Bồi dưỡng Đại số 8 - Chương 1 nhân chia đa thức

Bồi dưỡng đại số 8 Chương 1 Nhân chia đa thức A. Nhân đơn thức và đa thức I. Kiến thức cần nhớ. 1. ĐN đa thức bậc N của biến số x, hệ số, biến; f(a) Hạng tử cao nhất, hệ số cao nhất. 2. ĐN 2 đa thức biến x bằng nhau, ĐK bằng nhau. 3. Quy tắc nhân đơn thức vớ đa thức, chú ý về sử dụng hạng tử của tích 4. Quy tắc nhân đa thức với đơn thức. 5. Nhân 2 đa thức đã sắp xếp: + Cách trình bày + Các chú ý 6. Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng. 7. Chú ý về dấu từng đơn thức. II. Bài tập: Nhân đơn thức và đa thức. 1. Tính: ĐS: 1. Tính. A = Hướng dẫn Lưu ý: Nếu có hiện tượng lặp đi lặp lại có thể dùng chữ thay số rút gọn rồi mới thay vào tính (Có thể thay 117, 119 bởi các số khác). 2. Tính B = 20012001 . 200220022002 - 20022002 . 200120012001 Hướng dẫn B = 2001 . 10001 . 2002 . 100010001 - 2002 . 10001 . 2001 . 100010001 = 0 2. Tính B = 2005200520052005 . 20012001 – 2001200120012001 . 20052005 (ĐS: B = 0) 3. Tính A = x5 - 5x4 + 5x3 + 5x - 1 với x = 4 Hướng dẫn C1: A = (x - 4)x4 - x3 (x - 4) + x2 (x - 4) + (x - 4) + 3 = 3 (Do x = 4) C2: Thay 5 = x + 1 C3: A = 45 - 5.44 + 5.43 - 5.42 + 5.4 - 1 = 45 - (4 - 1). 44 + (4 + 1). 43 - (4 - 1). 42 + (4 - 1). 4 - 1 = 45 - 45 + 44 - 44 + 4 3 - 43 3. Tính C = x4 - 17x3 + 172 - 17x + 20 với x = 16 (ĐS : C = 4) 4. Xây dựng quy tắc nhân nhẩm 2 số có 2 chữ số trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, các chữ số hàng ĐV có tổng là 10. Hướng dẫn ab . ac = (10a + b) (10a + c) = 100a (a + 1) bc Quy tắc: Nhân số hàng chục với số liến sau nó rồi viết vào sau tích trên tích 2 chữ số hàng ĐV (bằng 2 chữ số). 4. C/m (100 + a) (100 + b) = (100 + a + b) x 100 + ab Từ đó rút ra quy tắc nhân nhẩm 2 số lớn (nhỏ) hơn 100 một chút 10 ) Hướng dẫn Lấy số này cộng (trừ) phần hơn (phần bù) của số kia rồi viết tiếp vào bên phải tích 2 phần hơn (phần bù) bằng 2 chữ số. VD: A = - 2x2 + 3x + 5 ; B = x2 - x + 3 a. Tính A, B. b. Tính A, B, A. B khi = 3 Hướng dẫn A.B = 2x4 + 5x3 - 4x2 + 4x + 15 = 3 Û x2 = 9 thay vào A, B rồi tính A, B. 6. Cho P(x) = x3 - 2ax + a Q(x) = x2 + (3a + 1) x + a Tìm a để (P(1) = Q(3) ĐS: a = - 1 7. Rút gọn: A = 2,5 . 5 n - 3 . 10 + 5n - 6.5n - 1 ĐS: A = 0 5. Rút gọn: A = 104 + 1 - 6.10n ; B = 90.10k - 10k + 2 + 10k + 1 (ĐS: A = 4.10n; B = 0) 8. Tính: B = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + ... + n x n ! Hướng dẫn B = (2 - 1) . 1 ! + (3 - 1) . 2 ! + (4 - 1) . 3! + ... + (n + 1 - 1)n ! = 2 . 1 ! - 1! + 3 .2 ! - 2! + 4 . 3 ! - 3 ! + ... + (n - 1) . n ! - n! = 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + ... + (n + 1) ! - n ! = (n + 1) ! – 1 9. Tính C = (29 + 27 + 1) (223 - 221 + 219 - 217 + 214 - 210 + 29 - 27 + 1) Hướng dẫn 232 + (232 + 232 - 224) (218 - 217 - 217) + (218 - 21 - 217) + (29 + 29 - 210) + 1 = 232 + 1 (Lưu ý: Từ KQ trên đ 232 + 1 là hợp số) 10. C/m (2 + 22 + 23 + ... + 22001) chia hết cho 7 (có thể thay 2001 bởi số chia hết cho 3) Hướng dẫn 2 + 22 + 23 + ... + 22001 = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (21999 + 22000 + 22001) = 7 . (2 + 24 + 27 + ... + 21999) 6. C/m (7 + 72 + 73 + ... + 72000) : 100 (Có thể thay 2000 bởi 4k (k N) Hướng dẫn 7 + 72 + 73 + ... + 72000 = (7 + 72 + 73 + 74) + (75 + 76 + 77 + 78) + ... + (71997 + 71998 + 71999 + 72000) B. Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Các hằng đẳng thức : (a ± b)n an - bn an + bn (n lẻ) (a + b - c)2 (a1 + a2 + ... + an)2 (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (a + c) ( (b + c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) a3 + b3 + c3 + d3 - 3 (abc + abd + acd + bcd) = (a + b + c + d) (a2 + b2 + c2 + d2 - ab - ac - ad - bc - bd - cd) II. Bài tập : * 1. Tìm tổng các hệ số khi khai triển (1 + x - 3x2)2001; (3x - 7)10; (5x - 4)100 (2 - 3x + x2)1969; (2 + 3x + x2)1916 ĐS : f (1) * 2. Biết tỉ số các hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 5 trong khai triển (x + y)n là tìm số hạng thứ 6. Hướng dẫn gt đ . Khi đó số hạng thứ 6 là 3. Tính nhanh : A = 1172 + 166 x 117 + 832 B = 78.28 - (114 - 1) (144 + 1) C = 20002 - 1999 x 2001 D = (502 + 482 + ... + 22) - (492 + 472 + ... + 12) E = (3 + 1) (32 + 1) (34 + 1)... (364 + 1) H = 101 . 10001. 100000001 ... 100... 01. 2n - 1 I = (13,98 . 13200 - 1398 . 32) . 1402 K = 1 + 11 + ... + 11...1 n chữ số Hướng dẫn A = (117 + 83)2 B = 148 - (148 - 1) = 1 C = 20002 - (2000 - 1) (2000 + 1) = 1 D = (502 - 492) + (482 - 472) + ... + (22 - 12) = 99 + 95 + ... + 3 2E = (3 - 1) (3 + 1) (32 + 1)... (364 + 1) = ... = 3128 - 1 →E = G = H = (102 + 1) (104 + 1) ... (102n + 1) = (102 - 1)(102 + 1)(104 - 1)...(102n + 1) = ... = (102 n + 1 - 1) = x 99...9 = 10101...01 2n - 1 C2: H = 11.101.10001... 100...01 = 1111 . 10001 ... = ... 2n - 1 I = (1398 . 132 - 1398 . 32) . 1402 = 1398 . 100 . 1402. = (1400 - 2) (1400 + 2) . 100 = (14002 - 4) . 100 9K = 9 + 99 + ...9...9 = 1 + 10 + 102 + ... + 10n - (n + 1) n = - n + 1 = đ A 1. Tính nhanh: A = 1232 - 76x123 + 382 B = 310x510 - (155 - 1)(155 + 1) C = 20022 - 2000x2004 D = {22 + 42 + 62 + ... + (2n)} {12 + 32 + 52 + ... + (2n - 12)} E = (5 + 1)(52 + 1)(52 + 1)...(532 + 1) 2. So sánh: 2001 . 2003 và 20022 3. So sánh: 2128 và (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)...(264 + 1) 4. Tính x2 + 0,2x + 0,01 với x = 0,9 5. Tính A = x3 + 6x2 + 12x + 24 với x = 98 Hướng dẫn A = (x + 2)3 + 16 2. So sánh: 1994 . 2006 và 1997 . 2003 Hướng dẫn 1994 . 2006 = 20002 - 36 < 20002 - 9 = 1997 . 2003 3. So sánh: (x + y) (x2 + y2) (x4 - y4)...(x64 + y64 ) và x128 - y128 với x = y + 1 Hướng dẫn C1: VT = (x + y).VT = VP C2:Thay x bởi y + 1ị(x + y)(x2 - y2) = (y + 1 + y){y + 1)2 + y2} = {( y + 1) 2 - y}{(y + 1)2 + y2}... 4. Tính A1 = x2 - 6x + 26 với x = 103; A2 = x2 + 6x + 1 với x = 1997. Hướng dẫn A1 = (x - 3)2 + 17 = 10017; A2 = 3999992 5. Tính. B1 = x2 - 3a2 + 3a + 1 với a = 11 B2 = x3 + 3x2 + 3x + 3 với x = 9 Hướng dẫn B = (a - 1)3 + 2 = 1002 6. Cho a - b = 5. Tính A = a (x + 2) + b (b - 2) - 2ab + 37 Hướng dẫn A = (a - b)2 + 2(a - b) + 37 = 52 + 2,5 + 37 = 72 C2: Thay a = b + 5. 