Các bài toán về hình học ôn thi vào 10

CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI VÀO 10 THPT 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn. Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. a) Chứng minh CD//AB. b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua điểm K cố định. c) Chứng minh tích KM.KN không đổi. d) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là C', D'. Tìm vị trí của điểm M để chu vi của tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể được. 2) Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AC < AD. Gọi các điểm chính giữa của cung AC, AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD với CN là K. a) Chứng minh các tam giác NKD và MAK là các tam giác cân. b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp được. Suy ra KH//AD. c) So sánh góc CAK với góc DAK. d) Tìm một hệ thức giữa số đo cung AC và cung AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND. 3) Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kỳ. Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N, tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp được. b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vị trí của M. c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động. 4) Cho hai đường tròn (O), (O') bán kính lần lượt là R. R'(R>R') tiếp xúc ngoài tại A và một dây cung AB cố định của đường tròn (O). Một cát tuyến di động luôn qua A và cắt đường tròn (O) tại M và cắt đường tròn (O') tại N. Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: OM//O'N. b) Chứng minh: . c) Tứ giác ABQP là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đường tròn cố định. 5) Cho hai đườngg tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung tại A là Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại các điểm B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đường kính BO1D, CO2E. a) Chứng minh rằng M là trung điểm của BC. b) Chứng minh rằng tam giác O1MO2 vuông. c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng. d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d. 6) Cho đường tròn (O) bán kính R, trên đó có một dây cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB; P, Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S là giao điểm của các đường thẳng PB, QA. a) Chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O). b) Tứ giác AMBS là hình gì? Tại sao? c) Chứng minh độ dài SH không đổi. d) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH, PQ. Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định. 7) Cho đường tròn (O; R), trên đó có một dây PQ cố định, một đường tròn (O'; R') tiếp xúc ngoài với (O) tại P(PQ < 2R'). Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (O), N là giao điểm thứ hai của tia MP với đường tròn (O'). Đường thẳng qua N song song với PQ cắt đường thẳng MQ tại S và cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai T. a) Chứng minh rằng: . b) Chứng minh: PT = QS. c) Xác định vị trí của điểm M để 4 điểm P, Q, N, T là các đỉnh của hình bình hành. d) Chứng minh rằng S chạy trên một đường tròn cố định. 8) Cho một nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm M nằm trên cung AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K. Các tia AH, BM cắt nhau tại một điểm S. a) Tam giác BAS là tam giác gì? Tại sao? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với đường tròn (B; BA). c) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B; BA) tại một điểm N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định dù cho điểm M ở vị trí nào trên cung AB. d) Xác định vị trí của M sao cho . 9) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa các điểm C, D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a) Góc CID bằng góc CKD. b) Tứ giác CDEF nội tiếp được. c) IK song song với AB. d) Đường tròn ngoại tếp tam giác AFD tiếp xúc với AP tại A. 10) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R. Kẻ tiếp tuyến PM(M là tiếp điểm). a) Chứng minh BM song song với OP. b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Tứ giác OBNP là hình gì? Tại sao? c) Gọi K là giao điểm của AN với OP, I là giao điểm của ON với PM, J là giao điểm của PN với OM. Chứng minh rằng các điểm K, I, J thẳng hàng. d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O). 11) Cho một đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M(khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở điểm P. a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được. b) Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành. c) Chứng minh CM.CN không đổi. d) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định. 12) Cho đường tròn (O), trên đó có điểm A cố định. Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Lấy điểm M trên Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi I là trung điểm của MA và K là giao điểm thứ hai của BI với đường tròn (O). Tia MK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. a) Chứng minh các tam giác MIK và BIM đồng dạng. b) Chứng minh BC song song với MA. c) Có vị trí nào của M để tứ giác AMBC là hình bình hành hay không? Tại sao? d) Gọi H là trực tâm của tam giác AMB. Chứng minh rằng khi M di động trên tia Ax thì H chạy trên một đường tròn cố định. 13) Xét tam giác ABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kỳ qua A lần lượt cắt hai đường tròn nói trên tại M, N. a) Chứng minh H thuộc cạnh BC. b) Tứ giác BCNM là hình gì? Tại sao? c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh rằng bốn điểm A, H, P, Q cùng thuộc một đường tròn. d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất. 14) Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB và C là một điểm bất kỳ nằm giữa A, B. Tia MC cắt đường tròn tại D. a) Chứng minh rằng: MA2 = MC.MD. b) Chứng minh rằng: MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. d) Chứng minh khi C di động trên AB thì các đường tròn (O1), (O2) ngoại tiếp các tam giác BCD, ACD có tổng bán kính không đổi. 15) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H và kéo dài cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai tương ứng là D' và E'. a) Chứng minh: DD' = DH; EE' = EH. b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn đi qua H và hai trong ba điểm A, B, C đều bằng R. c) Nối CH cắt AB tại G và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai G'. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D'E'G'. d) Cho một đường tròn (O), một điểm A nằm trên đường tròn (O) và một điểm H nằm trong đường tròn (O). Hãy dựng tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và nhận H làm trực tâm. 16) Xét đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần lượt trên hai tia đó lấy các điểm C, D sao cho AC.BD = AP.PB (1). a) Chứng minh: . b) Chứng minh: . c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD. Chứng minh: . d) Tìm tập hợp điểm M khi C, D di động trên Ax, By nhưng vẫn luôn thỏa mãn (1). 17) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. a) Chứng minh: . b) Chứng minh tam giác BMD cân. c) Chứng minh rằng khi M di động thì D chạy trên một đường tròn cố định và độ lớn góc BDC không đổi. d) Xác định vị trí của M để tứ giác ABMD là hình thoi. Tính độ dài AM khi M ở vị trí đó, biết và bán kính đường tròn (O) bằng R. 18) Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại B, C. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của (O1), (O2). c) Chứng minh: . d) Các tia BA và CA cắt (O2) và (O1) lần lượt tại các điểm thứ hai D, E. Chứng minh rằng: . 19) Cho tam giác ABC vuông ở A(AB > AC) có đường cao là AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB ở E và nửa đường tròn đường kính HC cắt cạnh AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Tứ giác BEFC nội tiếp được. c) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. d) Giả sử . Chứng minh rằng bán kính của nửa đường tròn này gấp ba lần bán kính của nửa đường tròn kia. 20) Xét đoạn thẳng AD = a với trung điểm I, một tia Ix vuông góc với AD. Một đường tròn bất kỳ bán kính R() tiếp xúc với AD tại A cắt tia Ix tại B và C(B nằm giữa I, C). a) Chứng minh rằng: . Suy ra tích IB.IC không đổi khi đường tròn thay đổi. b) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác ADC. Có nhận xét gì về trực tâm của tam giác ABC khi đường tròn thay đổi. c) Gọi D' là điểm đối xứng của D qua đường thẳng AC. Chứng minh rằng D' cũng thuộc đường tròn. d) Nêu cách dựng tam giác ABC, cho biết . e) Xét trường hợp . Chứng minh rằng tứ giác ADCD' là hình thoi. 21) Xét đường tròn (O), một dây AB và điểm M bất kỳ trên cung lớn AB. a) Nêu cách dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AB tại B. Gọi N là giao điểm thú hai của hai đường tròn (O1) và (O2). b) Chứng minh rằng: . Có nhận xét gì về độ lớn của góc ANB khi M di động? c) Tia MN cắt đường tròn (O1) tại S. Chứng minh rằng tứ giác ANBS là hình bình hành. d) Xác định vị trí của M để hình bình hành ANBS có diện tích lớn nhất? 22) Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại hai điểm A, B. Các đường thẳng AO, AO' cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O') lần lượt tại các điểm thứ hai E, F. a) Chứng minh rằng ba điểm B, F, C thẳng hàng. b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp được. c) Chứng minh rằng A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE. d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O), (O'). 23) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn(M khác A). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB, cắt đường thẳng d tại C và D(D nằm trong góc BOM). a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM. b) Chứng minh: . c) Chứng minh CA và BD vuông góc với AB. d) Chứng minh: AC.BD = R2. e) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABDC nhỏ nhất. 24) Xét đoạn thẳng AB. Trên nửa mặt păhngr bờ AB, người ta kẻ các tia Ax//By. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D và với By tại E. a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M. b) Chứng minh AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax, By. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng. c) Chứng minh tam giác AMB vuông. d) Tìm tập hợp điểm M. 25) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn. Gọi các điểm chính giữa của các cung AM, BM lần lượt là H, I. Các dây AM và HI cắt nhau tại K. a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi. b) Hạ . Chứng minh đường thẳng IP tiếp xúc với (O; R). c) Gọi Q là trung điểm của dây BM. Vẽ hình bình hành APQS. Chứng minh S thuộc đường tròn (O; R). d) Chứng minh rằng khi M di động thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.