Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8- Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ======================= I/ LÍ THUYẾT: 1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử) 2/ Phương pháp tách hạng tử: a/ Phân tích đa thức ax2 + bx + c ta tách bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac. + Tìm tích ac +Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ + Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac. Ví dụ: Phân tích 3x2 – 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4 ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8) Nên: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 + bx + c = (x + b1)(x + b2) với b1 + b2 = b và b1.b2 = c b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương: Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x + 1) c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a. + Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do (hạng tử không chứa x) + Trường hợp đặc biệt nếu f(x) = anxn + an-1xn-1 + + ax + a * có tổng các hệ số: an + an-n + + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x) * Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x). Ví dụ: 4x3 – 13x2 + 9x – 18 Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau: 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) 3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng: a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương: Ví dụ: x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 36x2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x +9)(2x2 + 6x + 9) b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung: Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = = x(x3 + 1)(x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x(x3 + 1)(x – 1) + 1] = = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1) * Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luôn chứa thừa số x2 + x + 1 4/ Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Phân tích: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt y = x2 +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành : (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = (y – 4)(y + 4) = (x2 +10x + 12 – 4)( x2 +10x + 12 + 4) = (x2 +10x + 8)( x2 +10x + 16) = (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8) 5/ Phương pháp hệ số bất định: Sử dụng khi không tìm được nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ Ví dụ: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 (1) Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì 2 nhân tử phải là bậc 2 và có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: Xét bd = 3 với b,d Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành: => 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2. Vậy đa thức đã cho là: (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) II/ BÀI TẬP: Phân tích thành nhân tử: 1/ a/ a3 + 4a2 – 7a – 10 b/ x3 – 6x2 + 11x – 6 d/ x3 + x2 – x + 2 d/ x3 + 5x2 + 8x + 4 e/ x3 – 9x2 + 6x + 16 f/ x4 – 4x2 – 5 2/ a/ 6x2 – 11x + 3 b/ 2x2 – 5xy – 3y2 c/ 2x2 + 3x – 27 d/ 2x2 – 5xy + 3y2 e/ x3 + 2x – 3 f/ x3 – 7x + 6 g/ x2 + 8x – 20 h/ x3 – x2 – 4 3/ a/ x2 + 7x + 12 b/ x2 + 13x + 36 c/ x2 – 8x + 15 d/ t2 – 9x + 20 e/ x2 + 9x + 8 f/ y2 + 11y + 28 g/ b2 + 5b + 4 h/ 2t + 99 – t2 i/ m2 – 2m – 15 4/ a/ 3x2 – 10x – 8 b/ 2x2 – 7x – 4 c/ 3x2 – x – 4 d/ 5x2 + x – 18 e/ 3x2 – 4x – 15 f/ 6x2 + 23x + 7 5/ a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2 b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 c/ (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 – 10 d/ (2x2 + 3x – 1) – 5(2x2 + 3x + 3) + 24 e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15 f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24 6/ a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 b/ x3 – 6x2 – x + 30 d/ 9x3 – 15x2 – 32x -12 d/ x4 + 2x3 – 16x2 - 2x + 15 e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x - 5 7/ a/ 4x4 – 5x2 + 1 b/ a4 + 4 c/ a4 + a2 + 1 d/ a8 + a4 + 1 e/ x5 + x4 + 1 f/ x4 + 2x3 + 1 g/ x7 + x5 + 1 h/ 2x4 – x2 -1 8/ a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc c/ (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3 d/ x(x2 –z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3 f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 9/ CMR: A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên dương. 10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương. 11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c) 12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c) 13/ Cho đa thức P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6 a/ Phân tích P(x) thành nhân tử b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z 14/ Cho đa thức P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 - 9x + 6 a/ Trong trường hợp x là một số nguyên dương. CMR: P(x) 6 b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0 15/ Cho a + b + c = 1 và a2 + b2 + c2 = 1 a/ Nếu ; CMR xy + yz + zc = 0 b/ Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c. Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT b/ Aùp dụng kết quả câu 8e 16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4(b – c) + b4(c –a) + c4(a –b) luôn khác 0 Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] nên khác 0 17/ Phân tích thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0 Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0