6. Cho a - b = 10. Tính B = a2(a + 1) - b2(b - 1) + ab - 3ab (a + b + 1) - 95 Hướng dẫn B = (a - b)3 + (a - b)2 - 95 7.Cho x + y = 2 tính B = 2(x3 + y3) - 3(x - y)2 Hướng dẫn B = 2(x + y)(x2 - xy + y2) - 3x2 - 3y2 + 6xy = 4x2 + 4xy2 - 4xy - 3x2 - 3y2 + 6xy = x2 + y2 + 2xy = (x + y)2 = 4 7. Cho a + b = 1 Tính C = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2). Hướng dẫn C = - (a + b)2 = - 1 8. Tính D = (1,353 + 2,653 + 4,05 . 10,6) (1,352 + 2,652 + 2,7 . 2,65). Hướng dẫn Đặt x = 1,35; y = 2,65 → x + y = 4 8. Tính C = 0,12344 + 1,87664 - 0,12343 . 1,87662 - 0,12342 . 1,87663 + 0,4936 . 7,5064 Hướng dẫn Đặt a = 0,1234; b = 1,8766 thì a + b = 2 và C = a4 + b4 - a3b2 - a2b3 + 16ab = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 4b4 - 4ab(a2 + b2) - a2b2(a + b) - 16ab - 6a2b2 = 16 9. Cho D = xy (3x + 2)(5y + 2) viết D thành hiệu hai bình phương. Hướng dẫn gs D = A2 - B2 = (A - B)(A + B) A + B = 5xy + 2x A + B = 3xy + 2y A = 4xy + x + y A - B = 3xy + 2y A - B = 5xy + 2x B = xy + x - y 10. Cho a + b = S; ab = p biểu diễn theo S, P các BT M = a2 + b2 ; N = a3 + b3 ; P = a4 + b4 Hướng dẫn M = (a + b)2 - 2ab = S2 - 2P N = (a + b)3 - 3ab (a + b) = S3 - 3SP P = (a2 + b2)2 - 2a2b2 = (S2 - 2P)2 - 2P2. = S4 - 4S2P + 2P2. 11. Cho x + y = m; x2 + y2 = n. Tính x3 + y3 theo m, n. Hướng dẫn x + y = m đ x2 + y2 + 2xy = m2 mà x2 + y2 = n x3 + y3 = (x + y) (x2 + y2 - xy) = m * Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 1. Tính a4 + b4 + c4 Hướng dẫn a + b + c = 0 đ a = - (b + c) đ a2 - b2 - c2 = 2bc đ a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2 đ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2. đ 2 (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 = 1 đ a4 + b4 + c4 Cho x2 + 2y + 1 = 0 y2 + 2z + 1 = 0 Tính A = x2000 + y2000 + z2000 z2 + 2x + 1 = 0 (Có thể thay 2000 bởi 2n) Hướng dẫn gt đ (x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + (z2 + 2z + 1) = 0 đ (x2 + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 0 đ x = y = z = - 1. Từ đó A = 3 * Cho xy + x + y = 3 yz + y + z = 8 Tính P = x + y + z (x; y; z > 0) xz + x + z = 15 Hướng dẫn gt đ đ (x + 1)2 (y + 1)2 (z + 1)2 = 4.9.16 đ (x + 1) (y + 1) (z + 1) = 24 9. Cho x; y; z ³ 0 Tính M = x + y2 + j2 ĐS: M = 1 + 02 + 33 = 28 * Trong hằng đẳng thức (x + 1)n lần lượt thay x = 1; 2; ...; n rồi cộng lại Tính : a) S2 = 12 + 22 + ... + n2 b) S3 = 13 + 23 + ... + n3 Hướng dẫn a) C1 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1 33 = (2 + 1)3 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1 (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3.n + 1 đ (n + 1)3 = 3.S2 + 3.S1 + n C2 : Qui nạp b) Tương tự : C4 kí hiệu i ta có : k3 = Ak2 - Ak2 - 1 . áp dụng với k = 1, n rồi cộng lại * a) Cho x + y = 1. Tính x3 + y3 + 3xy b) Cho x + y = a. Tính x3 + y3 + 3axy c) Cho x - y = m. Tính S = x3 - y3 - 3axy Hướng dẫn a) Vì x3 + y3 + ( - 1)3 - 3xy ( - 1) = (x + y - 1) (x2 + y2 + 1 - xy + x + y) = 0 (Do x + y) = 1 nên x3 + y3 + 3xy = 1. C2đ(x + y)3 - 3xy (x + y - 3); C3 đ (x + y) (x2 - xy + y2) + 3xy = 3 (x + y)2; C4 rút x = 1 - y. b) ĐS : a3 c) ĐS : m3 C/m 10002 + 10032 + 10052 + 10062 = 10012 + 10022 + 10042 + 10072 Hướng dẫn VT - VP = (10032 - 10022) + (10052 - 10042) - (10012 - 