Các bài toán về ước chung lớn nhất; bội chung nhỏ nhất số học 6

Các bài toán về ưcln; bcnn số học 6 PHẦN II: NỘI DUNG Kiến thức cơ sở: * Qui ước: ƯCLN(a; b) : Ước chung lớn nhất của 2 số tự nhiên a và b. BCNN( a; b): Bội chung nhỏ nhất của 2 số tự nhiên a và b. 1) :CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT * Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 Học sinh nắm vững được các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9. 2) ƯỚC VÀ BỘI: +Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì: a gọi là bội của b, b gọi là ước của a. + Muốn tìm bội của 1 số tự nhiên, ta nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3;…. + Muốn tìm ước của 1 số tự nhiên , ta chia số đó lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến số đó. Nếu nó chia hết cho số nào thì đó là ước của số đó. 3) SỐ NGUYÊN TỐ; HỢP SỐ. .CÁCH PHÂN TÍCH 1 SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ. 4)CÁCH TÌM ƯCLN; BCNN CỦA 2 HAY NHIỀU SỐ: 2. Thực trạng vấn đề Các bài tập được đưa ra nhưng chưa đưa về các dạng toán. Học sinh có thể chưa biết cách làm các dạng bài tập. 3. Mô tả giải pháp Chuyên đề nhằm đưa các bài toán về các dạng toán cơ bản; phân loại để cho các em một cách nhìn và giải các bài toán nhanh hơn. Bài tập vận dụng I. TÌM ƯCLN; BCNN CỦA 2 HAY NHIỀU SỐ. BÀI TOÁN1. Tìm ƯCLN ; BCNN của: 56; 140 và 84. * Giải: Ta có: 56 = 23.7; 140 =22.5.7 ; 84 =22.3.7 Các thừa số nguyên tố chung là: 2; 7. Các thừa số nguyên tố riêng là: 3; 5. ƯCLN( 56; 140; 84) = 22.7 = 28 BCNN ( 56; 140; 84) = 23.3.5.7 = 840. BÀI TOÁN 2. Tìm ƯC; BC của 56; 140 và 84. *Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm. ƯC( 56; 140; 84) = Ư(28) = { 1; 2; 4; 7; 14; 28} BC ( 56; 140; 84) = B(840) ={0; 840;1680;...}. II. GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG VIỆC TÌM ƯCLN; BCNN CỦA 2 HAY NHIỀU SỐ. * Phương pháp giải: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN; BCNN của 2 hay nhiều số. BÀI TOÁN 3: a) Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420 a và 700 a b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a 18 *Giải: a) Theo đề bài: a sẽ là ƯCLN của 420 và 700. ƯCLN ( 420; 700) = 140. Vậy a = 140 b) Theo đề bài a sẽ là BCNN của 15 và 18. BCNN ( 15; 18) = 90. Vậy a = 90. BÀI TOÁN 4. Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ. * Giải Gọi số tổ là a ( aN*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chung của 48 và 72. Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ) Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ). Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ. BÀI TOÁN 5. Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần? * Giải: Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( aN*). Vì An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12. Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày ) Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần). Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần) . Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần. III. GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG VIỆC TÌM ƯC; BC CỦA 2 HAY NHIỀU SỐ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. * Phương pháp giải: - Phân tích đề bài , suy luận để đưa về việc tìm BC; ƯC của hai hay nhiều số cho trước. - Tìm BCNN; ƯCLN của các số đó. - Tìm các bội của BCNN này; Tìm các ước của ƯCLN này. - Chọn trong các số đó các bội và các ước thoả mãn điều kiện đã cho. BÀI TOÁN 6. a) Tìm số tự nhiên x biết rằng: 112 x; 140 x và 1< x < 25. b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: x 12; x 21; x 28 và 150 < x < 305. * Giải: a) x N ; 112 x; 140 x nên x ƯC ( 112; 140). ƯCLN ( 112; 140) = 28 nên x Ư ( 28) = { 1; 2; 4; 7;14; 28}. Mà 1< x < 25 nên x {2; 4; 7; 14 } b) x N; x 12; x 21; x 28 nên x BC( 12; 21; 28). BCNN( 12, 21, 28) = 84 nên x B( 84) = { 0; 84; 168; 252; 336; ...