Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 căn bậc hai - Căn bậc ba

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Căn bậc hai - căn bậc ba I. Cm: Số hữu tỉ và số vô tỉ. A. Kiến thức: - " số hữu tỉ đều có dạng a = với m ẻ Z; N ẻ n - Tổng, hiệu, tích, thương, của 2 số hữu tỉ (số chia a ạ 0 là 1 số hữu tỉ) - P2 cm 1 số a là số vô tỉ: Ta dùng phương pháp phản chứng giả sử a là hữu tỉ dẫn đến >< gt. B. Bài tập: Bài 1: a, cm là số vô tỉ. b, cm + + là số vô tỉ. Giải a, giả sử là số hữu tỉ, đ = (m, n) = 1; n ạ 0 m, n ẻ N Û 5 = Û 5 n2 = m2 ị m2 5 mà 5 ẻ P ị m 5 ị m = 5 k (k ẻ R) Thay 5n2 = 25 k2 ị n25 đ n 5 đ không t giản. Giả sử đ là số vô tỉ b, giải sử + + là số hữu tỉ a đ (a > 0) + = a -bình phương 2 vế ta có 5 + 2 = a2 + 5 - 2 a đ 2+ 2a= a2 + a = (bình phương 2 vế) đ 6 + 5a2 + 2a = đ = a là số hữu tỉ đ là số hữu tỉ (vô lý) ị Vậy + + là số vô tỉ Bài 2: Xét xem a, b có thể là số vô tỉ không nếu. a, a + b và a - b đều là số hữu tỉ. b, a - b và a. b đều là số hữu tỉ. Giả sử: Ta có a + b; a- b đều là số hữu tỉ ị (a + b) + (a - b) là số hữu tỉ. ị 2 a : a là số hữu tỉ đ a là số hữu tỉ và b là số hữu tỉ. b, a, b có thể là số vô tỉ. Ví dụ: a = b = khi đó a - b = 0 và ab = 2 hoặc a = + 1 và b = + 1 Ví du 5: Tổng quát: cm rằng nếu a không là số chính phương thì là số vô tỉ. Giải: Giả sử là số hữu tỉ đ = (m; n ẻ N; n ạ 0; m; n = 1) a không là số chính phương đ không là số tự nhiên đ n > 1 = Û a = vì a ẻ N ị m2 n2 Gọi P là ước ngtố của n đ m2 p đ p là ước ngtố của m đ trái với gt (m;n) = 1 đ là số vô tỉ. II. Căn bậc hai - hằng đẳng thức. B. Bài tập: - các dạng bpt: ờ ờ, tích, thương Bài tập 1: Cho A = a, Tìm điều kiện xác định của A b, Rút gọn A: Giải: Ta có A = c, Đ/k của A là x ³ ờx-2 ờÛ Û x ³ 1 b, Nếu x ³ 2 đ A = Nếu 1 Ê x <2 đ A = Bài 2: Tìm đk xác định của biểu thức a, A = b, B = Giải: a, đ/k xác định của A là x2 -2x-1>0 Û x2-2x+1>2 Û (x-1)2 > 2 Û ờx-1 ờ> Û Û b, Đ/k xác định của B là Giải (1) đ x>-1/2 Giải (2) Û (3) Giải (3) * Chú ý: Sai lầm ở pt (2) nếu thiếu đ/k x > 0 mà bình phương 2 vế Bài 3: Tìm các giá trị của x sao cho (1) đ/k xác định của là x ³ -1 với đ/k x ³ -1 đ x+3 >0 nên bình phương 2 vế của pt (1) ta có x+1 0 (2) ta thấy mọi giá trị của x Vậy giá trị của x cần tìm là x ³ -1 III. Nhân chia các căn thức bậc hai: A. Kiến thức: = . (A ³ 0; B ³ 0) = ( A ³ 0; B ³ 0) B. Bài tập: Bài 1: Rút gọn BT: A = - Giải: đx xđ của A: là Cách 1: Đưa A về dạng hằng đthức nhân 2 vế ta có .A = .A = - .A = ờ ờ - ờ ờ = - ờờ + Nếu x ³ = đ .A = - = 2 đ A = + Nếu Ê x < 1 đ .A = - 1 đ A = cách 2: xét A2 = x ++- 2 A2 = 2x - 2 A2 = = 2x - 2 ờx- 1 ờ với x ³ 1 đ A2 = 2 đ A = Ê x < 1 đ A2 = Bài 2: Rút gọn: biến đổi thành hđt tg tự các căn ạ cũng như vậy. Bài tập về nhà: Bài 1 Cm rằng các số sau là số vô tỉ. a, - ; b 2 + ; c ; d - (g ý c; d xét lập phương 2 vế) Bài 2: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu. a, + = b; + = gy: bình phương hai vế hai lần Bài 3: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: a; ; b; c; ; d; Bài 