Bộ đề thi học sinh giỏi Toán 7

Đề số 1 Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: Tìm giá trị biểu thức: M= Câu2: (1 điểm) . Cho S =. Chứng minh rằng S không phải là số chính phương. Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M. Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. a. Chứng minh rằng: b. Biết và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C. Câu 5: (1,5điểm). Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200. Câu 6: (1,5điểm). Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6… 11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó. ------------------------------------ Hết ---------------------------------------------- Đề số 2. Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,ữ5x-3ữ 4 c, ữ4- xữ +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =ữxữ +ữ8 -xữ Câu 4: Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202 Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD ------------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ Đề số 3 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: . Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = . Câu 3. (2đ). Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó. a). A = . b). A = . Câu 4. (2đ). Tìm x, biết: a) = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 Câu 5. (3đ). Cho r ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E ẻ BC, BH^ AE, CK ^ AE, (H,K ẻ AE). Chứng minh r MHK vuông cân. -------------------------------- Hết ------------------------------------ Đề số 4 Thời gian làm bài : 120 phút. Câu 1 : ( 3 điểm). 1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một số tự nhiên. Tìm a ? 2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( a,b,c ,dạ 0, aạb, cạd) ta suy ra được các tỉ lệ thức: a) . b) . Câu 2: ( 1 điểm). Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a<b<c<d. Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ. a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C. b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy. x A B y C Câu 5: (2 điểm) Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ Đề số 5 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(2đ): a) Tính: A = 1 + b) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1 Câu 2 (2đ): a) Tìm x biết: 3x - = 2 b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50. Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Câu 5(1đ): Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + = ---------------------------------------------------Hết---------------------------------------------- Đề số 6 Thời gian làm bài: 120’. Câu 1: Tính : a) A = . b) B = 1+ Câu 2: a) So sánh: và . b) Chứng minh rằng: . Câu 3: Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 Câu 4 Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = ------------------------------------------ hết --------------------------------------------- Đề số 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1,5 đ)Tìm x biết: a, ++++=0 b, Câu2:(3 điểm) a, Tính tổng: b, CMR: c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10 Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào? Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góchai đường phân giác AP và CQ của tam giác cắt nhau tại I. a, Tính góc AIC Đề số 8 Thời gian : 120’ Câu 1 : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết : a) = - 243 . b) c) x - 2 = 0 (x) Câu 2 : (3đ) a, Tìm số nguyên x và y biết : b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A = (x) Câu 3 : (1đ) Tìm x biết : 2. - 2x = 14 Câu 4 : (3đ) a, Cho ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào . b, Cho ABC cân tại A và  < 900 . Kẻ BD vuông góc với AC . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh : 1) DE // BC 2) CE vuông góc với AB . Đề số 9 Bài1( 3 điểm) a, Tính: A = b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm). Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2. Bài 3: (2 điểm). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang. Bài 4: ( 3 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của tam giác , biết EC – EA = AB. -------------------------------------------- hết ------------------------------------------- số 10 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1(2 điểm). Cho a.Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối. b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2 ( 2 điểm) a.Chứng minh rằng : . b.Tìm số nguyên a để : là số nguyên. Bài 3(2,5 điểm). Tìm n là số tự nhiên để : Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM + ON = m không đổi. Chứng minh : Đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định. Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai sao cho : . áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 + … + n. ------------------------------------ Hết -------------------------------- Đề số 11 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Rút gọn A= Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Câu 3: (1,5đ) Chứng minh rằng là một số tự nhiên. Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC. Chứng minh rằng: a, K là trung điểm của AC. b, BH = c, đều Câu 5 (1,5 đ) Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. --------------------------------- Hết -------------------------------------- Đề số 12 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (2đ) Tìm x, biết: a) b) c) d) Câu 2: (2đ) a) Tính tổng S = 1+52+ 54+...+ 5200 b) So sánh 230 + 330 + 430 và 3.2410 Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B bằng 600. Hai tia phân giác AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Tính góc AIC b) Chứng minh IM = IN Câu 4: (3đ) Cho M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và Ac của tam giác ABC. Các đường phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN lần lượt tại D và E các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh: a) BD b) B là trung điểm của PQ c) AB = DE Câu 5: (1đ) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó. -------------------------------------- Hết ---------------------------------------- Đề số 13 Thời gian : 120’ Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biết: a. - x = 15. b. - x > 1. c. 5. Câu2: ( 2 điểm) a. Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chứng minh rằng: A chia hết cho 43. b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho 9 là: m, n chia hết cho 3. Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5. Câu 4: ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A. D là một điểm nằm trong tam giác, biết > . Chứng minh rằng: DB < DC. Câu 5: ( 1 điểm ) Tìm GTLN của biểu thức: A = - . -------------------------------------- Hết --------------------------------- Đề số 14 Thời gian : 120’ Câu 1 (2 điểm): Tìm x, biết : a. +5x = 4x-10 b. 3+ > 13 Câu 2: (3 điểm ) a. Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỷ lệ với 1, 2, 3. b. Chứng minh rằng: Tổng A=7 +72+73+74+...+74n chia hết cho 400 (nN). Câu 3 : (1điểm )cho hình vẽ , biết ++ = 1800 chứng minh Ax// By. A x C B y Câu 4 (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có =1000. Kẻ phân giác trong của góc CAB cắt AB tại D. Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu 5 (1 điểm ) Tính tổng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004. ------------------------------------ Hết ---------------------------------- Đề số 15 Bài 1: (2,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC. Gọi H, G,O lần lượt là trực tâm , trọng tâm và giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác. Chứng minh rằng: a. AH bằng 2 lần khoảng cách từ O đến BC b. Ba điểm H,G,O thẳng hàng và GH = 2 GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. Đề 16 Câu 1(3đ): Chứng minh rằng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 Câu 2(3đ): Tìm x, biết: a. ; b. Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Các đường trung trực của tam giác gặp nhau tai 0. Các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Gọi I, K, R theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. a) C/m H0 và IM cắt nhau tại Q là trung điểm của mỗi đoạn. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) Hãy suy ra các kết quả tương tự như kết quả ở câu b. Câu 4(1đ): Tìm giá trị của x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn nhất. Đề 17 Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = a) Tính giá trị của A tại x = b) Tìm giá trị của x để A = - 1c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2. (3đ)a) Tìm x biết: b) Tính tổng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho đa thức: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm Bài 3.(1đ Hỏi tam giác ABC là tam giác gì biết rằng các góc của tam giác tỉ lệ với 1, 2,3. Bài 4.(3đ) Cho tam giác ABC có góc B bằng 600. Hai tia phân giác AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I.a) Tính góc AIC b) Chứng minh IM = IN Bài 5. (1đ) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. ---------------------------------------- Hết -------------------------------------- Đề 18 Thời gian: 120 phút Câu 1: 1.Tính: a. b. 2. Rút gọn: A = 3. Biểu diễn số thập phân dưới dạng phân số và ngược lại: a. b. c. 0, (21) d. 0,5(16) Câu 2: Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở được 912 m3 đất. Trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm được 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1 và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối. Câu 3: a.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = b.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) và éC = 800. Trong tam giác sao cho và .Tính . Câu 5: Chứng minh rằng : nếu (a,b) = 1 thì (a2,a+b) = 1. ------------------------------------- Hết -------------------------------------- Đề19 Thời gian: 120 phút. Câu I: (2đ) 1) Cho và 5a - 3b - 4 c = 46 . Xác định a, b, c 2) Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh : . Với điều kiện mẫu thức xác định. Câu II : Tính : (2đ) 1) A = 2) B = Câu III : (1,5 đ) Đổi thành phân số các số thập phân sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). Câu IV : (1.5đ) Xác định các đa thức bậc 3 biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 Câu V : (3đ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE . Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của BC; BD;CE . a. Chứng minh : BE = CD và BE ^ với CD b. Chứng minh tam giác MNP vuông cân ---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------- Đề 20 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (1,5đ): Thực hiện phép tính: a) A = b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bài 2 (1,5đ): a) So sánh: 230 + 330 + 430 và 3.2410 b) So sánh: 4 + và + Bài 3 (2đ): Ba máy xay xay được 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3:4:5, số giờ làm việc của các máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất các máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc. Bài 4 (1đ): Tìm x, y biết: a) Ê 3 b) Bài 5 ( 3đ): Cho ABC có các góc nhỏ hơn 1200. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) b) Bài 6 (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với mọi x thuộc R. Biết rằng với mọi x ta đều có: . Tính f(2). ---------------------------------------- Hết ------------------------------------------ Đề 21 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2đ) Tìm x, y, z Z, biết a. = 3 - x b. c. 2x = 3y; 5x = 7z và 3x - 7y + 5z = 30 Câu 2 (2đ) a. Cho A =. Hãy so sánh A với b. Cho B = . Tìm x Z để B có giá trị là một số nguyên dương Câu 3 (2đ) Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đườngAB và người đó khởi hành lúc mấy giờ? Câu 4 (3đ) Cho có > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối c với D. a. Chứng minh b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN c. Chứng minh AIB d. Tìm điều kiện của để Câu 5 (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . Khi đó x nhận giá trị nguyên nào? ----------------------------- Hết --------------------------------------- Đề 22 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,5đ) a. Tìm x biết : +5x = 9 b. Thực hiện phép tính : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) :; c. So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 và B = 2101 . Bài 2 :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8. Bài 3 :(2đ) Cho biểu thức A = . a. Tính giá trị của A tại x = và x = . b. Tìm giá trị của x để A =5. Bài 4 :(3đ) Cho tam giác ABC vuông tại C. Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC ở E, cắt BC tại D. Từ D, E hạ đường vuông góc xuống AB cắt AB ở M và N. Tính góc ? Bài 5 : (1đ) Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x2 – 8x +5 . Có giá trị lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất đó ? ------------------------ Hết ------------------------- Đề 23 Thời gian: 120 phút Câu 1: (3đ) a. Tính A = b. Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chứng minh với mọi n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10 Câu 2: ((3đ) a. 130 học sinh thuộc 3 lớp 7A, 7B, 7C của một trường cùng tham gia trồng cây. Mỗi học sinh của lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng được 2cây, 3 cây, 4 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây? Biết số cây trồng được của 3 lớp bằng nhau. b. Chứng minh rằng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) là một số nguyên Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên Tia của tia BC lấy điểm E sao cho BD=BE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh: a. DM= ED b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC. ------------------------------------------------- Hết ---------------------------------------------- Đề 24 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2 điểm). Rút gọn biểu thức a. b. c. Câu 2: Tìm x biết: a. - x = 7 b. - 4x < 9 Câu 3: (2đ) Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỷ lệ với 3 số 1; 2; 3. Câu 4: (3,5đ). Cho D ABC, trên cạnh AB lấy các điểm D và E. Sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC. ----------------------------------------- Hết ------------------------------------------ Đề 25 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(1điểm) Hãy so sánh A và B, biết: A=. Bài 2:(2điểm) Thực hiện phép tính: A= Bài 3:(2điểm) Tìm các số x, y nguyên biết rằng: Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC có. Gọi K là điểm trong tam giác sao cho a. Chứng minh BA = BK. b. Tính số đo góc BAK. --------------------------------- Hết ---------------------------------- Đề thi 26 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Với mọi số tự nhiên n 2 hãy so sánh: a. A= với 1 . b. B = với 1/2 Câu 2: Tìm phần nguyên của , với Câu 3: Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lượt độ dài hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5: 7 : 8. Câu 4: Cho góc xoy , trên hai cạnh ox và oy lần lượt lấy các điểm A và B để cho AB có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c và là các số hữu tỉ. -------------------------------------------------------------- Phần 2: Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải đề số 1. Câu 1: Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được: = +, Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4 +, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). Vì 0 S không thể là số chính phương. Câu 3: A M B Quãng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là S1, S2. