Bồi dưỡng học sinh về vấn đề số nguyên tố

Tên đề tài: Bồi dưỡng học sinh về vấn đề số nguyên tố Đặt vấn đề Xuất phát từ trải nghiệm của bản thân với việc dạy học toán ở trường THCS, qua sự tìm tòi sách báo, học hỏi kinh nghiệm từ bạn bè, đồng nghiệp và đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi 6, 7,8 và tạo nguồn cho học sinh giỏi khối 9, tôi đã phát hiện ra kiến thức về số nguyên tố là 1 vấn đề khó đối với học sinh cấp THCS. Mặt khác mức độ tiếp cận của đa số học sinh về kiến thức số nguyên tố là chưa nhiều. Trong khi đó các bài toán về số nguyên tố lại xuất hiện khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi huyện, đề thi giáo viên dạy giỏi huyện,... Từ yêu cầu thực tiễn như vậy nên trong đề tài này tôi xin được đưa ra hệ thống những kiến thức cơ bản liên quan tới số nguyên tố và các dạng bài tập được sắp xếp theo từng nội dung, từng chủ đề phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán từ khối 6 đến khối 9. Cụ thể là: Phần I: Lý thuyết Phần II: Các dạng bài tập kỹ năng: Dạng 1 :Tìm số nguyên tố. Dạng 2: Chứng minh 2 số nguyên tố cùng nhau. Dạng 3: Chứng minh 1 số là số nguyên tố. Dạng 4 : Các bài tập liên quan. Phần I: Lý thuyết: Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước và chính nó. VD: 2,3,5,7,11,... Lưu ý :- Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số. Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 cũng có ít nhất 1 ước số nguyên tố. Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2, đó là số nguyên tố chẵn duy nhất. Để kết luận số a là số nguyên tố (a> 1) chỉ cần chứng tỏ nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. Như vậy: 29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5 67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5,7 127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5 ,7,11. ............................................... 2.Một số định lý cơ bản: Nếu số nguyên tố p chia hết hoặc chia hết cho số nguyên tố q thì p=q. Nếu số nguyên tố p không chia hết a và b thì p không chia hết tích a.b Phần II: Bài tập Dạng 1: Tìm số nguyên tố Phương pháp chung: Tuỳ theo điều kiện của bài toán mà ta tiến hành giải thông thường phải xét các dạng của số nguyên tố cần tìm p Gỉa sử với số nguyên tố p ≥ 3,Ta xét các trường hợp sau: -Với p= 3.k ( k ẻN) -Với p= 3.k+ 1 -Với p= 3.k+2 Thay các dạng của p vào điều kiện của bài toán rồi tìm giá trị của p thoả mãn. Bài tập: Số 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p+ 2 và p+ 10 p+ 10 và p+20 p+2 ; p=6 ; p+ 8; p+ 12; p+14 Giải: –Với p = 2 thì : p+12 = 12 ( loại) -Với p= 3: p+2 = 5 ( thoả mãn) p+ 10 = 13 ( thoả mãn) -Với p = 3.k ( k ẻN) thì : p= 3.k là hợp số ( loại) -Với p = 3.k + 1 thì: p+2 = 3.k+1+ 2= 3.(k+ 1) là hợp số (loại). -Với p = 3.k+ 2 thì: p+10 = 3.k +2+10 = 3.