Bất đẳng thức Cauchy - Lê Thanh Bình – Trường THPT Tĩnh Gia

bất đẳng thức cauchy A.Bất đẳng thức Cauchy 1.Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm : Cho Khi đó Đẳng thức xảy ra Chứng minh: Cách1: (Phương pháp biến đổi tương đương) Bđt hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra . C I B A H O Cách 2: (Phương pháp hình học) + Nếu a =0 hoặc b=0 thì Bđt hiển nhiên đúng. + Nếu a>0 và b>0 thì ta đặt: HA=a, HB = b ( Hình vẽ ) Đẳng thức xảy ra 2.Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho Khi đó Đẳng thức xảy ra Chứng minh: áp dụng Bđt Cauchy cho 2 số không âm, ta có 3.Bất đẳng thức Cauchy tổng quát Cho .Khi đó Đẳng thức xảy ra Chứng minh: Cách 1: (Phương pháp quy nạp) Ta có Bđt đúng với n=2.(Bđt Cauchy cho hai số không âm !) Giả sử Bđt đúng với n=k , Ta chứng minh Bđt đúng với n=k+1. Thật vậy: Không mất tổng quát ,giả sử Theo giả thiết quy nạp ,ta có : Vậy Bđt đúng với . Cách 2: (Phương pháp hàm số ) Đặt Xét hàm số đồng biến trên . đồng biến trên . . Dấu = xảy ra Cách 3 : (Phương pháp hàm lồi -Bất đẳng thức Jensen) a. Nếu thì Bđt hiển nhiên đúng. b. Nếu ,Xét hàm số là hàm lồi trên . . Đẳng thức xảy ra . Cách 4: (Polya) Đặt . Bđt Cauchy a)Nếu thì ,khi đó dấu “=” trong xảy ra. b)Nếu tồn tại ít nhất một số bé hơn A thì sẽ tồn tại ít nhất một số lớn hơn A. Do vai trò bình đẳng,ta có thể giả sử . Khi đó thay bởi thay bởi Như vậy trong có thêm một thừa số bằng A . Nếu trong vẫn còn thừa số khác A ,thì ta lại tiếp tục thay thế như trên. Sau tối đa n-2 lần ta sẽ đổi được mọi thừa số thành A . Khi đó ta có : . Vậy Bđt Cauchy đã được chứng minh. Cách 5: (Sử dụng Bđt Bernoulli) Nếu thì Bđt Cauchy hiển nhiên đúng . Do đó ta chỉ cần xét Đặt . Từ Bđt Bernoulli đặt 1+a=t ta được (1) áp dụng (1) với Ta được . . Bđt Cauchy được chứng minh. Cách 6: Đặt Sử dụng Bđt , Đẳng thức xảy ra . Ta có: . Đẳng thức xảy ra . Cách 7: (Cách chứng minh của Kong-Ming-Chong @ Malaysia ) Đặt .Bđt Cauchy (1) *) Nếu thì (1) đúng và xảy ra đẳng thức. *) Nếu không đồng thời bằng nhau ,ta sẽ chứng minh (2) Với n=2 ,Bđt (2) hiển nhiên đúng. Giả sử (2) đúng với n=k ( ). Ta c/m (2) đúng với n=k+1 . Thật vậy : Giả sử không đồng thời bằng nhau và . Giả sử (Nếu cần có thể đánh lại thứ tự ) . Xét k số không âm ta có Theo giả thiết quy nạp ta có (Đpcm). Cách 8: Đặt .Khi đó Bđt Cauchy trở thành . +) Với n=2 ,Bđt đúng. +) Giả sử Bđt đúng với n=k , ta c/m Bđt đúng với n=k+1. Thật vậy Ta có Mặt khác (Đpcm). Cách 9: Ta c/m Bđt : (1) Thật vậy (*) Đặt Do đó , từ (*) suy ra (Đpcm) áp dụng (1) ta có