4: Tìm các giá trị của x sao cho a, b, = 3 Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: a, - b, - c, + d, - gý 94+ 42= 49 + 42 + (3)2 = (7+ 3)2 Bài 6: Cho biểu thức. A = a, Tìm đk xác định của A, b, Rút gọn A. c, Tìm giá trị để A < 2 Bài 7: a, Rút gọn biểu thức A. A = với a > 0 g ý quy đồng mẫu ( hoặc bình phương hai vế) đ (tách tử) Bài 8 Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A. b, Tìm x nguyên để A là số nguyên. gy : dưa về hằng đẳng thức √B2 sau đó đưa ra dấu căn tìm ĐK xác định chia các khoảng xác định 2 < x < 6 và x ≥ 6 E = Tính giá trị của E biết với: x = y = Bài 2: Cho biểu thức: P = 1, Rút gọn biểu thức 2, Tìm giá trị lớn nhất của P - a. Bài 3: Cho p = 1, Rút gọn P 2, Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0 3, Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: Chứng tỏ rằng: x0 = là nghiệm của phương trình: x2 - 7x + 6 = 0 Bài 5: Cm rằng A = là 1 số nguyên. Bài 6: Cho A: = 7 tính Tính A = Bài 7: Cho: A = a, Tìm x để A = 4 b, Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 8: Tính giá trị của BT: a, A = b, B = Bài 9: số m dưới đây có là nghiệm của pt x3 + 12x - 8 = 0 m = Bài 1: x = x = y = Chuyên đề : Căn thức Bài 1: Tính a, (20 + 12 - ). b, (2 . - 3 + : 3) : c, (2 - )2 + + d, (6. - 2 + ): ( - ) (b>0) e, (m > 0; n > 0) Bài 2: Trục căn thức ở mẫu số. a; b; c; d; e; f; Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a, + hd 23 + = ()2 + 2 + ()2 b, - - (trục căn thức rồi tính) d, + (x > 2) e, + (thêm bớt 2) f, hd: 7 + 4 = (2 + )2 h, + Bài 4: Tính A = ()2 - ()2 B = ( + ) C= + + + D = + hd ta có 7 + 5 = 1 + 3 + 6 + 2 = (1 + )3 E = - hd 6 + 10 = 3 + 9 + 3 + 1 = ( + 1)3 Bài 5: Cho biểu thức. M = ( - ): (+1) a, rút gọn M b, Tìm x sao cho M > 0 c, Tính giá trị của M nếu x = 9 - 4 Bài 6: Cho biểu thức. P = - + a, Rút gọn P b, Tìm a ẻ z để P ẻ Z Bài 7: Cho biểu thức: A = : ( + ) a, Rút gọn Q b, Cm Q > 1 Bài 8: Cho biểu thức: R = ( + ): (++) a, Rút gọn R b, Tính số trị của R khi a = c, So sánh R với 2 Bài 9: Cho biểu thức: S = (): ( - -) 1, Rút gọn S 2, Tìm x để S = 1 3, Tìm x để S < 0 d, Tìm x ẻ Z để S ẻ Z Bài 10: Cho biểu thức: M = + - a, Rút gọn M b, Tìm x để M = 1 c, Tìm x để M đạt giá trị lớn nhất d, Tìm x ẻ z để M ẻ Z xq M = II. Một số bài toán nâng cao: Bài 1: Chứng mình răng các số sau đây đều là số nguyên. Bài 2: Trục căn thức ở mẫu số Bài 3: cho a = xy + trong đó xy>0. Tính b theo a Bài 4: cho x, y, z thoả mãn xy+yz+xz = 1. Tính giá trị của biểu thức Bài 5: Tính giá trị của biểu thức A biết Bài 6: Tính giá trị của biểu thức với Bài 7: cho x>2 và Tính giá trị của biểu thức theo a C. Phương pháp Bài 1: a, = -1 + = 3 + -1 = 2 + A= + B= 29 - 12 = (2 )2 - 12 + 9 = (2 - 9 )2 3- = 3- 2+ 3 = 6- 2 = (- 1)2 ị B = 1 C. = = - 49 - 20= 24 - 2 .5 . 