} Mà 150 < x < 305 nên x { 168; 252}. BÀI TOÁN 7. Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000 người. *Giải: Gọi số người của đơn vị là a( người). ( a N; a 1000). Khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15 người. Do đó : (a – 15) BC (20; 25; 30). BCNN ( 20; 25; 30) = 300. => ( a – 15) B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200;...} => a {15 ; 315; 615; 915; 1215; ...} Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41; a 1000 nên a = 615. KL: Số người của đơn vị là 615 người. IV. GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔNG QUÁT BẰNG VIỆC TÌM ƯCLN; BCNN CỦA 2 HAY NHIỀU SỐ. BÀI TOÁN 8. CMR: 14n + 3 và 21n + 4 ( n N) là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh: Để chứng minh 2 số là nguyên tố cùng nhau ta chứng minh ƯCLN của chúng bằng 1. Đây là dạng toán quen thuộc nhưng còn mới lạ với các em lớp 6. Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy suy luận logic của các em. Gọi d = ƯCLN ( 14n + 3; 21n + 4). ( dN*) => 14n + 3 d và 21n + 4 d => 3( 14n + 3) d và 2( 21n+4) d => 3( 14n + 3) – 2( 21n+ 4) d => 1 d. => d = 1. Do đó 14n + 3 và 21n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau. * Gv cần nhấn mạnh việc làm thế nào tại sao ta lại nhân (14n + 3) với 3 còn (21n +4) với 2 để làm triệt tiêu đi n. BÀI TOÁN 9. Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 ( n N*) * Cách làm tương tự như bài trên nhưng mức độ khó hơn vì ta chưa thể tìm ngay ra ƯCLN mà phải suy luận. Chứng minh: Gọi d = ƯCLN ( 2n - 1; 9n + 4). ( dN*) => 2n - 1 d và 9n + 4 d => 9( 2n - 1) d và 2( 9n+4) d => 2( 9n + 4) – 9( 2n - 1) d => 17 d. => d Ư ( 17) = { 1; 17} Ta có : 2n – 1 = 2n – 18 + 17 = 2 ( n- 9) + 17 Nếu d = 17. => 2n – 1 = 2 ( n- 9) + 17 17 => 2( n- 9) 17. Vì 2 và 17 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên suy ra n- 9 17 => n - 9 = 17k ( k N) => n = 17k + 9 ( k N) Lúc đó 9n + 4 = 9( 17k + 9) + 4 = 9. 17k + 85 17 KL: + Nếu n = 17k + 9 ( k N) thì ƯCLN ( 2n – 1; 9n + 4) = 17 + Nếu n 17k + 9 ( k N) thì ƯCLN ( 2n – 1; 9n + 4) = 1 V. MỘT SỐ KẾT QUẢ . 1. Nếu a b thì ƯCLN( a; b) = b; BCNN ( a; b) = a. 2. Nếu ƯCLN (a; b) = 1 thì BCNN( a; b) = a.b 3. ƯCLN( a; b) . BCNN( a; b) = a.b 4. Nếu ƯCLN( a; b) = d => ƯCLN ( ) = 1. 5. Nếu ba số a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN( a; b; c) = abc. 6. Nếu a = bq+ r ( r N; 0 r ƯCLN( a; b) = ƯCLN( b ; r) ( Thuật toán Ơclit) BÀI TOÁN 10. Tìm a; b biết rằng a.b = 2400 và BCNN ( a; b) = 120. *Giải: Ta có : ƯCLN ( a; b) . BCNN( a; b) = a.b Do đó: ƯCLN( a; b) . 120 = 2400 => ƯCLN( a; b) = 20. Đặt a = 20. x; b = 20.y với ƯCLN( x; y) = 1. và x; y N Ta có: a.b = 20x.20y = 400 xy =2400 xy = 6 +Với x= 1 => y = 6. Vậy a = 20; b = 120 + Với x = 2 => y =3. Vậy a = 40; b = 60 + Với x = 3 => y = 2 . Vậy a = 60; b = 40 + Với x = 6 => y = 1. Vậy a = 120; b = 20. BÀI TOÁN 11. Tìm ƯCLN (a; b) biết rằng a là số gồm 1991 chữ số 2; b là số gồm 8 chữ số 2. *Giải: Ta có 1991 chia cho 8 dư 7; còn 8 chia 7 dư 1. Theo thuật toán Ơclit ƯCLN ( a;b) = ƯCLN ( ƯCLN ()=ƯCLN() = 2. * Rõ ràng để giải bài toán này ta đã vận dụng linh hoạt thuật toán Đây là một bài toán khó nếu ta làm thông thường mà không sử dụng thuật toán thì sẽ rất khó làm ra. 4. Kết quả thực hiện Chuyên đề này tôi đã dạy cho học sinh của mình, các em tiếp thu tốt và vận dụng thành thạo. Rất mong các thầy cô góp ý thêm cho chuyên đề của tôi để giúp tôi dạy cho các em hiệu quả và chất lượng hơn.