10002) - (10072 - 10062) = 1003 + 1002 + 1005 + 1004 ± 1001 ± 1000 ± 1007 ± 1006 = 0 → • 10. C/m: 19922 + 19952 + 19972 + 1992 = 19933 + 19942 + 19962 + 19992 Cho (a + b + x + d) (a - b - c + d) = (a - b + c - d) (a + b - c - d). C/m Hướng dẫn C1 : gt đ (a + d)2 - (b + c)2 = (a - d)2 - (b - c)2 đ 4ad = 4bc đ • Cho a + b + c = 2z . C/m 2bc + b2 + c2 - a2 = 4z (z - a) Hướng dẫn VP = 2z (2z - 2a) = VT đ • Cho 10a2 = 10b2 + c2. C/m (7a - 3b + 2c) (7a - 3b - 2c) = (3a - 7b)2 Hướng dẫn VT = (7a - 3b)2 - (2c)2. Thay c2 = 10 (a2 - b2) được VP. 11. Cho a2 = b2 + c2. C/m(5a + 4c - 3b)(5a - 4c - 3b) = (3a - 5b)2 Hướng dẫn Biến đổi VT, thay C2 = a2 - b được VT. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. C/m a = b = c hoặc a + b + c = 0 Hướng dẫn Sử dụng : a3 + b3 + c3 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) + 3abc gt đ (a + b + c) [(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2] = 0 đ •. 12. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 C/m Δ ABC đều. Hướng dẫn gt → (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0 → (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0 →   13. Cho (y - J)2 + (j - x)2 + (x - y)2 = (y + j - 2x)2 + (x + j - 2y)2 + (y + x - 2j)2 C/m: x = y = j Hướng dẫn gt → (x + y)2 + (y - j)2 + (y - x)2 = 0 * Cho x12 + x22 + ... + x19992 thì x1 = x2 = ... x1999 (có thể thay 2001 bởi n) Hướng dẫn C1 : gt đ 1999 (x12 + x22 + ... + x19992) = (x1 + x2 + ... + x1999)2 đ 1998 (x12 + x22 + ... + x19992) - 2x1x2) - 2x1x3 - ... 2x1998 x1999 = 0 đ (x1 - x2)2 + (x1 - x3)2 + ... + (x1998 - x1999)2 = 0 đ x1 = x2 = ... x1999 C2 : Đặt đ x12 + x22 + ... + x19992 - 1999 S2 = x12 + x22 + ... + x19992 - 2.1999 S2 + 1999S2 đ x12 + x22 + ... x19992 - 2 (x1 + x2 + ... + x1999) S + 1999 S2 = 0 đ (x1 - S)2 + (x2 - S)2 + ... + (x1999 - S)2 = 0 đ (x1 = x2 = ... = x1999 ( = S) * Cho x + y + z = 0. C/m 2 (x5 + y5 + z5) = 5xyz (x2 + y2 + z2) Hướng dẫn gt đ y + z = - x đ (y + z)5 = - x5 đ x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2y2z + 2yz2 + z3) = 0 đ y5 + x5 + z5 + 5yz (y + z) (y2 + yz + z2) = 0 đ 2 (y5 + x5 + z5) - 5xyz {y + z)2 + y2 + z2)} = 0 đ 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz (x2 + y2 + z2). C/m xn + yn = an + bn " n ẻ Z + * Cho: x + y = 0 + b x2 + y2 = a2 + b2 Hướng dẫn x + y = a + b đx - a = y - b x2 + y2 = a2 + b2 đ (x - a) - (y - b)(y + b) = 0 đ (x - a)(x - y - a - b) = 0 đ x = a; y = b x = b; y = a đ xn + yn = an + bn " n ẻ Z + * Cho: ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b x + y ạ 1 Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Hướng dẫn gtđ (ax + ay - a) + (bx + by - b) + (cx + cy - c) = 0 đ (x + y - 1)(a + b + c) = 0 đ đ  C/m: a) a (a + 6) + 10 > 0 " a b) 4x2 - 12x + 11 > 0 " a c) x2 - 2x + y2 + 4y + 6 > 0 " x, y. Hướng dẫn Đề ra bình phương đủ. 14. C/m: a) (x - 3)(x - 5) + 4 > 0 " x b) x2 - xy + y2 > 0 " x; y Hướng dẫn Đề ra bình phương đủ. * Cho a, b, c > 0, C/m trong 3 số: x = (a + b + c)2 - 8ab y = (a + b + c)2 - 8ab z = (a + b + c)2 - 8ab Có ít nhất một số dương. Hướng dẫn x + y + z = a2 + b2 + c2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 > 0 * Cho m, n ẻ Z + . C/m: 2m2 + 3n2 > 4mn2 Hướng dẫn + Nếu m n. Đặt m = n + z + C/m VT - VP > 0 Tìm gtm; gtln (nếu có) A = x2 - 4x + 1 B = 3x2 - 6x - 1 C = 5 - 8x - x2 D = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) E = (2x2 + 9y2 - 6xy - 6X - 12y + 2024 G = 2xy - x2 - 4y2 + 2x + 10y - 8 Hướng dẫn A, B, C đề ra bình phương đủ (Amin = - 3 Û x = 2; Bmin = - 4 Û x = 1; Cmax = 4 D = (x2 + 5x)2 - 36 > - 36 E = (x - 3y + 2)2 + (x - 5)2 + 1995 > 1995 G = 5 - (x - y - 1)2 - 3(y - 2)2 < 5 ; Hmax = 5 Û (x; y) = (3; 2) 15. Tìm gtnn; gtln (nếu có) A = 2x2 - 7x + 15 B = 4x2 + 10x - 5 C = 4x - x2 + 1 D = m2 - 4mz + 5z2 + 10m - 22z + 28 Hướng dẫn A,B,C: Đề ra bình phương đủ D = (m - 2z + 5)2 + (z - 1)2 + 2 ≥ 2 C. Phân tích đa thức thành nhân tử I. Kiến thức cần nhớ: 1.ĐN 2. Chú ý 3. Các phương pháp phân tích. - Đặt nhân tử chung – dùng hằng đẳng thức – nhóm nhiều hạng tử. - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ. - Xét giá trị riêng. - Phương pháp hệ số bất định. II. Bài tập: 1. Đặt nhân tử chung – dùng hằng đẳng thức – nhóm nhiều hạng tử. a. Cần nhớ: - Đặt nhân tử chung: Để phương trình đa thức thành nhân tử, trước hết ta xem có nhân tử chung không, nếu có ta đặt nó là nhân tử chung của đa thức nhân tử chung (nếu có) của đa thức gồm: + Hệ số là UCLN của các hệ số trong mọi hạng tử + Các luỹ thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất - Dùng hằng đẳng thức: Nếu 1 đa thức có dạng hằng đẳng thức đáng nhớ thì có thể sử dụng HĐT để PTĐT thành nhân tử (Chú ý vận dụng HĐT cả 2 chiều). - Nếu không sử dụng được 2 phương pháp trên, xem xét có thể nhóm các hạng tử thích hợp vào nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc HĐT (phương pháp nhóm nhiều hạng tử đòi hỏi phải nhóm thích hợp). b. Bài tập: C/m: a, (x + y)3 - x3 - y2 = 3xy (x + y) b, (x + y)7 - x7 - y7 = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2)2 Hướng dẫn C1: Biến đổi VT (Dùng hằng đẳng thức (a + b)n; an + bn) C2: Biến đổi VP Cho: a + b + c = 0. C/m a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ac - bd)(b + d) Hướng dẫn C1: gt → a + c = - (b + d) → (a + c)3 = - (b + d)3 → a3 + c3 + 3ac (a + c) = - [b3 + d3 + 3bd(b + d)] → a3 + b3 + c3 + d3 = - 3ac(a + c) - 3bd(b + d) = 3(ac - bd)(b + b) C2: gt ị a + b(c + d) = 0 ị a3 + b3 + (c + d)3 = 3ab(c + d) ịDpcm C3: áp dụng HĐT: a3 + b3 + c3 + d3 - 3 (abc + abd + acd + bcd) C4: VT = (x3 + t3) + (y3 + d3) = (x + j)(x2 - xj + j2) + (y + t)(y2 - yt + t2) = (y + t)(y2 - yt + t2 - x2 + xj - j2) = (y + t){(y + t)2 - (x + j)2 - 3yt - 3xy = VT C/m a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) = (a - b)(a - c)(b - c) Hướng dẫn VT = a2b - a2c + b2c - b2a + c2(a - b) = ab(a - b) - c(a - b)(a + b) + c2(a - b) = (a - b)(ab - ac - bc + c2) = (a - b){a(b - c) - c(b - c)} = VP Cho x2 - y = a; y2 - z = b; z2 - x = c C/m: x3(z - y2) + y3(x - y2) + z3(y - x2) + xyz (xyz - 1) = abc Hướng dẫn VT = x3z - x3y2 + y3x - y3z2 + z3(y - x2) + x2z2 - xyz = (x2 - xyz) - z3(x2 - y) - (x3y2 - xy3) + (x2y2z2 - y3z2) = xz(x2 - y) - z3(x2 - y) - xy2(x2 - y) + y2z2(x2 - y). = (x2 - y)(xz - z3 - xy2 + y2z2) = (x2 - y)(y2 - z)(y2 - z)(z2 - x) = abc = VP * Phân tích A = (x - y)3 + (y + z)3 + (z - x)3 Hướng dẫn C1: áp dụng HĐT: a3 + b3 + c3 = 3abc + (a + b + c) (a + b2 + c2 - ab - ac - bc) C2 : Khai triển, nhóm làm xuất hiện NTC. ĐS : A = 3 (x - y) (y - z) (z - x) * GPT : xy + 1 = x + y (1) Hướng dẫn (1) n (xy - x) - (y - 1 = 0 n (y - 1) (x - 1) = 0 đ ĐS : (x = 1; y ẻ Q); (x ẻ Q; y = 1) * Cho a + b + c = a3 + b3 + c3 = 0. C/m : a2n + 1 + b2n + 1 + c2n + 1 = 0 Hướng dẫn Vì a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0 nên gt đ a = 0 V b = 0 V c = 0. Từ đó đ • * Phân tích A = [(x - z)2 + (y - t)2] (x2 + y2) - (xt - yz)2 (hay với x; y; z t ẻ z thì A là số chính phương) Hướng dẫn A = [x2 + y2 - 2 (xz + yt) + (z2 + t2)] (x2 + y2) - (xt - yz)2 = (x2 + y2)2 - 2 (xz + yt) (x2 + y2) + (xz + yt)2 = (x2 + y2 - xz - yt)2 * Cho m2 + n2 = x2 + y2 = 1; mx + my = 0. C/m : mn + xy = 0 Hướng dẫn gt đ mn + xy = mn (x2 + y2) + xy (m2 + n2) = (mx + ny) (nx + my) = 0 2. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt cùng một hạng tử. a. Cần nhớ : - Đối với tam thức bậc 2 : Thường dùng 2 cách. + Đề ra bình phương đủ + Cách hạng tử bậc nhất - Đa thức dạng a3k + a3l + 1 + a3k + 2 (k; k; l ẻz) phân tích thành nhân tử có nhân tử a2 + a + 1. - Nên dùng định lí Bơ du (hệ quả) : f(x) : (x - a) n f (a) = 0 để định hướng tách. Chú ý về cách nhẩm nghiệm. + f (1) = 0 + f (- 1) = 0 + Nghiệm hữu tỉ của f (x) (ai ẻ Z) đặc biệt an = 1 đ n0 nguyên + f (a) = 0 (a ẻ Z) b. Bài tập : 1. Phân tích : A = x2 - 7x + 12 B = 9x2 + 6x - 8 C = 2x2 + 3x - 27 D = x2 - x + 1 Hướng dẫn C1 : Tách hạng tử bậc nhất C2: Đề ra bình phương đủ. ĐS : A = (x - 3) (x - 4) ; B = (3x + 4) (3x - 2); C = (x - 3) (2x + 9) 2. Phân tích thành nhân tử : A = x3 + 3x2 - 4 B = x3 - 5x2 + 8x - 4 C = x3 + 7x2 - 6 D = 2x3 - 12x2 + 17x - 2 D = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 F = x4 - 10x2 y + 9y2 G = x (x + 2y)3 - y (2x + y)3 H = x7 - x6 - x5 - x4 - x3 - x2 - x - 2. Hướng dẫn Nhẩm nghiệm, tách, thêm lót. ĐS : A = (x - 1) (x + 2)2 E = (2x - 1) (x2 - 2x + 3) B = (x - 1) (x - 2)2 F = (x2 - y) (x2 - 9y) C = (x + 1) (x2 + 6x - 6) G = (x + y) (x - y)3 D = (x - 2) (2x2 - 8x + 1) H = (x - 2) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) 3. Phân tích : A = a10 + a8 + 1 Hướng dẫn A = (a2 + a + 1) (a2 - a + 1) (a6 - a2 + 1) 4. Phân tích thành nhân tử : A = (1 + x2)2 - 4x (1 - x2) B = (x2 - 8)2 + 36 C = 324 x4 + 1 D = 81x4 + 4; 4x4 + 81 = (2x2 - 6x + 9) (2x2 + 6x + 9) E = y (x - 2z)2 + 8xyz + x (y - 2z)2 - 2z (x + y)2 Hướng dẫn A = (1 - x2)2 - 4x (1 - x2) + 4x2 = (1 - x2 - 2x)2 B = x4 - 16x2 + 100 = (x2 + 10)2 - 36x2 = (x2 + 6x + 10) (x2 - 6x + 10) C = (18x2)2 + 12 + 36x2 - 36x2 = (18x2 + 1)2 - (6x)2 = (18x2 - 6x + 1) (18x2 + 6x + 1) D = 81x4 + 36x2 + 4 - 36x2 = (9x2 + 2)2 - (6x) = (9x2 + 6x + 2) (9x2 - 6x + 2) E = (x + y) (x - 2z) (y - 2z) * Cho x2 = y + x; y2 = z + b; z2 = x + c (a, b, c hằng số) C/m BT : P = x3 (z - y2) + y3 (x - z2) + z3 (y - x2) + xyz (xyz (xyz - 1) không phụ thuộc x; y; z. Hướng dẫn P = x3 (z - y2) + y3 ( x - z2) + z3 (y - x2) + xyz (xyz - 1) = y2z2 (x2 - y) - z3 (x2 - y) - xy2 (x2 - y) + xz (x2 - y) = (x2 - y) (y2z2 - z3 - xy2 + xz) = (x2 - y) [y2(z2 - x) - z (z2 - x)] = (x2 - y) (z2 - x) (y2 - z) = abc đ • * Cho x; y; z > 0; xy + xz + yz = 0; a2 = x2 + xy + y2, b2 = y2 + yz + z2, c2 = x2+ xz + z2 (a; b; c > 0). Hỏi a, b, c có thể là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác được không ? Hướng dẫn (a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) = 2a2 b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - a4 - b4 - c4 (*) a2 = x2 + xy + y2 = (x + y)2 = 2xy = (x + y)2 + xz + yz = (x + y) ( x + y + z) (1) đ a4 = (x + y)2 (x + y + z)2 b4 = (y + z)2 (x + y + z)2 đ a4 + b4 + c4 = 2 (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) (a) c4 = (x + z)2 (x + y + z)2 T2 Từ (1) và T2 đ 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 = 2 (x + y + z)2[(x + y) + (x + z) + (y + z) (x + z) + (y + z) (y + x)] = 2 (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2)(b) (a) ; (b) đ 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 = a4 + b4 + c4 (2) (*) (2) đ (a + b + c) (a + b - c) (b + c - a) (a + c - b) = 0 mà a + b + c > 0 đ a = b + c V b = a + c V c = a + b đ a, b, c không là độ dài 3 cạnh của Δ . * Cho m; n; p là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác C/m A = m4 + n4 + p4 - 2m2 n2 - 2m2 p2 - 2n2 p2 < 0 Hướng dẫn A = (m2 - n2 - p2)2 = (m + n - p) (m - n - p) (m - n + p) (m + n + p) < 0 (áp dụng BĐT tam giác) * Cho a + b + c = abc. C/m : a (b2 - 1) (c2 - 1) + b (a2 - 1) (c2 - 1) + c (a2 - 1) (b2 - 1) = 4abc. Hướng dẫn gt đ VT = a2b2c2 - ab2 - ac2 + a + ba2c2 - ba2 - bc2 + b + ca2b2 - ca2 - cb2 + c = abc (ab + ac + bc) - (ab2 + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2) + (a + b + c) = abc (ab + ac + bc) - ab2 + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2 + abc - 3abc + 3abc) = abc (ab + ac + bc) - [ b (ab + bc + ac) + a (ab + ac + bc) + a(ab + ac + bc) ] + 4abc = (ab + ac + bc) [abc - (a + b + c)] + 4abc = 4abc = VP * Cho ax - by - cz - đt = 0 bx + ay + dz + ct = 0 cx + dy + az + bt = 0 dx - cy + bz + at = 0 Hướng dẫn Bình phương 2 vế mỗi đẳng thức, cộng từng vế được (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = 0 đ • C/m A = x5 + 3x4 y - 5x3y2 - 15x2y3 + 4xy4 + 12y4 ≠ 33 " x; y ẻ Z (0 ≠ y) Hướng dẫn A = (x + 3y) (x - y) (x + y) (x - 2y) (x + 2y) là tích 5 số nguyên "x≠yẻ z mà chỉ là tích của nhiều nhất 4 số nguyên khác nhau đ •. * 1. C/m (x + 5)3 - x5 - y5 = 5xy (x + y) (x2 + xy + y2) 2. Phân tích : A = x2 - 5x - 14 B = 4x2 - 12x - 7 C = 6x2 - 11x + 3; C' = 3x2 - 11x + 6 D = x2 - 6x + 10 Hướng dẫn C1 : Cách hạng tử bậc nhất C2 : Đề ra bình phương đủ ĐS : A = (x - 7) (x + 2); B = (2x - 7) (2x + 1) ; C = (3x - 1) (2x - 3); D không PT được; C' = (3x - 2) (x - 3). 