2 + 25 = (5- 2)2 xét tử số của C. (5 + 2)(49 - 20 ) () = (5 + 2) (5 - 2 )2 ( - ) = (25- 24)( 5 - 2 )( - )= ( - )2 ( - ) = ( - )3 = 9 = 11 D. 7 + 4 = 4 + 2 ()2 = (2 + )2 - 10 (2 + ) = - 20 - 10 - 48 - 10 = - 48 - 20 - 10 = 28 - 10 28 - 10 = 25 - 2.5 + ()2 = (5- )2 5. = 5 (5- ) = 25 - 5 D = = 3 Bài 2: A. đặt = x; 2 = x3; = x2 ị A= A= B= B= = x2 + x B B= C= = = 2- Bài 3: xét a2 = x2 y2 + 2xy +(1+ x2) (1+y2) b2 = x2 (1+y2) + 2xy + y2(1+ x2) = x2 = x2 y2 + 2xy + y2) +x2y2) b2 = x2 nếu x > 0; y > 0 đ b > 0 đ b = x < 0; y < 0 đ b = - Bài 4: xét 1+ y2 = xy + yz + zx + y2 = x (xy)+ y (y + z) = (y + z) (x+ y) Tương tự 1+ x2 = (x + y)(x +z) 1+ z2 = (x + z) (z +y) ị P= x P= x (y+ z ) + y (x +z) + z (x + y) = 2 (xy + xz + yz) = 2 Bài 5: 1 + 2x = 1 + 2 1 - 2x = A= + = + A= + Bài 6: 8x = 4 Û 8x + = 16 + 2 Û (8x + )2 = 16 + 2 64x2 + 16x +2 = 16 +2 Û 16 (4x2 + x + )= 16(+) Û 4x2 + x -= 0 Û 4x2 =2- x đặt B = A = đ A.B = x + 1 A (-B) = - (x+1) A- B = 2x2 = A và -B là nghiệm của pt bậc 2 t2 - t - (x + 1) = 0 giải phương trình: t1= , t2 = A = vì A > 0 Bài 7: Biến đổi A ta có: A = A = = A = vì x > 2 ị 2x > 4 đ x > 4 - x đ > ị A = Một số bài tập chuyên ngữ đại học quốc gia Bài 8: (Đề chuyên ngữ) Cho P = Khai triển tử: Ta có ()(x + 1+ +1 - x) = ()(2 + * Rút gọn P ta có: P = () xét p2 = ()2()2 p2 = (1 + )(1 + x - 2 + 1 - x) p2 = (1 + )(1 + x - 2 ) p2 = (1 + )(2 - 2 ) p2 = (1 + ) 2 (1 - ) p2 = 2 (1 - 1+x2) p2 = 2(1- 1 + x2 ) p2 = 2.x2 đ P = ờx ờ b. Tính giá trị của P khi x = x = đ P = tra bảng tính Bài 9: a, Cho A = A = đ/k x>0; x ạ 1 A = A = A = b, Vẽ đồ thị hàm A = x - 1 HS tự vẽ. Bài 10: A = a, Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b, Tính x nếu A = đ/k: x ³ 0 ; x ạ 1 A = A = A = A = A = A = A = A = Bài 11: Cho A = A = đk: x ạ ± 3; x ³ 0; x ạ 9 A = A = Bài 12: Cho B = 48 (a ạ 0) a, Rút gọn B b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B khi a thay đổi. Bài tập về hệ thức giữa cạnh và đường cao trong D vuông. Bài 1: Cho à ABCD có góc D + góc C = 900 cm rằng AB2 +CD2= AC2 + BD2 (gý ) kéo dài cạnh DA và CB cắt nhau tia AX tạo với tia AB. Bài 2: Cho hình thoi ABCD với góc A = 1200 tia AX tạo với tia AB 1 góc BAX = 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt CD tại N cm + = (gý vẽ hình phụ AE ^ AN tại A) AH ^ DC (E;H ẻ BC) Bài 3: Cho D ABC vuông tại A; Ah là đường cao Cho biết BH = a; HC = b CM Ê (gý vẽ thêm trung tuyến AM Bài 4: Cho D cân ABC; góc A = 202 ; AB = AC = b; BC = a cm: a3+ b3 = 3ab2 . gý vẽ Bx sao cho góc xBC = 202 Bài 5: Xét tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 2a; AH là đường cao của D. D và I là hình chiếu của H trên AC và AB . Tìm giá trị lớn nhất của. a, Độ dài DE. b, S ADHE Bài 6: Cho D ABC cân tại A; đường cao AD, H là trực tâm. Tính độ dài AD biết AH = 14; BH = HC = 30 CM. Bài 7: Cho D cân ABC có BC = 40 cm; đường phân giác AD dài 45 cm đường cao AH dài 36 cm. Tính độ dài BD và DC. Phương pháp làm. Bài 1: E - Kéo dài DA và BC đ góc E= 902. A Dùng pitago vào các tam gác vuông. AB2 = ? (1) B AC2= ? (2) BD2 = ? (3) D AC2 = ? (4) C Cộng các vế (1); (2); 3; 4 đ đpcm. Bài 2: A D B E H C N cm ạ = kẻ AE ^ AN tại A (E ẻ DC; AH ^ CD tại H; H ẻ DC ) Xét tam giác vuông EAN có AH là đường cao đ = + cần cm = . Dựa