Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

D·y Sè ViÕt theo quy luËt Bài to¸n 1 : TÝnh c¸c tæng sau A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100 Gi¶i : 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi ®ã : 2A – A = 211 – 1 3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi ®ã : 3B – B = 2B = 3101 – 1 . VËy B = Ta nghÜ tíi bµi to¸n tæng qu¸t lµ : TÝnh tæng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 vµ n ∈ Z+ Nh©n 2 vÕ cña S víi a ta cã aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Råi trõ cho S ta ®­îc : aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . VËy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = . Tõ ®ã ta cã c«ng thøc : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) . Bài tËp ¸p dông : Tính các tổng sau: c) Chøng minh r»ng : 1414 – 1 chia hÕt cho 3 d) Chøng minh r»ng : 20092009 – 1 chia hÕt cho 2008 Bµi to¸n 2 : TÝnh c¸c tæng sau A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 Gi¶i : A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh©n hai vÕ cña A víi sè nµo ®Ó khi trõ cho A th× mét lo¹t c¸c lòy thõa bÞ triÖt tiªu ?.Ta thÊy c¸c sè mò liÒn nhau c¸ch nhau 2 ®¬n vÞ nªn ta nh©n hai vÕ víi 32 , råi trõ cho A ta ®­îc : 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . VËy A = ( 3102 – 1): 8 Tõ kÕt qu¶ nµy suy ra 3102 chia hÕt cho 8 2 ) T­¬ng tù nh­ trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72 råi trõ cho B , ta ®­îc : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . VËy B = ( 7101 – 7) : 48 T­¬ng tù nh­ trªn ta còng suy ra 7101 – 7 chia hÕt cho 48 ; 7100- 1 chia hÕt cho 48 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009 B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200 C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399 Tổng quát : Tính * b) , với () c) , với () Bµi tËp kh¸c : Chøng minh r»ng : A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hÕt cho 21 vµ 15 B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hÕt cho 52 C = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hÕt cho 30 vµ 31 Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1 : Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990/3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta cã kết quả tæng qu¸t sau : A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 Lời giải khác : Lời giải 2 : 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Ta có kÕt qu¶ tổng quát : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Bài tËp vËn dông : Tính c¸c tổng sau : P = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992 Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 99.100 Bài toán 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11. Tính giá trị của C. Gi¶i : Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo c¸ch giải 2 của bài toán 2, ta l¹i cã : C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11) = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + 2.82 + 2.102 = 2.( 22 + 42 + 62 + 82 + 102) VËy C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) = 10.11.12/3 .Tõ ®ã ta cã : 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 10.11.12/6 Ta lại có kết quả tổng quát lµ : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Bài tËp ¸p dông : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502. Cho n thuộc N*. Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2. Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n. 3.TÝnh tæng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 999.1000 Bài toán 4 : Chứng minh rằng : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải 1 : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + n 2) + (22 + 42 + 62 + … + (n – 1)2) = n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6 = n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6 = n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( ®pcm) Lêi gi¶i 2 : S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ n² S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)-1] = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ n(n + 1 ) – n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + n ) = - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1) Vậy S = VËy ta cã c«ng thøc tÝnh tæng cña d·y sè chÝnh ph­¬ng b¾t ®Çu tõ 1 lµ : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Bài tËp ¸p dông : Tính giá trị cña c¸c biÓu thøc sau: N = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992 A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 B = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202. Gîi ý: Tách B = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bài toán. Bµi to¸n 5 . TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 = 161 651 Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 3. Trong bµi to¸n 5 ta nh©n A víi 6 Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch k gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö. Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10. Lời giải : Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Häc tËp c¸ch ®ã , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán nh­ sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980. Tõ ®ã ta có kết quả tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ 99.100.101 Bµi to¸n 7 : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong bµi 6 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 7 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch) v× mçi h¹ng tö cña A còng cã 3 thõa sè. Bµi to¸n 8 : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c : A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong mçi sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Bµi tËp áp dụng TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh A = 12 + 42 + 72 + …. +1002. TÝnh B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 Bµi to¸n 9 : TÝnh tæng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ Lêi gi¶i : Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây : với n là số tự nhiên thì ta có n2 – n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n2 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = n[(n2 – n) + ( n – 1)] = n[n(n – 1) + ( n – 1)] = (n – 1)n( n + 1) đpcm ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó tÝnh S Ta có S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ S = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n ) S = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + …+ n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n ) S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n ) S = = = n( n + 1). = n( n + 1 ). Nhận xét V× = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n , nªn ta cã kÕt qu¶ rÊt quan träng sau ®©y : 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n )² Bµi to¸n 10 : TÝnh c¸c tæng sau : a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ b ) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + c ) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + ... + Gi¶i : A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ = 101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + ... + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + ... + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 ) – 10 = 0 – 10 = 00 B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + ... + ) = 9 + 99 + 999 + ... + 9B = 00 ( Theo kÕt qu¶ cña c©u a) VËy B = 00 / 9 c) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + ... + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + ... + ) 9C = 9.4.