Các bài tập chọn lọc ôn Toán 9

Chuyên đề I: Căn thức bậc hai Bài 1 : 1) Đơn giản biểu thức : P = . 2) Cho biểu thức : Q = a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. Hướng dẫn : 1. P = 6 2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = . b) > - Q x > 1. c) x = thì Q Z Bài 2 : Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức sau P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = . b) Với x = thì P = - 3 – 2. Bài 3 : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để = A. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với x = thì A = - 1. c) Với 0 x < 1 thì A < 0. d) Với x > 1 thì = A. Bài 4 : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Xác định a để biểu thức A > . Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > 0 và a9. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với 0 . Bài 5 : Cho biểu thức: A = . 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A. 3) Với x Z ? để A Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1. c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z . Bài 6 : Cho biểu thức: A = . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = . b) Với 0 < x < 1 thì A < 0. c) x = thì A Z. Bài 7 : Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = b) Ta xét hai trường hợp : +) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A 2 > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm). Bài 8 : Cho biểu thức: P = (a 0; a 4) a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với a = 9. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P = b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4 Bài 9 : Cho biểu thức: N = 1) Rút gọn biểu thức N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a . b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005. Bài 10 : Cho biểu thức a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : b) Ta thấy ĐKXĐ . Suy ra c) Pmin=4 khi x=4. Bài 11 : Cho biểu thức a. Rút gọn P. b. Tìm x để c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn : a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn : b. Với thì c. Pmin= -1 khi x = 0 Bài 12: Cho A= với x>0 ,x1 Rút gọn A Tính A với a = ( KQ : A= 4a ) Bài 13: Cho A= với x0 , x9, x4 . Rút gọn A. x= ? Thì A < 1. Tìm để (KQ : A= ) Bài 14: Cho A = với x0 , x1. Rút gọn A. Tìm GTLN của A. Tìm x để A = CMR : A . (KQ: A = ) Bài 15: Cho A = với x0 , x1. a . Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A = ) Bài 16: Cho A = với x0 , x1. a . Rút gọn A. b. CMR : ( KQ : A = ) Bài 17: Cho A = a. Rút gọn A. b. Tìm để ( KQ : A = ) Bài 18: Cho A = với a 0 , a9 , a4. a. Rút gọn A. b. Tìm a để A < 1 c. Tìm để ( KQ : A = ) Bài 19: Cho A= với x > 0 , x4. Rút gọn A. So sánh A với ( KQ : A = ) Bài20: Cho A = với x0 , y0, Rút gọn A. CMR : A 0 ( KQ : A = ) Bài 21 : Cho A = Với x > 0 , x1. a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A = ) Bài 22 : Cho A = với x > 0 , x4. a. Rút gọn A b. Tính A với x = (KQ: A = ) Bài 23 : Cho A= với x > 0 , x1. a. Rút gọn A b. Tính A với x = (KQ: A = ) Bài 24 : Cho A= với x0 , x1. a. Rút gọn A. b. Tìm để (KQ: A = ) Bài 25: Cho A= với x0 , x1. a. Rút gọn A. b. Tìm để c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = ) Bài 26 : Cho A = với x0 , x9 . a. Rút gọn A. b. Tìm x để A < - ( KQ : A = ) Bài 27 : Cho A = với x0 , x1. a. Rút gọn A b. Tính A với x = (KQ: A = ) c . CMR : A Bài 28 : Cho A = với x > 0 , x1. a. Rút gọn A (KQ: A = ) b.So sánh A với 1 Bài 29 : Cho A = Với a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = c. Tìm x để A < 1. ( KQ : A = ) Bài30 : Cho A = với x0 , x1. a. Rút gọn A. b. CMR nếu 0 0 c. Tính A khi x =3+2 d. Tìm GTLN của A (KQ: A = ) Bài 31 : Cho A = với x0 , x1. a. Rút gọn A. b. CMR nếu x0 , x1 thì A > 0 , (KQ: A = ) Bài 32 : Cho A = với x > 0 , x1, x4. a. Rút gọn b. Tìm x để A = Bài 33 : Cho A = với x0 , x1. a. Rút gọn A. b. Tính A khi x= 0,36 c. Tìm để Bài 34 : Cho A= với x 0 , x9 , x4. a. Rút gọn A. b. Tìm để c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = ) Chuyên đề II: hàm số bậc nhất Bài 1 : 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . Bài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Hướng dẫn : 1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = . 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3. Với (x;y) = (1;1) m = B ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2). Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b. Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2. Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) Bài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = . Hướng dẫn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (). Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y =  ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003). 2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. Chuyên đề III: Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn . A. kiến thức cần nhớ : 1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0. Phương pháp giải : + Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = . + Nếu a = 0 và b ≠ 0 phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có vô số nghiệm. 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : Phương pháp giải : Sử dụng một trong các cách sau : +) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. B. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây : a) ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = . b) = 2 Giải : ĐKXĐ : ≠ 0. (*) Khi đó : = 2 2x = - 3 x = Với x = thay vào (* ) ta có ()3 + + 1 ≠ 0 Vậy x = là nghiệm. Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2). + Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Giải : Ta có : với m Z thì 2m – 3 0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - . để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m – 3 . Giải ra ta được m = 2, m = 1. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. Giải : a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x + Vì y Z x – 1 4. Giải ra ta được x = 1 và y = 4 bài tập phần hệ pt Bài 1 : Giải hệ phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 2 : Cho hệ phương trình : 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 3 : Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 : Cho hệ phương trình: có nghiệm duy nhất là (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhận giá trị nguyên. B ài5 : Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình có nghiệm là . Bài 7 : Cho hệ phương trình (a là tham số). 