vào D đều ADC có AH là đường cao đ AH = AD sin 600 AH = AD . = BA . đ = . Cần cm AE = AM dựa vào 2 D AED và D AMB Û D AED = D AMB (g- c - g) ị đpcm Bài 3: B Ta có AH = H M cần vẽ thêm trung tuyến AM trong D vuông ABC Có AM = B C Mà AH Ê AM đ đpcm. Bài 4: A - Vẽ tia Bx sao cho góc x BC = 202 D ABC ~ D BCD (góc c chung góc A1 = góc B1) ị (mà BD = BC = a) b E đ DC = AD = b - (1) B C D ABE có góc B2 = 600 đ D vuông ABE là D đều đ BE = AB = DE = BE - BD = - a (2) Xét D vuông ABE có AB2 = AE2 +BE2 đ AE2 = AB2 = b2 ( 3) Xét D vuông ADE có AD2 = AE2 + DE2 Thay 1; 2; 3 vào công thức trên ta có (b - )2 = (b2) + ( - a)2 b2-2a2 + = b2 + b2- ab + a2 đ + ab = 3a2 Û a3+ b3 = 3ab2 (quy đồng mẫu, chia 2 vế cho a) Bài 5: a, DE = AH mà AH Ê AM đ A DE max Û DE = AM = a Û D ABC vuông cân tại A D H b, S’ADHE = AE . AD (1) M mà trong D vuông AHC có AE = (2) Tgtự. A E C AD = (3) thay 2; 3 vào 1 ị SADHE = đ SADHE lớn nhất = Û ABC vuông cân tại A. Bài 6: Lấy E đối xứng H qua D đ AD = AE - x B đ à BECH là hình thoi. E đ BE2= AE- DE D đặt DE = x đ AE = 2x + 14 ị BE2 = (2x + 14)x góc A < 900 H BE2= HC2 = 302 = 2x2+ 14 x Û x2 + 7x - 450 = 0 Û AD = 32 cm. A C Nếu A > 900 đ BE2= x (2x-14) đ x = 25, AD = 11 Bài 7: A Đặt BD = x; DC = y; đ y = 40 -x Tính HD = 27 (cm) vẽ phân giác ngoài là AE AE ^ AD Trong D vuông EAD có DE = = 75cm. E H B x D y C áp dụng tính chất đường phân giác ngoài và trong ta có mà y = 40 - x thay vào tìm x ta có x2 - 115x + 1500 = 0 Û (x - 15) (x - 100) = 0 đ x = 15 vì x < 40 đ y = 25 Căn bậc hai - căn bậc ba Xem ví dụ 11 (16 sách pt nâng cao toán 9) Bài 28; 29; 37; 38; 39 (sách pt và nâng cao toán 9) Chuyên đề phương trình vô tỉ I, Một số kiến thức cần chú ý khi giải pt có chứa ẩn trong dấu căn * Cần đặt đ/k tồn tại của căn thức * Cần đặt đ/k 2 vế không âm trước khi bình phương 2 vế. * Nếu không đặt đ/k thì khi được nghiệm cần thay vào để thử lại. II, Các phương pháp giải pt vô tỉ 1, Các dạng pt vô tỉ đơn giản: 2, Các phương pháp giải pt vô tỉ: * Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa; VD 1: Giải pt sau (1) đ/k xác định của pt: 2x -3 ³ 0 đ x ³ 3/2 (2) Từ (1) Û (3) Ta có x - 3 ³ 0 Û x ³ 3 Vậy (3) Û (loại) Vậy pt (1) có nghiệm là x =6 Ví dụ 2: Giải pt sau điều kiện xác định x ≥ 1 Bình phương 2 vế thu gọn ta có 2-7x = (2) PT (2) Û Û Û PT vô nghiệm VD 3: Giải pt (1) Lập phương 2 vế áp dụng hđt (a+b)3 = a3 +b3+3ab(a+b) (1) Û 2x + 1 + x + 3 ( (2) thay 1 vào 2 ị 3x + 1 + 3 =1 (3) Û = - x Û x (2x + 1) = -x3 Û x(2x + 1 + x2) = 0 Û x (x + 12)= 0 đ x = 0 và x = -1 Ta có x = -1 không thoả mãn 1 đ loại Chú y phương trình 2 và 3 khoong tưong đương 2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. ví dụ 1: Giải ptrình (1) điều kiện x ≥ 1 đk: x ³ 1 đưa ptrình về dạng + 1 + ờ -1ờ = 2 Û + ờ -1 ờ = 1 (3) + Nếu x > 2 đ (3 )Û = 1 Û x = 2 không thuộc khoảng 2 Ơ 1 Ê x Ê 2 đ 3 Û 2 = 2 ptrình có vô số nghiệm vậy 1 Ê x Ê 2 3. Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ1: Giải các phtrình sau. 3x2 + 21x + 18 + 2 = 2 3 (x2+ 7x + 6) + 2 = 2 (1) đk: x2 + 7 x + 7 ³ 0 đặt y = đ y ³ 0 đ (1) Û 3(y2 - 1) + 2y = 2 Û 3y2+ 2y + 5 = 0 Û (3y + 5) (y - 1) = 0 Û y = - (loại) y = 1 thay vào Û x = -1; x = -6 thoả mãn x2 + 7x + 7 ³ 0 đ nghiệm của ptrình x = -1; x = -6 Ví dụ 2: Giải ptrình + = 1 đặt = a; = b đ 2x + 1 = a3 ; x = b3đ a + b = 1 đ a3 - 2b3 = 2x + 1 - 2x = 1 Cần tìm a và b sao cho Û Û a3- 1 - 2 (1 - a3 ) = 0 Û (a-1) ( (a2 + a+ 1) + 2 (a-1)2 ) = 0 ta có (a2 + a+ 1) + 2 ( a-1)2 > 0 nên a-1 = 0 vậy a =1 b = 0 thay vào tìm x 4. Phương pháp bất đẳng thức a. Chứng tỏ rằng phương trình vô nghiệm vì vế này luôn nhỏ hơn vế kia VD1: giải phương trình sau đk x ³ 1 với điều kiện này thì x < 5x do đo vây vế trái của 1 luôn âm, vé phải không âm nên ptvô nghiệm b. Sử dụng tính chất đối nghịch của hai vế VD : Giải phương trình sau VT: VP: 4-2x –x2 ≤ 5 Vậy hai vế của (1) đều = 5 khi đó x = 1 c. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số VD giải phương trình sau bằng cách chứng tỏ x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.Ta thấy x> 0 thì nên VT > 1 x < 0 thì nên VT < 1 vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. d. Sử dụng điều kiện sảy ra dấu bằng của BĐT không chặt VD: Giải phương trình sau ta có BĐT dấu bằng sảy ra khi a = b vậy với x > 2/3 ta có x = bình phương hai vế ta có x2 -3x+2 = 0 giải tìm x = 1; 2 đếu thoả mãn. Bài tập về nhà Bài 1.Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bài 2. Giải phương trình 1. 2. 3. Bài 3. Giải phương trình sau a. b. c. Bài 4. Giải phương trình sau a. b. c. hBài 5. Giải phương trình a. b. c. Chuyên đề II: Bất đẳng thức I, Định nghĩa + Tính chất 1, Định nghĩa: A>B đ A-B>0; A ³B ị A-B ³0 (đđt không ngặt) 2, Tính chất: 1. a>b, b>c đ a>c 2. a>b đ a+c > b+c 3. a>b+c đ a-c>b 4. a>b ; c>d ; đ a+c > b+d 5. a>b ị ac>bc (c>0) ac b>0 ; c>d>0 đ ac>bc 7. a>b>0 đ an >bn (n ẻ z+) 8. a>b>0 đ >(n ẻz+) 9. a2³ b2 Û a ³b Û 10. a>b ; ab>0 đ 11. a>1; m; n ẻ z+ ; m>n đ am>an 12. 0n đ am<an II, Chứng minh bất đẳng thức 1, Phương pháp sử dụng đ/n và tính chất a, Kiến thức: cm A ³ B Û cm A-B ³ 0 Dùng các t/c để biến đổi tương đương các biểu thức đ bđt đúng. VD: bình phương 2 vế. b, Bài tập áp dụng: - Dùng phương pháp xét hiệu 1, cm bđt côsi : a+b ³ (a ³ 0; b ³ 2, cm (a+b)2 Ê 2(a2+b2) 3, cm bất đẳng thức Bunhicôpxki (ax+bx)2 Ê (a2 +b2) (x2 +y2) (dấu bằng xảy ra Û ax = by) 4, a4 +b4 ³ a3b + ab3 5, 3(a2 + b2 +c2) ³ (a+b+ c)2 6, + ³ 7, + ³ 2 - Bình phương 2 vế 1, √a + > (2vế >0) 2, - > - < chuyển bình phương 2 lần) 3, x4 + y4 Ê + (quy đồng xét hiệu) 4, Phương pháp làm trội, làm giảm a. KT: Cm A ³ B ta cần cm: A ³ C và C ³ B b. Bài tập: 1. A = + ++ > (1) Chọn B = + + n số hạng; cm A > B = 2. cm < + ++ < 2 3. cm: 1 + + ++ < 2 chọn B = + ++ 4. cm B = + + ++ < Đặt 1/4 làm chung đưa về câu 3. 