2. Phân tích thành nhân tử : A = x3 - 3x + 2 B = x3 + 3x2 + 6x + 4 C = x3 - 2x - 4 D = 2x3 - 3x2 + 4x + 3 E = 2x4 - x2 - 1 G = x5 - x4 - x3 - x2 - x - 2 Hướng dẫn Tách, thêm bớt (trước hết nhẩm nghiệm) ĐS : A = (x - 1) (x - 2) D = (2x + 1) (x2 - 2x + 3) B = (x + 1) ... E = (2x2 + 1) (x - 1) (x + 1) C = (x - 2) (x2 + 2x + 2) G = (x - 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) 3. Phân tích : A = a5 + a4 + 1 ; B = (3 - x2)2 + 16 Hướng dẫn A = (a2 + a + 1) (a3 - a + 1) ; B = (x2 - 4x + 5) (x2 + 4x + 5) 4. Phân tích : B = 625 x4 + 4 C = 64x4 + 1 ; C' = 4x4 + 16 D = ab (a - b) + bc (b - c) + ca (c - a) Hướng dẫn B = (25x2)2 + 22 + 100x2 - 100x2 = (5x2 + 2)2 - (10x)2 = (5x2 - 10x + 2) (5x2 + 10x + 2) C = (8x2)2 + 12 + 16x2 - 16x2 = (8x2 + 1)2 - (4x)2 = (8x2 - 4x + 1) (8x2 + 4x + 1) ; C' = (2x2 + 4 - 4x) (2x2 + 4 + 4x) D = (a - b) (b - c) (c - a) (Tách a - b = (c - a) + (b - c) ). 5. Cho x + y = 1; x3 + y3 = a; x5 + y5 = b. C/m 9b + 1 = 5a (a + 1) (*) Hướng dẫn (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y) mà x + y = 1; x3 + y3 = a (x + y)5 = x5 + y5 + 5 xy (x3 + y3) - 10x2 y2 (x + y). Kết hợp với gt và (*) 3. Đặt ẩn phụ Phân tích thành nhân tử : A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12; A' = (x2 - x)2 + 4x2 - 4x - 12 B = a4 + a2 + 1 C = x (x + 4) (x + 6) ( x + 10) + 128 D = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 + (c + a - b)3 E = (xy + xz + yz)2 + (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Hướng dẫn a) Đặt x2 + x = y đ A = y2 + 4y - 12 = (y + 6) (y - 2) = (x2 + x + 6) (x + 2) (x - 1) ; A' = (x + 1) (x - 2) (x2 - x + 6) b) B = (a2 + 1)2 - a2 c) C = [ x (x + 10)] [(x + 4) (x + 6)] + 28 = (x2 + 10x) (x2 + 10x + 24) + 28 Đặt y = x2 + 10x + 12. ĐS : C = (x + 2) (x + 8) (x2 + 10x + 8) d) Đặt a + b - c = x; b + c - a = y; c + a - b = z đ x + y + z = a + b + c áp dụng CT : (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3 (x + y) (x + z) ( y + z) ĐS : 6abc e) Đặt x2 + y2 + z2 = a; xy + xz + yz = b thì E = b2 + (a + 2b) a = (a + b)2 ĐS : E = (xy + xz + yz + x2 + y2 + z2)2. 1. Phân tích : a) A = x2 - 2xy + y3 + 3x - 3y – 10 b) B = x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 c) C = (x2 + y2 + z2)3 + 2[xy + yz + xz)3 - 3 (x2 + y2 + z2) (xy + xz + yz)2 Hướng dẫn a) Đặt x - y = z đ ĐS : A = (z + 5) (z - 2) = (x - y + 5) (x - y - 2) b) B = (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) + 1 Đặt y = x2 + 3x + 1 đ B = (y - 1) (y + 1) + 1 = y2 đ B = (n2 + 3x + 1)2 c) Đặt x2 + y2 + z2 = a, xy + xz + yz = b đ C = a3 + 2b3 - 3a2b2 = (a - b) (a2 + ab + b2) + 3b2 ( b - c) = (a - b) [(a - b) ( a + b) + b (a - b)] = (a - b)2 (a + 2b) 4. Xét giá trị riêng a) Cần nhớ : Phương pháp này thường được áp dụng cho các đa thức mà các ẩn có vai trò như nhau. b) Bài tập : 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : A = ab(a - b) + bc (b - c) + ca (c - a) B = a2b2(b - a) + b2c2 (c - b) + a2c2(a - c) C = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b) D = a(b + c) (b2 - c2) + b(c + a) (c2 - a2) + c (a + b) (a2 - b2) E = (x + y + z) (xy + xz + yz) - xyz G = a (b - c)2 + b (c - a)2 + c (a - b)2 - a3 - b3 - c3 + 4abc. Hướng dẫn A = (a - b) (b - c) (c - a) B = (a - b) (b - c) (a - c) (ab + bc + ca) C = 4abc D = (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c) E = (x + y) (y + z) (x + z) G = (a + b - c) (c + a - b) ( b + c - a). Có thể nhóm [a (b - c)2 - a3] + ...