Các bài toán về phương trình và hệ phương trình

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn số ax+b=0 (*) : a. Nếu a 0 thì (*) có nghiệm duy nhất : x= b. Nếu thì phương trình (*) vô số nghiệm. c. Nếu thì phương trình (*) vô nghiệm. 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số (**) +/ Giải và biện luận hệ pt. a. Nếu ab’ – ba’ 0 thì (**) có nghiệm duy nhất. b. Nếu thì (**) vô số nghiệm. c. Nếu thì (**) vô nghiệm. +/ Hai hệ phương trình tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại (tức là tập hợp nghiệm của hai hệ bằng nhau). Để biến đổi hệ tương đương ta nhân hoặc cộng hai vế của phương trình với cùng một số 0. +/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai phương pháp: phương pháp thế và phương pháp cộng. 3. Phương trình có dạng bậc hai một ẩn. ax2 + bx + c = 0 (***) + / Giải và biện luận phương trình. a/ Nếu a=0 phương trình (***) trở thành phương trình dạng (*). b/ Nếu a 0 phương trình (***) là phương trình bậc hai một ẩn. Nếu = b2 – 4ac > 0 thì (***) có hai nghiệm phân biệt: Nếu = 0 thì phương trình (***) có nghiệm kép: Nếu < 0 thì phương trình (***) vô nghiệm. c/ Hệ thức Viet và ứng dụng. Hệ thức Viet: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm là x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là S= x1+x2=; P=x1.x2=. Tính nhẩm nghiệm: Nếu a+b+c=0 thì x1=1 và x2= Nếu a-b+c=0 thì x1=-1 và x2= Nếu biết tổng hai số là S và tích hai số là P thì hai số là nghiệm của pt: X2 - SX + P = 0 (điều kiện S2 -4P 0). 4/ giải bài toán bằng cách lập phương trình. Gồm các bước sau: Bước 1: lập phương trình. - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận. B/ CÁC BÀI TOÁN: 1/ Phương Trình Bậc Nhất. Bài 1: Giải các phương trình sau: a/ (x-2)2-(x+3)2=2(x-5) b/ c/ 1+3x= d/ e/ f/ Bài 2: Giải phương trình: a/ b/ Bài 3: Tìm m để phươnh trình a/ vô nghiệm. b/ có 1 nghiệm duy nhất. Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau: a/ mx+1=m2 +x b/ (a) 2/ phương trình bậc hai. Bài 1: Cho hai phươnh trình x2+x+a=0 , x2+ax+1=0 Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. Bài 2: Cho phương trình: x2-97x+a=0 có các nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình x2-x+b=0. Hãy tính a. Bài 3: Cho phương trình x2-(2m-3)x+m2-3m=0. a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm khi m thay đổi. b/ Định m để phương trình có hai nghiệm thoả: < << 6. Bài 4: Cho phương trình: (m+1)x2-2(m+2)x +m -3 =0 (có ẩn số là x) a/ định m để phương trình có nghiệm. b/ định m để phương trình có hai nghiệm thoả: Bài 5: Cho phương trình: x2- (2m+1)x+m2+m - 6=0 a/ định m để phương trình có hai nghiệm đều âm. b/ định m để phương trình có hai nghiệm thoả Bài 6: Các nghiệm x1, x2 của một phương trình bậc hai thoả. a/ Tìm phương trình bậc hai đã nói. b/ Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đều dương. Bài 7: Cho hàm số y= f(x) =(x-1)(x-2)(x+3)(x+4) a/ giải phương trình f(x)=24 b/ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3/ hệ phương trình: Bài 1: Giải hệ phương trình: Tìm m, biết rằng phương trình 2y –x =m có cùng nghiệm với hệ phương trình trên. Bài 2: Giải hệ phương trình: Bài 3: a. Giải hệ phương trình: b.Dùng kết quả trên để giải hệ pt sau: Bài 4: Tìm m Z để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất: Bài 5: Giả sử hệ phương trình sau đây có nghiệm : chứng minh rằng a3+b3+ c3=3abc Bài 6: Giải hệ phương trình: Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 4. Hệ phương trình chứa căn thức. Bài 1: Giải phương trình: - Bài 2: Giải các phương trình sau: 3x2+2x= X4-3x3-6x2+3x+1=0 Bài 3: Tìm nghiệm tự nhiên x, y, z thoả: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Cho số x= Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phương trình x3-3x-18=0 Tính x. 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bài 1. Cho một số gồm hai chữ số. Tìm một đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho. Bài 2. Một người đi bộ khởi hành từ vị trí A đi đến vị trí B. Sau đó 5giờ 20phút một người đi xe đạp bắt đầu từ A đuổi theo người đi bộ với vận tốc nhanh hơn người đi bộ 12km mỗi giờ và cả hai cùng đến B một lúc. Tính vận tốc của người đi bộ biết rằng đoạn đường AB dài 20km. Bài 3. Chu vi hình chữ nhật là 28m, và đường chéo là 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Bài 4. Người ta hoà vào 4kg chất lỏng A với 3kg chất lỏng B để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 km/m3. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng A lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng B là 200 kg/m3. Tính khối lượng riêng của chất lỏng B. Bài 5. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1h 30ph đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15phút và vòi thứ hai chảy trong 20phút thì đầy 1/5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể? Bài 6. Trong một cuộc thi đố em, mỗi đội tham gia phải trả lời 12 câu hỏi. - Mỗi câu trả lời đúng thì được 10 điểm. - Mỗi câu trả lời sai thì bị trừ đi 3 điểm. - Mỗi câu hỏi không trả lời được thì được 0 điểm. Tổng cộng lớp 9A trả lời được 61 điểm. Hỏi đội đã trả lời đúng được bao nhiêu câu? Trả lời sai bao nhiêu câu? Và không trả không trả lời bao nhiêu câu? C/ BÀI TẬP: Bài 1: Tìm giá trị của m để phương trình: 5(m+3x)(x+1)-4(1+2x)=80 có nghiệm x=2. Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình: (1) Có nghiệm gấp 6 lần nghiệm của phương trình: (2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy-3x+4y+8=0 Bài 4: Cho phương trình: x2 - 8x + m = 0. tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau: a/ x1 = 3x2 b/ x12 + x22 = 50 Bài 5: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm: (x+2)(x+5) + mx(x + 3) = 0 với mọi m Bài 6: Với giá trị nào của k thì phương trình x2-3kx+k2=0 có tổng bình phương các nghiệm bằng . Bài 7: Cho và a/ Chứng minh rằng và b/ Tìm phương trình bậc hai có nghiệm là x,y. c/ So sánh hai số x và 2y. Bài 8: cho phương trình bậc hai: x2+(m-2)x-(m2+2)=0 a/ Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m. b/ xác định m để hai nghiệm của phương trình thoả hệ thức: Bài 9: Cho phương trình x2 -2(m+1)x+m2-4m+5=0 (có ẩn số là x) a/ Định m để phương trình có nghiệm. b/ Gọi x1,x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính theo m. Bài 10: Cho phương trình bậc hai: x2+4x+m+1=0 (1) a/ Tìm m để (1) có nghiệm kép. b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn: Bài 11: Cho phương trình:x2-2(m+2)x+2m+1=0 (1) 1/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2/ Gọi x1,x2 là nghiệm của (1). a/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. b/ Tìm m để x21+x22 nhỏ nhất. Bài 12: a/ Cho p, q là hai số dương. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình: px2+x+q=0 x3,x4 là hai nghiệm của phương trình: qx2+x+p=0 Chứng minh: b/ Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình: x2+ax+b -1=0, x2+bx+c-1=0, x2+cx+a-1=0 có nghiệm. Bài 13: Cho phương trình: x2-2(m+1)x+m2-4m+5=0 (có ẩn số là x). a/ Định m để phương trình có nghiệm. b/ Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương. Bài 14: Giải các phương trình: a/ x2+ b/ Bài 15: Cho hệ phương trình hai ẩn x,y: a/ Giải hệ phương trình với m=1 b/ giải và biện luận hệ phương trình theo tham sốm. Bài 16 Giải hệ phương trình: Bầi 17: Biết x1, x2, x3, x4, x5 thoả mãn hệ. Tính theo r, p, q. Bài 18: Cho phương trình có ẩn x: a/ Giải phương trình với a=2. b/ Giải và biện luận phương trình theo a. Bài 19: Giải phương trình: a/ 2x + 8 b/ x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0. c/ x7 – 5x2 + 4 = 0 d/ x2 + 4x + 5 = 2. Bài 20: Tìm mọi x,y,z trong phương trình: x+y+z+4 = Bài 21: Giải phương trình: Bài 22: Giải phương trình: a/ b/ Bài 23:Giải phương trình: Bài 24: Tìm tất cả các số nguyên x thoả: x3+8 = Bài 25:Giải phương trình: Bài 26: Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng nếu mỗi chữ số giảm đi 1 ta được một số mới cũng là số chính phương. Bài 27: Cạnh huyền củamột tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2cm. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Bài 28: Một phòng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm ba dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm 2 chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp. Bài 29: Mọt người đi bộ từ nhà đến ga. Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và thấy rằng như vậy sẽ đén ga chậm 40 phút. Vì thế trên quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc 5km/h, do đó đến ga sớm 5 phút. Tính quãng đường từ nhà đến ga. Bài 30: Lúc 8 giờ sáng,một ô tô đi từ A đến B, đường dài 150km. Đi được quảng đường, xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa 15 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10 km/h. Biết lúc ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút. Hỏi ô tô bị hỏng máy lúc mấy giờ? Bài 31: Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút ca nô chạy từ bến sông A và đuổi kịp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h? Bài 32: Hai diểm A,B cách nhau 150km và hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau. Găp nhau ở vị trí C cách A 90km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi từ B đi trước ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở giữa quãng đường. Tính vận tốc mỗi ô tô. Bài 33: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được nửa thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được một phần ba thể tích của nó. Hãy xác định thể tích mỗi bình. Bài 34: hai người A và B cùng làm chung một công việc thì trong 6 giờ sẽ hoàn thành. Nếu người A làm trong 2giờ rồi người B làm trong 3giờ thì sẽ hoàn thành công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Bài 35: Hai đội công trình giao thông được giao sửa chữa một con đường. Đội I làm trong 5 ngày rồi giao lại cho đội II thực hiện tiếp.sau khi đội II làm được 4 ngày người ta thấy khi đó cả hai đội mơi hoàn thành được 40% công việc cần làm. Nếu khả năng thực hiện công việc không thay đổi, người ta tính rằng để hoàn thành khối lượng công việc còn lại cả hai đội phải cùng làm trong 5 ngày rồi riêng đội II làm thêm 3 ngày nữa. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng một mình thì trong bao nhiêu ngày sửa chữa xong con đường?