5. cm C = + + ++ < Chọn B = + ++ = + ++ 6. D = + + ++ < gý: + = = = (-) Chọn D < ( - + - ++ ) - D < . = 7. Cho a, b, c là 3 cạnh của D cm (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) Ê abc vì (a-c)2 ³ 0 ị a2 - (b-c)2 ³ a2 Û (a - b + c) (a + b - c) Ê a2 vì a,b,c là 3 cạnh của D đ a + b > c và a + c >b đ 0 < (a - b + c) (a + b - c) Ê a2 Tương tự (a + b - c) (b - a + c) Ê b2 (b - a + c) (a - b + c) Ê c2 ị {(a - b + c) (a + b - c)(b - a + c)}2Ê (abc)2 ị đpcm 3. Phương pháp phản chứng. a. KT: Cần cm A ³ B ta giả sử A< B đ điều vô lý xảy ra. b. Bài tập: 1, cm ờa ờ+ ờb ờ ³ ờa + b ờ (giả sử và bình phương 2 vế) 2, Ctỏ rằng có ít nhất 1 trong các bđt sau đúng. a2 + 2bc ³ 0; b2 2ac ³ 0; c2 + 2ab ³ 0 (a,b,c >0) (giả sử xét tổng 3 bất đẳng thức) 3. Ctỏ rằng ít nhất 1 trong các bđt sau là sai. a- 0) 4. Cm rằng không thuộc 1 D mà độ dài 3 đường thẳng cao là 1; ; 1 + giải : gsử F 1 D có 3 đường cao như trên ta có. 2S = aha = bhb = chc 2S mà a < b + c đ < + đ 1 < + đ 1 < + ị 20 < 9 - 5 25 < 9 đ 625 < 405 (vô lý) 4. Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản của phân số a. Kiến thức: Bài toán 1: Nếu a < b thì < Nếu a ³ b thì ³ Cm bằng phương pháp: > Û ad >bc. Bài toán2: Cho x, y, z > 0 Cm rằng a, ³ b, + ³ c, + + ³ Cm 3 bài toán trên a, Ta có (x - y)2 ³ 0 ta cần cm (x + y)2 ³ 4 xy Û (x - y)2 + 4xy ³ 4xy đ đpcm b, ta có (x + y)2 ³ 4xy chia 2 vế cho (x+y)xy đ đpcm c, Cần cm ( nhân vào sử dụng: (x>0; y>0) b, Bài tâp Bài 1: (x, y, z) hd: (bài toán 1) (1) Tương tự với các biểu thức còn lại (cộng các vế ta có đpcm Bài 2: cm (a, b,c,d >0) Bài 3: a, b, c là 3 cạnh của tam giác cm hd: Bài 4: cm hd: ta có 9125 +4 > 9123 + 1 đpcm Bài 5: Cho a, b >0 cm rằng A = + ³ hd: Ta có 4a2 + 4b2 > 0; 8ab > c; áp dụng bài toán (2b) Ta có A ³ = đ đpcm Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của D cm rằng: + +> + + dấu bằng xảy ra khi nào? hd: áp dụng bài toán (2b) a + ba - c >0; a - b + c > 0; -a + b + c > 0 +³ = Tương tự cộng các vế ta được đpcm. (dấu bằng xảy ra: a=b=c) Bài 7: Cho a, b, c > 0 cm + + > hd: a, b, c > đ MS các pt > 0 áp dụng bài toán 2 (c) Bài 8: hd: a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 1 cm + + ³ 9 hd: áp dụng bài toán (2c) 5, Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối. a. Kiến thức vận dụng 2 bài toán sau: Bài toán 1: Cm rằng: a, ờa ờ + ờbờ³ ờa +b ờdấu bằng xảy ra khi Û ab ³ 0 b, ờa ờ - ờbờÊ ờa -b ờdấu bằng xảy ra khi Ûb(a-b) ³ 0 Bài toán 2: Cm rằng x, y ạ 0 thì ờxờy ờ+ ờy ờx ờ³ ờ ờ³ 2 dấu bằng xảy ra Û x = ± y ị m, n > 0 đ ³ 2; m + ³ 2 Chú ý: Các bài toán khi cần phải cm rồi mới vận dụng B: Bài toán. Bài 1: Cm ờx+y+z ờÊ ờx ờ + ờy ờ+ờz ờ Bài 2: cm 2 ờax + by ờ Ê a2 + b2 + x2 + y2 hd áp dụng bài toán 1 : 2 ờax + by ờ Ê 2 ờax ờ+2 ờby ờ mà 2 ờax ờ Ê a2 + x2 đ đpcm Bài 3: cm rằng: ờx ờ+ ờy ờ+ ờx-3 ờ+ ờy-5 ờ³ 8 hd: áp dụng bài toán 1 làm triệt tiêu x, y Bài 4: Cm ờ ab- cờ Ê 3998 cho ờa ờ < 1; ờa - c ờ < 1999 ờa ờ< 1; ờb-1 ờ < 1999 ị ờa ờ. ờb-1 ờ< 1.1999 ị ờab - a ờ< 1999 ị ờab - a ờ+ ờa - c ờ < 3998 Theo bài toán (1) đ đpcm Bài 5: Cho a, b, c > 0 cm + + ³ 4 hướng dẫn: tách=+ áp dụng ³ 2ị đpcm Bài 6: Cho a, b, c > 0 cm A = + + ³ a + b + c Hdẫn tách = + Ta có A = {(+)+ (+) (+)} = {a ( + )+ b ( + )+ c ( + )} ³ (a . 2 + b . 