( k+ 4) là hợp số ( loại) Vậy p = 3 thì p+ 2 và p+ 10 là số nguyên tố. – Với p= 2 thì p + 10 = 12 là hợp số ( loại) -Với p = 3 thì p+ 10 = 13 p+ 20 = 23 ( thoả mãn) -Với p = 3.k ( với k ẻ N) thì : p = 3.k là hợp số ( loại) -Với p = 3.k+1 thì p+20 = 3.k+1+20= 3(k+7) là hợp số ( loại) -Với p= 3.k+2 thì : p+10=3.k+2+10= 3(k+4) là hợp số ( loại) Vậy số nguyên tố cần tìm là p =3 Tương tự như cách làm trên ta tìm được p= 5. (Xét p dưới các dạng : p= 5; 5.k; 5k+1 ; 5k+ 2 ; 5k+3 ; 5k+4 ) ( k ẻN) Số 2 Tìm số nguyên tố a sao cho a+10 ; a+ 14 đều là các số nguyên tố. ( Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện 2007-2008) Giải: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có 1 trong các dạng: 3k; 3k+1 ;3k+ 2. ( với k ẻN) -Với a = 3 thì a+10 = 13 ( thoải mãn) a+14 = 17 (thoải mãn) Với a= 3k ( với k ẻ N)thì a= 3k là hợp số ( loại) Với a= 3.k +1 thì: a+14= 3k+15 = 3(k+5) là hợp số ( loại) Với a= 3k+ 2 thì: a+ 10 = 3k+12 = 3(k+ 4) là hợp số (loại) Vậy số cần tìm là a = 3. Số 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Giải: Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì là số nguyên tố lớn hơn 2). Suy ra ít nhất 1 trong các số p và q phải chẵn tức là bằng 2. +, Gỉa sử p = 2 khi đó: .7p+q = 7.2 +q = 14 + q .pq + 11 = 2.q + 11 Nếu q = 2 thì : 7p+q = 14 + 2 = 16 là hợp số ( loại) Nếu q = 3 thì : 7p+q = 14 +q = 14+ 3 = 17 pq + 11 = 2q + 11 = 2.3+11=11 (thoả mãn) Nếu q =3k+1 (với k ẻ N) thì: 7p+q = 14+q= 14+3k+1= 3(5+k) là hợp số ( loại) - Nếu q=3k+2 thì : pq+11=2q+11=2(3k+2)+11=6k+15 =3(2k+5) là hợp số (loại) Vậy p=2 và q=3. +, Nếu q=2 . Lập luận tương tự như trường hợp trên ta tìm được 1 cặp số: p=3 và q=2 Đáp số: Số nguyên tố phải tìm là: p=2 và q=3 hoặc p=3 và q=2 Số 4: Tìm 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố. Giải: Gọi 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp phải tìm là p ; p+2 ; p+ 4. ( p lẻ) Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là 3. -Nếu p=3 thì: p+2 = 5 p+ 4= 7 ( thoả mãn) -Nếu p = 3k +1 ( với k ẻ N) thì: p+2=3k+1+2=3(k+1) là hợp số ( loại) - Nếu p=3k+2 thì: p+4= 3k+6 = 3( k+2) là hợp số ( loại) Vậy với p = 3 thì 3 số phải tìm là 3 , 5, 7. Số 6: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. Giải: Gọi 3 số nguyên tố đó là a, b , c. Ta có: abc= 5(a+b+c). Suy ra 5 là ước của abc. Vì a, b, c bình đẳng nên Gỉa sử 5 là ước của a và a là số nguyên tố nên a= 5 Suy ra: bc= 5+b+c ị (b-1)(c-1) = 6 Do đó : b-1 = 1 b = 2 ị c-1 = 6 c= 7 b-1 = 2 b=3 ị ( loại) c-1 = 3 c= 4 Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2,5,7. Số 7: Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: x2 – 2y2 – 1 =0 (1) Giải: Ta có : (1) ị (x-1)(x+1) = 2y2 Vì x, y là số nguyên tố nên chỉ có các khả năng: +, x+1 = 2y; x-1 =y suy ra : x=3: y=2. +, x+1=y ; x-1 = 2y suy ra : vô nghiệm +, x+1= 2y ; x-1 = 1 suy ra : vô nghiệm +, x+1 = 1 ; x-1 = 2y suy ra vô nghiệm Vậy (x,y ) =(3,2) là nghiệm duy nhất. Bài tập tương tự: Số 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: P+6 ; p+8 ; p+12; p+14. Số 2: Tìm hai số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố. Đáp số: 1, 2. Số 3: tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Số4: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó. Số 