Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến I/ Phương pháp biến đổi tương đương Ví dụ 1. Cho ab ≥1. Chứng minh: Giải: Đpcm (đúng) Bài tập áp dụng: Cho a, b, c ≥1. Chứng minh Cho a, b, c, d, e ≥1. Chứng minh Cho Chứng minh Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dương. Chứng minh: (am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n) ambn + anbm ≤ am+n + bm+n Giải: Cả hai BĐT trên cùng tương đương với BĐT : (an-bn)(am-bm) ≥0 (đúng) Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dương. Chứng minh: (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6) với mọi n nguyên dương với abc =1 Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + ca Giải: Đpcm tương đương với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đúng). Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dương chứng minh: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Bài tập tự luyện Cho a≥b>0, c≥ . Chứng minh: Cho a, b, c dương. Chứng minh: a) b) II. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1. CMR: với mọi x1,x2,…,xn dương Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta được Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x1= x2 =…= xn. Bài tập áp dụng: Với mọi a,b,c dương, chứng minh: Với mọi tam giác ABC, chứng minh: Chú ý: Ta xem ví dụ 1 như một kết quả được áp dụng cho các ví dụ ở phần sau. Ví dụ 2: Cho a, b, c dương. Chứng minh: 1) 2) Giải: 1) Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên. 2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta được Đpcm. Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể sử dụng kết quả của BĐT 1). Bài tập áp dụng : 1) Với mọi a, b, c dương chứng minh: 2) Cho a, b, c dương và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3) Với mọi tam giác ABC chứng minh Ví dụ 3: Với mọi a, b, x, y dương chứng minh Với mọi a, b, c, x, y, z dương chứng minh Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: Cho x, y,z dương và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 4 : Cho x, y, z dương và Chứng minh Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có: Ta cũng có thêm 2BĐT tương tự như thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu gọn ta được Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương và Chứng minh Ví dụ 5 : Cho x, y dương, . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5. Ví dụ 6 : Cho x, y, z dương và x+y+z = 1. Tìm min của Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dương và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 7 : Cho x,y,z dương và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tương tự như vậy. Công các BĐT đó lại ta được . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minA = 6. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dương và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của Cho x, y, z dương và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 8 : Cho x, y, z dương. Chứng minh: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta được Đpcm Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dương và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của Cho x, y, z dương và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh : Ví dụ 9 : Cho x, y, z dương và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Ta cũng có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng các phân thức đó lại ta được A≤3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 10 : Cho x, y dương và Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy Bài tập áp dụng : Cho x, y dương và x + y ≥ 4. Chứng minh: Ví dụ 11 : Cho x, y, z dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Cách 1 : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Cách 2: Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?! Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y dương và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất Ví dụ 12 : Cho x, y, z dương và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24 Bài tập áp dụng Cho x, y , z dương và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh: Giải: Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tương tự như vậy. Cộng các BĐT đó lại ta được Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh 1) 2) Ví dụ 14 : Cho x, y , z dương tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Mặt khác : . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy Lời bình: Còn có thể tìm được 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi. Mời bạn thử sức! Ví dụ 15: Cho a, b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2+abc = 4. Chứng minh rằng a+ b + c ≤ 3. Giải: Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện. Một trong những phương pháp xử lí những bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu. Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 như phương trình bậc hai theo a, ta được Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta có đánh giá Từ đó Cách 2: Đặt , ta có 4 = a2+ b2 + c2+ abc = a2 + 2t2 + at2+(b2+ c2- 2t2) + a(bc - t2) = Từ đây suy ra sẽ có đánh giá Cách 3 : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 ta suy ra . Từ đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 – a, 2 – b, 2 – c ta có Từ đó suy ra Cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn. Khi đó, tính c theo a, b, ta được Vậy c = 2cos C với . Như thế điều kiện a2 + b2 + c2 +abc = 4 đã được tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác: Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dương và x2+ y2 + z2 + 2xyz = 1. Chứng minh