2 + c .2) ³ a + b + c 6, Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản của căn thức. A. Kiến thức: Bài 1: bđt côsi a, b >0 cm ³ (xảy ra a = b) Bài 2: Bđt bunhiacopxki cm: ờax + by ờ Ê (ax= by) Bài 3: Bđt min copxki + ³ dấu bằng xảy ra khi ay = bx B Bài tập: * Bài toán áp dụng côsi: 1, Cho a, b, c > 0 Cm (a + b) (c + a) (b + c) ≥ 8 abc hd: áp dụng cô si: a + b ≥ 2 2, Cho a, b, c Ê cm + ³ a + b hd: áp dụng cô si ta có ³ a + ³ 2 = b + ³ 2 = + = (a + b + ) = (a + + b + ) ³ 2 ( + ) ³ a + b Bài 3: cho x > y; xy = 1 cm Ê 2 hd pt = = (x- y) + áp dụng côxi với 2 số trên. Bài 4: Cho a, b, c > 0 cm rằng + + ³ 4(a + b + c) áp dụng bđt cô si cho 2 số dạng: + 4c ³ 2 . 4c = 4 (a + b) Tương tự ta có đpcm Bài 5: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng a,b,c > 0 nên ta có tưong tự với các trườgn hợp khác, cộng các vế của bđt Bài 6: cho a,b,c ≥ 0 chứng minh a+c+b ≥3 a+b+c+ Bài 6: Cho a> c; b >c >0 chứng minh rằng 1= Bài toán áp dụng bđt Bunhi copxki 1, Cho x2 + 4 y2 = 1 cm ờx- y ờ Ê Ta có ờx - y ờ = ờ1.x + 2y (- )2 ờ áp dụng bđt bunhia copxi ta có ờ1x+ 2y . (- ) ờ Ê = 2, Cho x2 + y2 = 1 và a2 + b2 = 1 cm ờa (x - y) + b (x + y) ờ Ê hd: áp dụng bđt bunhia cốp xki ờờa (x - y) + b (x + y)ờ Ê = 3, cm ờ3(a + b) + 4 (1- ab) ờ Ê 5 7. Phương pháp xét khoảng giá trị riêng của biến A. Kiến thức: Cần xét từng khoảng giá trị của biến để tìm lời giải. B. Bài tập: Bài 1: Cm rằng x4 - x + 1 > 0 với " x hd + xét x ³ 1 đ x3 ³ 1 x4- x + 1 = x (x3 - 1)+ 1 > 0 + xét x 0; x4 ³ 0 x4- x + 1 = x4 + (1- x) > 0 đ đpcm Bài 2: cm rằng x10 - x9 + x4 - x + 1 > 0 hd + xét x ³ 1 đ x3 ³ 1 x10 - x9 + x4 - x + 1 = x9(x - 1) + x3 (x - 1) + 1 > 0 + xét x 0; 1 - x > 0 x10 + x4 (1- x5 )+ (1- x) > 0 đ đpcm Bài 3: cm rằng Ê (1) hd: xét a + b < 0 đ đpcm + xét a + b Ê 0 bình phương 2 vế của (1) quy đồng chuyển về xét hiệu đ đpcm 8, Phương pháp đổi biến A. Kiến thức: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc để giải. B. Bài tập. Bài 1: Cm rằng (x +2001)4 + (x + 1999)4 ³ 2 (1) hd: đặt x + 2001 = y đ (1) Û (y + 1)4 + (y - 1)4 = 4y + y4 + y3 + 6y2 + 1 + 4y2 - 4 y3 + 6y2 + 1 - 4y = 2y4 + 12y2 + 2 ³ 2 (" y) Bài 2: cm rằng: (x- 5)4 + (x + 13)4 ³ 13122 (1) hd đặt y = x + 4 đ (1) Û (y- 9)4 + (y + 9)4 = y4 +4 y3 .9 + 6y2 +92 +94 + y4 + 4y3 .9 + 6y2 .9y2 - 4y.93 +4y93 +94 = 2y4 + 12 .92 y2 + 13122 ³ 13122(đpcm) Bài 3: cm rằng: (a + b)4 + (a + c)4 ³ (1)hd; Đặt x = a+ Û (1) Û {x + ( )4}+ {x- ()}4 =x4 + 4x3 () + 6x2 ()2 + 4x ()3 + ()4 + x4 - 4x3 .() + 6x2 ()2 + 4x ()3 + ()4 = 2x4 +12x2 ()2 + 2 ()4 ³ 2 ()4 = ()4 Bài 4: cm rằng (a, b, c > 0) + + ³ (1) hd đặt b + c = x, c + a = y; z ạ a + b (x, y, z > 0) ị a = - ; b = ; c = Vậy (1) Û = + + = (- 1 + + - 1 + + + + - 1) = (3 + +-2 ++ -2 + +-2)= (3 + + + ) ³ . 