5: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình sau: x2- 2y2 =1 Dạng 2: Số nguyên tố cùng nhau. Lý thuyết: Hai số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ƯCLN bằng 1. Nói cách khác chúng chỉ có ước chung lớn nhất là 1 (a,b) = 1 ☼ Phương pháp giải: Muốn chứng minh a, b nguyên tố cùng nhau thoả mãn điều kiện bài toán ta thường làm như sau: Gỉa sử: (a, b) = d (d ≥ 1) Khi đó: a ∶d b ∶d Kết hợp với điều kiện bài toán ta suy ra: Một số n ∶d (n ẻ N) Ta cần chứng minh : d= 1 Bài tập: Số 1: Cho a+b=p là số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau. Gỉai: Gỉa sử: a và b không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra a và b có ít nhất 1 ước số d> 1. Khi đó: a ∶d b ∶d ị a+b ∶d ị p ∶d , d>1. Điều này vô lý vì p là số nguyên tố. Vậy ( a, b) = 1. Số 2: Chứng minh rằng 2 số A= 2n+1 và B= n(n+1) : 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải: Gọi (A,B) = d với d≥1 Suy ra: A ∶d và B ∶d. Hay: (2n+1) ∶d n(2n+1) ∶d ị n(n+1): 2 ∶d 2n(n+1) ∶d ị 2n(n+1)- n(2n+1) ∶d. ị n ∶d. ị 2n ∶d mà 2n+1 ∶d ị 1 ∶d . Suy ra d ≤:1. Mà d ≥1. ị d = 1. Vậy (A,B) = 1. Số 3: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a+b và ab nguyên tố cùng nhau. Gỉai: Gỉa sử a+b, ab không nguyên tố cùng nhau Do đó a+b và ab có ít nhất 1 ước d>1 Suy ra: a+b ∶d (1) Và ab ∶d (2) Từ (2) suy ra a ∶d hoặc b ∶d. -Nếu a ∶d thì từ (1) ị b ∶d. Như vậy a và b có 1 ước chung d > 1, trái với giả thiết. - Nếu b ∶d thì từ (1) ị a ∶ d Suy ra a, b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết Vậy (a,b) = 1 thì (a+b, ab) = 1. Số 4: Cho a và b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh : A=5a +3b và B= 13a+8b nguyên tố cung nhau. Giải: Ta có: A= 5a+3b ị a=8A-3B B=13a+8b ị b=5B-15A Gỉa sử A và B có ít nhất 1 ước số chung d > 1 Suy ra: A ∶d và B ∶d Do đó a ∶d và b ∶d. ị a và b có 1 ước chung d > 1, mẫu thuẫn với giả thiết. Vậy (A, B) =1 nếu (a,b) = 1. Số 5: Cho a là 1 số tự nhiên lẻ, b là 1 số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab+4 nguyên tố cùng nhau. Giải: Gỉa sử (a,ab+4) = d. (d≥1) Suy ra: a ∶d ab ∶d ị ab+4 ∶d ab+4 ∶d ị (ab+4)-ab ∶d ị 4 ∶d Suy ra : d= 1;2; 4. Vì a là số lẻ nên d= 2 hoặc d= 4 loại ị d = 1 ( thoải mãn) Vậy a và ab+4 nguyên tố cùng nhau. Số 6: Tìm số tự nhiên n để các số 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau. Giải: Gỉa sử 9n+24 và 3n+4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: (9n+24)- 3( 3n+4) ∶d 12 ∶d ị d= 2; 3. Điều kiện để (9n+24 , 3n+4) = 1 là d # 2 và d #3 Vì 3n+4 không chia hết cho 3 nên d #3 Muốn d # 2 thì phải có ít nhất 1 trong 2 số 9n+24 và 3n+4 không chia hết cho 2. Ta thấy 9n+24 là số lẻ Û9n lẻ Û n lẻ 3n+4 là số lẻ Û3n lẻ Û n lẻ Vậy điều kiện để (9n+24 , 3n+4) = 1 là n là số lẻ. Bài tập tương tự: Số 1: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: a, 4n+3 và 2n+3 b. 7n+13 và 2n+4 c, 9n+24 và 3n+4. Đáp số : a. n không chia hết cho 3 b, n là số chẵn c, n là số lẻ. Số 2: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng nguyên tố cùng nhau: b và a-b (a> b) a+b và ab. Số 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau là 2 số nguyên tố cùng nhau: a, 7n+10 và 5n+7 b, 2n+3 và 4n +8. Số 4: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n khac 0 thì số 3n+1 và số 4n+1 nguyên tố cùng nhau. Dạng 3: Chứng minh một số là số nguyên tố. Số 1: Cho m và m2+2 là 2 số nguyên tố. Chứng minh rằng m3+2 cũng là 1 số nguyên tố. Giải: Với m=2 thì m2+2=4+2= 6 là hợp số (loại) Với m=3 thì m2+2 = 9+2= 11 (thoải mãn) Với m= 3k+1 ( với k ẻ N) thì: m2+2 = (3k+1)2 +2 = 3(3k2+2k+1) là hợp số ( loại) Với m= 3k+2 thì: m2+2= (3k+2)2 +2 = 3(3k2+4k+2) là hợp số (loại) Vậy với m= 3 thì m và m2+2 là sốnguyên tố. Khi đó m3+ 2= 33+2 = 29 là số nguyên tố. Số 2:Chứng minh rằng nếu p và 8p2+1 là 2 số nguyên tố thì 8p2-1 là số nguyên tố. Giải: Nếu p =3k+1 ( kẻN) thì p2 = (3k +1)2 = 9k2 + 6k +1. = 3k ( 3k+2) +1 ị 8p2 + 1 = 8.3k(3k+2) +8+1 = 3. (8k (3k+2) +3) là hợp số. Trái với giả thiết. Tượng tự với trường hợp p = 3k – 1. Ta cũng suy ra trái với giả thiết. ị p = 3k mà p là số nguyên tố. ị p = 3. Vậy p = 3 thì : 8p2+1 nguyên tố và 8p2 – 1 nguyên tố. Số 3: Cho 2m – 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m nguyên tố. Giải: - Gỉa sử m là 1 hợp số. ị m =p.q với p, q ẻ N và p , q > 1. Ta có : 2m – 1 = (2p)q – 1 = (2p – 1) ( 2p(q-1) + 2p(q- 2) + ...+ 1 ) Vì p > 1 ị 2p – 1 > 1. Và 2p(q-1) + 2p(q- 2) + ...+ 1 > 1 Suy ra 2m – 1 là 1 hợp số ị Mâu thuẫn với giả thiết. -Khi m = 1 ị 2m – 1 = 1 ( loại) Vậy m là 1 số nguyên tố khi 2m -1 Bài tập tương tự: Số 1:Chứng minh rằng nếu p và p2 + 2 là số nguyên tố thì p3 + 2 cũng là số nguyên tố. Dạng 4: Bài tập liên quan Số 1: Chứng minh rằng 3 số a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6 ( Đề thi giáo viên dạy giỏi huyện 2007-2008) Giải: - a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ. Để a+ k là số nguyên tố thì k phải chẵn ị k ∶ 2 - Cần chứng minh k ∶ 3 Gỉa sử k không chia hết cho 3 suy ra k có dạng k= 3t+1 hoặc k=3t+2 (t ẻN) Xét a ở các dạng a=3p+1 và a= 3p+2 (p ẻN) Ta có: +, Với a= 3p+1 và k= 3t+2 thì: a+k= 3p+1+3t+2=3(p+t)+3 ( Hợp số ) (Loại) +, Với a=3p+1 và k= 3t+1 thì: a+2k= 3p+1+2(3t+1) = 3(p+2t)+ 3 là hợp số ( Loại) +, Với a= 3p+2 và k= 3t+1 thì: a+k = 3p+2+3t+1 = 3(p+t) +3 là hợp số ( loại) +, Với a = 3p+2 và k= 3t+2 thì: a+2k= 3p+2+2(3t+2) =3(p+2t) +6 là hợp số (Loại) Do vậy k ∶3 Như vậy a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6 Số 2 Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d ∶ 6 .Giải: Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 ( k ẻ N) (k>1) Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại 2 số cùng có 1 dạng , hiệu của chúng ( là d hoặc 2d) chia hết cho 3. Do đó d ∶ 3. Mặt khác d∶ 2 vì d là hiệu của 2 số lẻ. Vậy d chia hết cho 6. Số 3: Một số nguyên tố p chia hết cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r. Giải: Ta có: p = 42.k +r =2.3.7.k+r ( k;r ẻ N; 0< r <42) Vì p là số tự nhiên nên r không chia hết cho 2 ; 3; 7. Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9 ; 15; 21; 25;27;33;35;35; 39. Loại đi các số chia hết cho 3 và cho 7 chỉ còn 25. Vậy r = 25. Số 4: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a-1)(a+4) ∶ 6 Giải: a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 ( k ẻ N) Mà a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a là số lẻ. Suy ra a-1 là số chẵn nên a- 1 ∶ 2 ị (a-1)(a+4) ∶ 2 (1) - Với a = 3k+1 thì:(a-1)(a+4) =3k(3k+5) ∶ 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (a-1)(a+4) ∶ 6 - Với a= 3k+2 thì: (a-1)(a+4) = (3k+1)(3k+6) = 3.(3k+1)(k+2) ∶ 3 Vậy (a-1)(a+4) ∶ 6 Số 5 Một ngày đầu năm 2008, Huy viết thư hỏi ngày sinh của Long và nhận được thư trả lời: Mình sinh ngày a tháng b năm sinh 1906 +c và đến nay d tuổi. Biết rằng a.b.c.d = 59007 Huy đã tính được ngày sinh của Long và kịp viết thư chức mừng bạn. Hỏi Long sinh ngày nào? Giải: Theo đề ra ta có: a.b.c.d = 59007 , c+d =12. 1≤ a≤31 ; 1≤b≤ 12. Ta có: a.b.c.d = 59007 =3.13.17.89 Trong các ước của a, b, c, d chỉ có 13 và 89 có tổng là 102. Tuổi của Long không thể là 89. Vậy d = 13 và c = 89. Còn lại a.b = 3.17 Do b≤ 12 nên b= 3 và a =17. Vậy Long sinh ngày 17.3.1995 Số 6: Chứng minh rằng 2 số 2008100 – 1 và 2008100 +1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Giải: Ta có: 2008100 –1; 2008100 ; 2008100 +1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3. Ta có: 2008100 có tổng các chữ số 2+0+0+8 = 10 không chia hết cho 3. Nên 2008100 không chia hết cho 3. Do vậy trong hai số còn lại ít nhất phải có 1 số chia hết cho 3, số đó không thể là số nguyên tố. Vậy 2008100 - 1; 2008100 +1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Bài tập tượng tự : Số 1: Một số nguyên tố chia hết cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Số 2: Chứng minh nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì: (p-1)(p+1) ∶ 24. Số 3: Chứng minh rằng nếu 8p –1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số. Số 4: Cho p là số nguyên tố (p≥5) và 2p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p+1 và 4p-1 là hợp số. Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số. Kết luận: Với nội dung tôi đưa ra trong đề tài này hy vọng sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh bậc THCS đặc biệt là các em khá và giỏi môn toán và cho giáo viên trong quá trình giảng dạy môn toán ở cấp THCS. Khi thực hiện đề tài này tôi đã làm việc với tinh thần và ý thức rất nghiêm túc cộng vào đó là sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp song đề tài này tôi chỉ mới đưa ra được 1 phần nhỏ kiến thức cơ bản về số nguyên tố mà chưa thể khai thác hết tất cả kiến thức sâu sắc của vấn đề. Với kinh nghiệm làm nghiên cứu khoa học và kinh nghiệm giảng dạy chưa thật nhiều cũng như điều kiện để thực hiện đề tài còn có nhiều hạn chế nên chắc chắn trong đề tài còn có nhiều thiếu sót hi vọng được sự góp ý chân thành của các độc giả để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn mọi ý kiến của bạn đọc.