Bình phương của một số hữu tỷ

BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ Bài 1: Cho các số hữu tỷ p, q, r thoả mãn pq + qr + rp = 1. Chứng minh (1 + p2)(1 + q2)(1 +r2) là bình phương một số hữu tỷ. HD: 1+p2 = (p+q)(p+r)... Bài 2 (HSG Liên xô 1988,TS chuyên Thái Nguyên 1997):: Cho các số hữu tỷ x, y thoả mãn: x5 + y5 = 2x2y2. Chứng minh 1 –xy là bình phương của một số hữu tỷ. H­íng dÉn gi¶i: *Víi x = 0 hoÆc y = 0 ta cã 1 – xy = 12 (®pcm) * Víi x ≠ 0, y ≠ 0, x,y Î Q ta cã c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: B×nh ph­¬ng hai vÕ ®¼ng thøc (1) ta ®ược: Þ (®pcm) C¸ch 2: B×nh ph­¬ng hai lÇn (1) Þ Þ (®pcm) C¸ch 3: Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho x4 ta ®îc (Nh©n c¶ hai vÕ víi y) (®pcm) C¸ch 4: (1) (2) mÆt kh¸c ta l¹i cã (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: X2 – 2X + xy = 0 ∆’ = 1 - xy lµ b×nh phư¬ng cña mét sè h÷u tû C¸ch 5: (1) C¸ch 6: §Æt x = ky thay vµo (1) vµ biÕn ®æi ®ång nhÊt Þ ®pcm. Bài 3 (TS chuyên Thái Nguyên 2007): Cho c¸c sè h÷u tû d­¬ng x vµ y tháa m·n: x3 + y3 = 2x2y2, chøng minh: còng lµ sè h÷u tû. Chứng minh :(gt) vì x, y Q+.