3 = Chuyên đề cực trị đại số Dạng 1:Biểu thức có chứa dấu giá tị tuyệt đối Chia khoang để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất Sử dụng bài toán phụ: ỳ A ỳ + ỳ B ỳ ≥ ỳ A+ Bỳ dấu bằng sảy ra khi A.B ≥ 0 ỳ A ỳ - ỳ B ỳ ≤ ỳ A- Bỳ dấu bằng sảy ra khi B ( A-B) ≥ 0 A+ đáu bằng sảy ra khi A = 1 Bài 1: Tìm GTNN của A= ỳ x-5 ỳ +ỳ x+2 ỳ B = ỳ x+ 2000 ỳ + ỳ x-2001 Dạng đa thức Bài 1: TGTNN A = (x-3)2 + (x+1)2 ; B = (x-1)2 + ( x+3)2 + (x+5)2 . Bài 2: Tìm TGNN A = x4 + x2 -6x+ 9 B= x4 + 4x3 + 9x2 -20x +19 Bài 3: Tìm GTLN A = -x4 + 16x2 + 12x-93 B = -x4 + 2x3 -6x2 + 10x Bài 4: Tìm GTNH A = ( x-1) ( x+2) (x+3) (x+6) -17 B= (x-1) (x-4) (x-5) (x-8) + 2001 Bài 5: Tìm GTNN A = x2 + y2 -6x + 4y +17 B = 2x2 + 3y2 – x +2y+1 Bài 6: Tìm GTLN A = -x2 –y2 + 4x -10y +7 B = -3x2 -2y2 +x -2y-1 Bài 7; Tìm GTNN A = x2 + 5y2 -4xy + 6x -14y +15 B= 5x2 + 2y2 + 2xy – 26x – 16y + 54 Dạng phân thức đại số Tử là hằng số cần cm mẫu lớn hơn 0 tìm GTNN Bài tập : b.Dạng mẫu thức là một nhị thức. TGTNN ; B. Tìm GTLN A. ; B. Tìm GTNN M = x= 0 thì M =1; Nếu x ≠0 ta có M = ta có C. Dạng phân thức khác Tìm gía trị nhỏ nhất và lớn nhất của biêủ thức sau ĐK mẫu thức khác 0 C1. A= c2. Ax2 + A = 4x +3 Ax2 + A - 4x -3 = 0 (1) Nếu A = o phương trinh có ngiệm x = -3/4 nếu A khác 0 thì phương trình 1 có nghiệm khi ∆ hoặc ∆' ≥ 0 ∆' = 4 – A ( A-3) ≥ 0 Û -A2 + 4A – A + 4 ≥ 0 (-A+ 4) (A+1) ≥ 0 (-A+ 4) ≥ 0 và (A+1) ≥ 0 ÛA ≤ 4; A ≥ -1 hoặc (-A+ 4) ≤ 0 và (A+1) ≤ 0 Û A ≥ 4 ; A ≤ -1 vậy -1 ≤ A ≤ 4 Dấu bằng sảy ra khi ∆' = 0 hay x = 2: A = 1/2 Dạng căn thức: chú y hai BĐT Bài 1: tìm GTNN Bài 2: Tìm GTLN B= C= Bài 3: Tìm GTNN và TGLN A= ≤ A ≤ 123 + √ 14 Bài 4: Tìm GTNN A= A= ỳ x-1ỳ + ỳ 3-x ỳ ≥ ỳ x-1+3-x ỳ =2 dấu bằng sảy ra khi x-1 ≥ 0 và 3-x ≥ 0 khi 1 ≤ x ≤3 Bài 5: Tìm GTNH và GTLN A = ĐK (x-2)(6-x) ≥ 0 (x-2)≥ 0 và (6-x) ≥ 0 hoặc (x-2) ≤ 0 và (6-x) ≤ 0 khi chi khi 2 ≤ x ≤ 6 áp dụng cô si cho hai số không âm A ≤ dấu bằng sảy ra khi x-2 =6-x khi x = 4 và A ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi x-2= 0 hoặc 6-x = 0 Vậy A mẵ = 2 khi x =4 A min = 0 khi x = 2 hoặc 6. Bài 6: TGTLN A = xét A2 = x-3+ 6-x + 2 = 4 Hoặc áp dụng cô si cho hai số không âm ta có A= Chuyên đề 3: Hàm số bậc nhất. A. Kiến thức cơ bản. 1. K/n hàm số, txđ của hàm số. 2. Hàm hằng: là hàm số và y không thay đổi, x thay đổi: VD: y = 3 3. Hàm đồng biến, hàm nghịch biến: - Hàm y = f(x) đồng biến trên a, b nếu x1 < x2 trên (a, b) thì f(x1) < f(x2) - Hàm y = f(x) nghịch biến trên (a, b) nếu x1 < x2 trên (a, b) thì f(x1) < f(x2)trên (a, b) Hàm bậc nhất: y = ax + b (a ạ 0) txđ: "x ẻR nếu b = 0 đ y = ax * Hàm y = ax + b đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0 * Đồ thị hàm y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b (b là tung độ gốc) * Cách vẽ đồ thị hàm y = ax + b C1: xét 2 điểm bất kỳ Cho x = 1 đ y = a + b ta có điểm A (1; a + b) Cho x = -1 y = - a + b ta có điểm B (-1; - a + b) C2: xác định gđiểm của đồ thị với 2 trục toạ độ cho x = 0; y = b, ta có điểm P (0; b) cho y = 0 đ x =- ta có điểm Q = (- ; 0) Vẽ đường thẳng qua AB hoặc P; Q ta có đồ thị hàm y = ax + b 4. Hệ số góc của đường thẳng, đthẳng //, đthẳng cắt nhau. a, Hai đường thẳng // y = ax + b (aạ 0) y = a’x + b (a’ạ 0) là cắt nhau Û b ạ b’ b, 2 đường thẳng cắt nhau y