình đường thẳng đó. Kỹ năng viết phương trình còn được biểu hiện ở kỹ năng chuyển đổi giữa các dạng phương trình: từ tổng quát sang tham số hay chính tắc hay ngược lại. - Khi dạy học, giáo viên cần phải chú trọng cả phương pháp tiêu đề và phương pháp toạ độ. Giáo viên có thể đưa ra những bài toán có thể giải bằng hai cách: phương pháp tiên đề và phương pháp toạ độ. - Giáo viên giúp học sinh thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ, cho học sinh thấy được có thể chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số (đại số hoá hình học) hay một bài toán đại số cũng có thể giải theo phương pháp hình học (hình hoá đại số): VD1: Giải hệ phương trình : Giải: Xét f(x,y,z) = x + y + z . Đặt: Từ: Đẳng thức xảy ra khi cùng phương (4) Thế (4) vào (3) ta được: 3x2 = 3 Û x3 = 1 Û x = 1 ị x = y = z = 1 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm: (x,y,z) = (1,1,1) VD2: Cho x, y, z là 3 số tuỳ ý, chứng minh rằng: Gải: Đặt: Vì: (*) Từ đó ta đặt: thay vào (*) ta có: kết luận Cùng với phương pháp tiên đề, phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ đã tạo ra những công cụ mới để nghiên cứu hình học. Đối với học sinh phổ thông như vậy có thêm công cụ mới để giải các bài tập hình học đặc biệt là các bài tập hinh học không gian và các phương pháp đó bổ xung và hỗ trợ cho nhau. Nội dung của báo cáo này mới chỉ đề cập đến một phần nhỏ của toàn bộ phần kiến thức: vectơ, phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian. Bản thân em chỉ là một giáo viên ra trường chưa lâu, kinh nghiệm chưa có nhiều, đặc biệt là chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy sách giáo khoa mới, theo phương pháp mới, chính vì thế nên báo cao này chưa được đầy đủ và sâu sắc, mong thầy giáo xem xét và chỉ bảo. Em xin chân thành cảm ơn.