( 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + ) = 4.( 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ ) = 4.00 = 00 VËy C = 00 / 9 Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau : A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + B = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + C = 5 + 55 + 555 + 5555 + ... + Bµi to¸n 1. TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 §Ó tÝnh A ta biÕn ®æi A ®Ó xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau. Muèn vËy ta cÇn t¸ch mét thõa sè trong mçi h¹ng tö thµnh mét hiÖu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100. (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 A = 33.100.101 = 333 300 2) Mét sè d·y sè dÔ dµng tÝnh ®­îc 1 + 2 + 3 + … + n a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k lµ h»ng sè II) Khai th¸c bµi to¸n 1 Trong bµi to¸n 1 . C¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö h¬n kÐm nhau 1 hay c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ. Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ta cã bµi to¸n 2. Bµi to¸n 2 . TÝnh :A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 = 161 651 Trong bµi to¸n 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 6 (a = 6). Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö. 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay ®æi sè c¸c thõa sè trong tÝch ta cã bµi to¸n 3 Bµi to¸n 3 : TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 4 : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Nh­ vËy ®Ó gi¶i bµi to¸n d¹ng ta nh©n víi 4k (4 lÇn kho¶ng c¸ch) sau ®ã t¸ch 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 5 : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = 3 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Lµm t­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 6 : TÝnh A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 7: TÝnh A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Gi¶i : A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Trong bµi to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a) ((n + a) = n2 - a2 n2 = (n - a)(n + a) + a2 a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè Bµi to¸n 8 TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 9 : TÝnh A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Gi¶i Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n n3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n . Bµi to¸n 10: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99) = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n. ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 6, 7. Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã: Bµi to¸n 11: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o. Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y. *VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau: 1. TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 3 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng I > Ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè tr­êng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + .... an (1) B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®­îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· cho biÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph­¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh­ thÕ nµo còng chøng minh ®­îc . VÝ dô 1 : TÝnh tæng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1 S2 = 1 + 3 =22 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 ... ... ... Ta dù ®o¸n Sn = n2 Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) 2 theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®­îc chøng minh vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 T­¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc . 1, 1 + 2+3 + .... + n = 2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 3, 13+23 + ..... + n3 = 4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) II > Ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 .... .... ..... an = bn – bn+ 1 khi ®ã ta cã ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 VÝ dô 2 : tÝnh tæng : S = Ta cã : , , Do ®ã : S = D¹ng tæng qu¸t Sn = ( n > 1 ) = 1- VÝ dô 3 : tÝnh tæng Sn = Ta cã Sn = Sn = Sn = VÝ dô 4 : tÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! ..... ..... ..... n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng Sn = Ta cã : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n Do ®ã Sn = ( 1- = 1- III > Ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: VÝ dô 6 : TÝnh tæng S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh­ sau : S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 ) S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 S = 2101-1 VÝ dô 7 : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) Ta viÕt l¹i Sn d­íi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 ) Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = 1 +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Sn = VÝ dô 8 : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1 p.Sn=Sn- ( theo VD 7 ) L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - Sn = IV > Ph­¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt C¸c kÝ hiÖu : C¸c tÝnh chÊt : 1, 2, VÝ dô 9 : TÝnh tæng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) Ta cã : Sn = V× : (Theo I ) cho nªn : Sn = VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) ta cã : Sn = = Theo (I) ta cã : Sn = VÝ dô 11 . TÝnh tæng Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3] = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) Sn = ( theo (I) – 3 ) =( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu ( Häc sinh líp 6 ) C¬ së lý thuyÕt : + ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng c¸ch ) + 1 + §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dô 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132 Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI / V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®­îc vµo lµm to¸n VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) = k (k+1) .3 = 3k(k+1) C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). = * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 = S = VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) = k( k+1) ( k +2 ) .4 Rót ra : k(k+1) (k+2) = ¸p dông : 1.2.3 = 2.3.4 = .......................................................... n(n+1) (n+2) = Céng vÕ víi vÕ ta ®­îc S = * Bµi tËp ®Ò nghÞ : TÝnh c¸c tæng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 5, S = 6, S = 7, A = 8, M = 9, Sn = 10, Sn = 11, Sn = 12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 50 ch÷ sè 9 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hîp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 c, 1 + Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 lµ luü thõa cña 2 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5