Các bài toán bất đẳng thức hay và khó

Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 1 Cẩn Hằng Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có naaa ,...,, 21 nbbb ,...,, 21 ))(()( 222 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaa jiji =∀= II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Jack Garfunkel) Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức cba ,, cba ac c cb b ba a ++≤+++++ 4 5 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⋅++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑ ∑∑∑∑ cyc cyccyccyccyc cbaba acba cbaba acbaa cbaba acbaa ba a )95)(( )(5 )95)(( )95( )95)(( )95( 2 22 Như thế, ta chỉ cần chứng minh 16 5 )95)(( )( ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++ ∑cyc cbaba acba Như điều này hiển nhiên đúng vì 0 )95)(95)(95)()()((16 1230232835243)3)(9)(( )95)(( )( 16 5 222423232 ≥+++++++++ ++++−++ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++− ∑∑∑∑ ∑ bacacbcbaaccbba cbabcabcacbabababaab cbaba acba cyccyccyccyc cyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0:1:3:: =cba Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng cba ,, 2 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 5 11222 ≤+++++ accbba Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ∑∑ ∑∑∑∑ ++ +++=++ += ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +⋅++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + cyccyc cyccyccyccyc cba bcbaa cba ba cba bacba cba bacbaba 44 )(9 44 9 44 )44( 44 44 22 2 2 22 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng )( 25 121 44 )(9 2 cba cba bcbaa cyc ++≤++ +++∑ Ta có )44)(44)(44(25 6611163 )44)(44)(44(25 1092072519753003163 23224 233224 bacacbcba Abcababaa bacacbcba bcabaabbaa VTVP cyccyccyccyc cyccyccyccyccyc ++++++ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+ = ++++++ +−++ =− ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑ trong đó 01189825319751210 23322 ≥+++= ∑∑∑∑ cyccyccyccyc bcabaabbaA Ta chứng minh 06611 23224 ≥−−+ ∑∑∑∑ cyccyccyccyc bcababaa 0612 23222224 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⇔ ∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyc bcababcababaa Ta có ∑∑∑ −=− cyccyccyc babaa 222224 )( 2 1 3 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ −+−= −+++−−= −−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − cyc cyccyc cyccyccyccyccyc bcacabba bacabcabbabc babcbcacbbcaba )2)(( ))(()(3 )(333 22 2222 222323 ∑∑∑ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − cyccyccyc bcacabbcaba 2222 )2(6 Do đó bất đẳng thức tương đương 0)2)((2)2(2)( 2 1 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑ cyccyccyc bcacabbabcacabba 0)422( 2 1 222 ≥+−−−⇔ ∑ cyc bcacabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra. Bài 3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm chứng minh rằng ,,, cba 2222222 )( 4 3444 cbabacacbcba ++≤+++++ Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc cba cbacba cba cbacbaacba 53 )4()(3 53 )4()53(4 22 2 222 22 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2 22 )( 16 3 53 )4( cba cba cba cyc ++≤++ +∑ 0410183065366916545 2232233445 ≥−−−+++⇔ ∑∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyccyc cbabababcaabbaa Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với { cbac ,,min= } 0)18306691654545( 32234455 ≥+−−+++ Acbabaabbaba 0))(31015)(5(3 222 ≥+−+++⇔ Acbabababa Trong đó 4 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 432234 322322234 456918306165 )165436410536()306410410()18536(69 cbccbcbb acbccbbacbcbacbaA ++−−+ ++−+++−−+= Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { ,,,min cbac = } 0≥A .0:1:1:: =cba Bài 4. Cho các số dương , chứng minh cba ,, 233 4 33 4 33 4 cba ac c cb b ba a ++≥+++++ Giải. Bổ đề. 2222333 )( 3 1 cbacabcab ++≤++ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2333332 33 4 )()( cbabaa ba a cyccyc ++≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑ Ta phải chứng minh ))(()(2 3232325552333 accbbacbacbacba +++++++≥++ Ta có )()( 3 1 )()( )( ))(( )())(( 2222222222222 222222222333 222 222222333 222222323232 cbaabcaccbbacba cba cabcab cbaabcaccbbacabcab cba cabcab cabcabcbaabc cbaabcaccbbacabcab cba cabcab cabcabcbaabccabcabcabcabaccbba ++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++++++ ++≤ ++−+++++++ ++= +++++− ++++++++++ ++= +++++−++++=++ Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ))(( )( 3 1)())(()(2 222 22222222225552333 cbacbaabc accbbacbacabcabcbacbacba ++++− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++++++++++≥++ 5 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho ,1=++ cba đặt )10(, 3 1 2 ≤≤=−++ qabcrqcabcab thì ta có . 27 )21()1( 27 )21()1( 22 qqrqq −+≥≥+− Bất đẳng thức tương đương 0)5391087( 27 1)1(3))428(54( 246222 ≥+−++−−−+ qqqrqrqr Rõ ràng là hàm đồng biến theo rqrrf )428(54)( 22 −+= r nên ta có 0 27 ))31()242615(()5391087( 27 1 27 )21()1()1(3 27 )21()1()428( 27 )21()1(54 2222 246 2 2 2 2 22 ≥−++−=+−++ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+≥ qqqqqqqq qqqqqqqqVT Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba == Bài 5. (Phan Thành Nam) Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt cba ,, 1 , 2 31−=k chứng minh rằng 3)()()( 222 ≤−++−++−+ bakcackbcbka Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −−+ + += ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≤ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −+⋅+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ ∑∑ ∑∑∑∑ cyccyc cyccyccyccyc a cb a a a cbkaa a cbkaacbka 3 1 )( 2 32 3 1 13 3 1 )( 3 1 3 1 )( 3 1)( 2 2 2 22 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ( ) 3 3 1 )( 2 32 3 1 13 2 ≤ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −−+ + + ∑∑ cyccyc a cb a a 6 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt abcrcabcabq =≤++= , 3 1 thì ta có . 3 0 2qr ≤≤ Bất đẳng thức tương đương với ( ) ( ) 036329 ≤+−+ qqr Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 03)13(3632336329 2 ≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1=== cba hoặc 0,1 === cba và các hoán vị. Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++++≤+ + + + + accbbaabccabbca 1112111 222 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + +++ ++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⋅+ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑ ∑∑∑∑ 3)( ))()(( )(2 ))(( 1))(( ))(( 1))((1 2 2 2 2 2 2 cyc cyccyccyccyc bca cba accbba cba cababca caba cababca caba bca Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2 2 13)( ))()(( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + +++ ++ ∑∑ cyccyc cbbca cba accbba cba ))()()(( )333(3)( 2222 2 cbaaccbba cabcabcba bca cba cyc +++++ +++++≤++ +⇔∑ ))()()(( 3)( 222222444 2 cbaaccbba accbbacba bca cba cyc +++++ −−−++≤−+ +⇔∑ 0 ))(( 11))(( 2 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++−−⇔∑cyc cbacbbcacaba Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó ta có ,cba ≥≥ .0)( ≥−≥− cb b aca Do đó 7 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 0 ))()()()(( ))()(()( ))(( 11 ))(( 11))(( ))(( 11))(( 22 222 22 2 ≥++++++ ++−+−+−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++ −−≥ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++−−∑ cbacbcacabbcab bcacabbacbbabac cbaaccab b cbacbbca a b cbba cbacbbca caba cyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba == III. Bài tập tự giải. Bài 1. (Nguyễn Việt Anh) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba 3222222 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++≥+−++−++− Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2 23222 22 3 ))(22( 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− ∑∑∑∑ cyccyccyccyc abaacbabaababa a Cuối cùng ta chứng minh ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc acbabaaaaba 222 2 23 ))(22(3 Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba 2222222 )(888 cbabacacbcba ++≤+++++ Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyc cba cbaa cba cbacbaacba 210051 )8(51 210051 )8()210051(8 222222 22 Ta chỉ cần chứng minh 2 22 )( 210051 )8(51 cba cba cba cyc ++≤++ +∑ 8 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số không âm zyx ,, có tổng bằng , chứng minh rằng 3 3 111 ≥++++++++ xyx z zxz y yzy x Giải. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 6 3 32 2 )(8)32()32)(1( 1 zyxzyxxzyxyzyx yzy x cyccyccyc ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ∑∑∑ Do đó ta chỉ cần chứng minh ∑ ++++≥++ cyc zyxyzyxzyx 326 )32)(1(3)(8 ∑ ++++++++≥++⇔ cyc zyxyzzyxyzyxxzyx 3227 )32)(9)(3)(()(8 Ta có ∑∑∑ ∑∑∑∑ −−− +++++=++ − cyccyccyc cyccyccyccyc zyxzyxyzx zyxyxyxyxyxxy zyx VPVT 32234 22233244244 979324 261543926)(4 Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được ∑∑∑∑∑∑∑ ++≥+++++ cyccyccyccyccyccyccyc zyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxy 3223422233244244 979324261543926)(4 Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1=== zyx hoặc 0,3 === zyx và các hoán vị. Bài 2. (Lê Hữu Điền Khuê) Cho các số dương , chứng minh bất đẳng thức cba ,, 1 777 22 2 22 2 22 2 ≥++++++++ acac c cbcb b baba a Giải. 9 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt c az b cy a bx === ,, thì ta có 1,0,, => xyzzyx . Khi đó, bất đẳng thức trở thành 1 17 1 17 1 17 1 222 ≥ ++ + ++ + ++ zzyyxx Do nên tồn tại các số dương sao cho 1,0,, => xyzzyx pnm ,, ,,, 4 22 4 22 4 22 p nmz n mpy m pnx === ta phải chứng minh 1 7 442248 4 ≥ ++∑cyc pnpnmm m Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 3333442248 2 442248 4 )()7( 7 pnmpnpnmmm pnpnmm m cyccyc ++≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ∑∑ Như thế, ta chỉ cần chứng minh ∑ ++≥++ cyc pnpnmmmpnm )7()( 4422483333 0)()725( 443622533336 ≥−+−+⇔ ∑∑ symsym pnmnmpnmpnmnm Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba == hoặc các số thỏa cba ,, +∞→+∞→ c b b a , và các hoán vị. Bài 3. (Phan Thành Việt) Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng cba ,, 2 3 333 22 3 22 3 22 3 ≥+++++ ac c cb b ba a Giải. Bổ đề. ∑∑ −=−−−≥−++ cyccyc babaaccbbacbacba 2442222222222666 44))()((43 Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 3 2322 2 22 3 ))(3( 3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc abacababa a 10 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ∑∑∑ ++≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + cyccyccyc cabaaba 322 3 2 ))(3( 4 9 ∑∑∑ ++++≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⇔ cyccyccyc cabacbaaba 322 3 2 ))(3()(34 0786122723129 2222332433422456 ≥−−−+−−++⇔ ∑∑∑∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababababaa cyccyccyccyccyccyccyccyc Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng 07561227289 222233243342245 ≥−−−+−++ ∑∑∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababababa cyccyccyccyccyccyccyc Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 02 334224 ≥−+ ∑∑∑ cyccyccyc bababa 0756122779 22223324245 ≥−−−++ ∑∑∑∑∑ cbacbacbabcababa cyccyccyccyccyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1=== cba 11 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Phần 3. Các bài toán về kỹ thuật bình phương. I. Các bài toán mẫu. Bài 1. (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực thì cba ,, )(3)( 3332222 accbbacba ++≥++ Giải. Viết lại bất đẳng thức như sau 033 23222224 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyc bcababcababaa Chú ý rằng ∑∑∑ −=− cyccyccyc babaa 222224 )( 2 1 ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ −+−= −+++−−= −−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − cyc cyccyc cyccyccyccyccyc bcacabba bacabcabbabc babcbcacbbcaba )2)(( ))(()(3 )(333 22 2222 222323 ∑∑∑ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − cyccyccyc