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó (t chính là thời gian cần tìm). t= Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M. Câu 4: a, Tia CO cắt AB tại D. A B C D O +, Xét BOD có là góc ngoài nên = +, Xét ADC có góc D1 là góc ngoài nên Vậy =+ b, Nếu thì = Xét BOC có: tia CO là tia phân giác của góc C. Câu 5: Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho. Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 3600 do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 3600 : 18 = 200, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200. Câu 6: Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6. Như vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7% ------------------------------------------------------------------- Đáp án đề số 2 Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc +, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0 +,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36 +, Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nên b=2; b=-2 -, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2 Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu 2. (3đ) a.(1đ) ụ5x-3ụ -2<5x-3<2 (0,5đ) … 1/5<x<1 (0,5đ) b.(1đ) ụ3x+1ụ>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1 *Nếu 3x+1 x<-5/3 Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ) c. (1đ) ụ4-xụ+2x=3 (1) * 4-x³0 => xÊ4 (0,25đ) (1)4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) *4-x x>4 (0,25đ) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3. (1đ) áp dụng ụa+bụ Êụaụ+ụbụTa có A=ụxụ+ụ8-xụ³ụx+8-xụ=8 MinA =8 x(8-x) ³0 (0,25đ) *=>0ÊxÊ8 (0,25đ) *=> không thoã mãn(0,25đ) Vậy minA=8 khi 0ÊxÊ8(0,25đ) Câu4. Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+...+ (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+...+22.102 =22(12+22+...+102) =22.385=1540(0,5đ) A B M C D E Câu5.(3đ) Chứng minh: a (1,5đ) Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) ---------------------------------------------------------------- Đáp án đề số 3 Câu 1. Ta có (1) Ta lại có (2) Từ (1) và(2) => . Câu 2. A = .= . Nếu a+b+c ạ 0 => A = . Nếu a+b+c = 0 => A = -1. Câu 3. a). A = 1 + để A ẻ Z thì x- 2 là ước của 5. => x – 2 = (± 1; ±5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 b) A = - 2 để A ẻ Z thì x+ 3 là ước của 7. => x + 3 = (± 1; ±7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . Câu 4. a). x = 8 hoặc - 2 b). x = 7 hoặc - 11 c). x = 2. Câu 5. ( Tự vẽ hình) r MHK là r ƒcân tại M . Thật vậy: r ACK = r BAH. (gcg) => AK = BH . r AMK = r BMH (g.c.g) => MK = MH. Vậy: r MHK cân tại M . -------------------------------------------------------------------- Đáp án đề số 4 Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, 12, a. Ta có: 4x = 12y = az = 2S ị x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nên (0,5 điểm) ị 3, a , 6 Do a ẻ N nên a=4 hoặc a= 5. (0,5 điểm) 2. a. Từ ị (0,75 điểm) b. ị (0,75 điểm) Câu 2: Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm. Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp: + Có 1 số âm: x2 – 10 < x2 – 7 ị x2 – 10 < 0 < x2 – 7 ị 7< x2 < 10 ị x2 =9 ( do x ẻ Z ) ị x = ± 3. ( 0,5 điểm) + có 3 số âm; 1 số dương. x2 – 4< 0< x2 – 1 ị 1 < x2 < 4 do xẻ Z nên không tồn tại x. Vậy x = ± 3 (0,5 điểm) Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = |x-a| + | x-b| với a<b. Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm) Với A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| = [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|] Ta có : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a khi a[x[d Min [|x-c| + | x-b|] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 điểm) Vậy A min = d-a + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 điểm) Câu 4: ( 2 điểm) A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC ị Bm // Cy (0, 5 điểm) Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC ị ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm) b. Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A ị Ax// Bm (1) CBm = C ị Cy // Bm(2) Từ (1) và (2) ị Ax // By Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ị CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm) Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm) Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm). --------------------------------------------------------------- Hướng dẫn chấm đề số 5: Câu 1(2đ): a) A = 2 - (1đ ) b) (0,5đ ) n + 1 -1 1 -5 5 n -2 0 -6 4 (0,5đ ) Câu 2(2đ): a) Nếu x thì : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( thảo mãn ) (0,5đ) Nếu x x = 1/5 ( loại ) (0,5đ) Vậy: x = 3 b) => và 2x + 3y - z = 50 (0,5đ) => x = 11, y = 17, z = 23. (0,5đ) Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = và a : b : c = (1đ) => (1đ) Câu 4(3đ): Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ ) => DF = BD = CE (0,5đ ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1đ ) => góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ) Câu 5(1đ): => => (x ; y ) cần tìm là ( 0