1) Giải hệ khi a = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2. Bài 8 (trang 22): Cho hệ phương trình : (m là tham số). Giải hệ khi m = -1. Giải và biện luận pt theo m. Bài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình : (m là tham số). a) Giải hệ khi m = -1. b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn. c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0. Bài 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ thỡ gaởp nhau. Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28 km. Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe. HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h . Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h. Bài 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứ trửa. Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A. ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng. Bài 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau giụứ thỡ ủaày beồ. Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau giụứ nửừa mụựi nay beồ . Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ. ẹaựp soỏ : 8 giụứ. Bài 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal). Hoỷi phaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C. Hửụứng daừn : Ta coự heọ pt : Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C. Bài 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50%. Laùi theõm 300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40%. Tớnh noàng ủoọ axớt trong dung dũch ban ủaàu. Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu. Theo baứi ra ta coự heọ pt : Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%. Chuyên đề iV: Phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a)Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac * < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm * = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - (hoặc x1,2 = -) * > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = ; x2 = (hoặc x1 = ; x2 = ) 2. Định lý Viột. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3. Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) = *) = *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (hoặc ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2 B . Bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Giải. Ta có = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + Nếu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + + Nếu = 0 m = 3 Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4 Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm Kết kuận: Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4 Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2 Với m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Hướng dẫn Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng - 6x – 3 = 0 x = - * Nếu m – 3 0 m 3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - Nếu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - = - 2 - Nếu > 0 m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = - Nếu < 0 m < 2 .Phương trình vô nghiệm Kết luận:Với m = 3 phương trình có nghiệm x = - Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 Với m > 2 và m 3 phương trình có nghiệm x1,2 = Với m < 2 phương trình vô nghiệm Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất 2x2 + 2007x – 2009 = 0 17x2 + 221x + 204 = 0 x2 + ()x - = 0 x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 Giải 2x2 + 2007x – 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = 17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = - = - 12 c) x2 + ()x - = 0 có: ac = - < 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -() = - + x1x2 = - = (- ) Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - , x2= (hoặc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 có : ac = - 6 < 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Hướng dẫn : x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 Hoặc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0 x = - 1 * m – 3 0 m 3 (*) Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 a) Tính: A = x12 + x22 B = C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và Giải ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7 a)Ta có + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = + C = = + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta có : S = (theo câu a) p = Vậy và là nghiệm của hương trình : X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0 Bài 6 : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) 1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Giải. 1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có: = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + ) = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0 -(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k 3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + ] Do đó x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k) k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.) Giải Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4 Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] => = 2 = khi m + = 0 m = - Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = - Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) Giải phương trình khi m = - Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Giải: Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 5x2 - 20 x + 15 = 0 phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3 + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = x2 = Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1) Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài) Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Giải 1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x = + Nếu m 0 .Lập biệt số = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4 4 : (1) vô nghiệm = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép x1 = x2 = - > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 2. (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0 Trường hợp không thoả mãn Trường hợp 0 < m < 3 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn *) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -.Sau đó thay m = - vào phương trình (1) : -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 có = 289 – 189 = 100 > 0 => Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3 *)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = (Như phần trên đã làm) Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm: x1 + x2 = x2 = - x1 = - 3 = Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số 1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Giải. 1.Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 ) k1 = ; k2 = Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép. 2.Có 2 cách giải. Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: 0 k2 + 5k – 2 0 (*) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x