bcacabbcaba 2222 )2( 2 13 Nên bất đẳng thức tương đương 0)2)(()2( 2 1)( 2 1 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑ cyccyccyc bcacabbabcacabba 0)2( 2 1 222 ≥+−−−⇔ ∑ cyc bcacabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Với mọi số thực thì cba ,, ( ) )(3)(13 333444 accbbacbaabccba ++≥++−+++ Giải. Viết lại bất đẳng thức như sau 12 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 03 23222224 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyc bcababcababaa Chú ý rằng ∑∑∑ −=− cyccyccyc babaa 222224 )( 2 1 ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ −+−= −+++−−= −−=−=− cyc cyccyc cyccyccyccyccyc bcacabba bacabcabbabc babcbcacbbcaba )2)(( 3 1 ))(( 3 1)( )( 22 2222 222323 ∑∑∑ −+=− cyccyccyc bcacabbcaba 2222 )2( 6 1 Nên bất đẳng thức tương đương 0)2)(( 3 1)2( 6 1)( 2 1 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑ cyccyccyc bcacabbabcacabba 0)2( 3 1 2 1 2 22 ≥⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+−−⇔ ∑ cyc bcacabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Bài 3. (Phạm Văn Thuận) Cho các số thực chứng minh rằng ,,, cba 0)(10)(7 333444 ≥+++++ accbbacba Giải. Ta chứng minh kết quả mạnh hơn 4333444 )( 27 17)(10)(7 cbaaccbbacba ++≥+++++ Thật vậy, bất đẳng thức tương đương 0102513410186 222334 ≥−−−+ ∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyc bcabaabbaa 0353410186 2222323224 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⇔ ∑∑∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyccyccyc bcababcaabbcababaa Chú ý rằng 13 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng ∑∑∑ −=− cyccyccyc babaa 222224 )( 2 1 ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ −+−= −+++−−= −−=−=− cyc cyccyc cyccyccyccyccyc bcacabba bacabcabbabc babcbcacbbcaba )2)(( 3 1 ))(( 3 1)( )( 22 2222 222323 ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑∑ −+−−= −++−−= −=−=−=− cyc cyccyc cyccyccyccyccyccyc cabcabba bacabcabbaca bacaacbcbcabcbcaab )2)(( 3 1 ))(( 3 1)( )()( 22 2222 22222323 )561145)((34101 222323 bccaabbabcaabbcaba cyccyccyccyccyc −+−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⇒ ∑∑∑∑∑ ∑∑∑ −+=− cyccyccyc bccaabbcaba 2222 )561145( 5282 1 Do đó, bất đẳng thức tương đương với 0)561145( 5282 35)561145)(()(43 222222 ≥−++−+−+− ∑∑∑ cyccyccyc bccaabbccaabbaba 0)561145( 454252 369 )561145( 172 1)561145)(()(43 2 222222 ≥−++ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++−+−+−⇔ ∑ ∑ cyc cyc bccaab bccaabbccaabbaba 0)( 172 369)561145)(86( 172 1 22222 ≥−+−++−⇔ ∑∑ cyccyc bacbccaabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0=== cba II. Bài tập tự giải. Bài 1. (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực cba ,, 14 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng )(2 333333444 accbbacabcabcba ++≥+++++ Bài 2. (Phạm Văn Thuận) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọ thực i cba ,, 4333 )( 27 8)()()( cbaacccbbbaa ++≥+++++ 15 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Phần 4. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM. I. Tổng quan về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Nam) Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng cba ,, 2222 ≥+++++ accbba Giải. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ∑∑ ∑∑∑∑ +++ ++++=+++++ ++++= +++ ++≥ ++ ++= + +=+ cyccyc cyccyccyccyc acabba acabbaba bcbaaba bcbaaba baba baba baba baba ba baba 322 ))((2 )()( ))()((2 )( ))((2 )( ))(( 22 22 22 2 22 2 2 2 2 2 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng cba acabba acabbaba cyc ++≥+++ ++++∑ 322 ))(( 22 22 ∑∑∑∑∑ +≥++⇔ cyccyccyccyccyc cbacbabcacbaba 2233352425 222 02 19 6 19 4 19 9 22423223252525 ≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++⇔ ∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyc baaabcbcabaabccbaaccbba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1=== cba hoặc và các hoán vị. 0,1 === cba 16