Các cách giải của một bài toán Hình học 7

PHÒNG GIÁO DỤC CAI LẬY TRƯỜNG THCS VÕ VIỆT TÂN TỔ : TOÁN - TIN & SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC CÁCH GIẢI CỦA MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC 7 Người thực hiện : Lê Văn Trí Năm học : 2007 - 2008 Phần I : LỜI NÓI ĐẦU Kết quả học tập của học sinh là rất quan trọng trong quá trình dạy và học. Nó phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, trong đó có phương pháp dạy và học. Trong nhiều năm gần đây, phong trào đổi mới phương pháp dạy và học được dấy lên một cách mạnh mẽ. Đổi mới phương pháp dạy và học ở trường THCS đòi hỏi chúng ta phải đổi mới cách học. Trong đó học sinh là người phải làm việc nhiều, các em phải tự đọc sách giáo khoa, tự tìm đọc các loại tài liệu tham khảo khác, sách báo tạp chí về tốn hay đi tham quan thực tế … Từ đó các em tự mài mò, phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh, … để tìm ra chân lý. Đó là cách học giúp các em nhớ lâu, nhớ được nhiều kiến thức nhất. Để học sinh có thêm tài liệu tự học, giúp các em thêm hiểu bài, giải được nhiều bài tập, trình bày bài toán, bằng nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài tốn hình học, người viết xin giới thiệu các cách giải của một bài tốn hình học 7 – NXB giáo dục năm 2003 trang 73 bài số bài 42. (sách giáo khoa hiện hành). “chứng minh định lý : Nếu tam giác cĩ một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đĩ là một tam giác cân” Qua đĩ nhằm giúp các em cĩ thêm nhiều cách giải mới, giải hay, ngắn gọn và dễ hiểu.Từ đĩ gợi lên cho các học sinh một cách suy nghĩ phải làm sao tìm ra nhiều cách giải hay để giải quyết một bài tốn và tự đặt ra câu hỏi rằng: mình sẽ chọn cách giải nào là tối ưu nhất để giải bài tốn này? Đĩ là mục tiêu lớn nhất mà người viết muốn gởi vào đây qua bài viết này, nhằm giúp các em tránh đi tư tưởng “ngán” môn hình học, tạo cho các em có sự yêu thích môn hình học ngay buổi đầu tiếp xúc . Nội dung của tài liệu này trình bày 7 cách giải một định lý tốn hình học 7. Qua quyển tài liệu này, người viết mong muốn giúp các em hiểu cĩ rất nhiều lời giải cho cùng một bài tốn, với mỗi cách khai thác vấn đề khác nhau ta sẽ được một cách giải khác nhau cho cùng một đề bài, nhằm rèn luyện cho các em tư tưởng khơng được hài lịng với một cách giải mà lúc nào cũng phải cĩ tư tưởng luơn tìm ra cách giải mới, cách lạ, hay hơn và ngắn gọn hơn. Từ đó, rèn luyện chon các em tư duy suy luận phân tích vấn đề, trình bày bài giải một cách mạch lạc, để các em có thể ứng dụng tốt vào trong bài kiểm tra và bài thi học kì để đạt được kết quả một cách tốt nhất. Cai lậy, ngày 9 tháng 02 năm 2008 Người viết Lê Văn Trí PHẦN II : PHẦN NỘI DUNG Dưới đây là một số cách giải trong phạm vi kiến thức của lớp 7. Lời giải TĨM TẮT ĐỀ BÀI : GT Cho AD vừa là trung tuyến, vừa là phân giác của gĩc A. KL cân tại đỉnh A Trong tam giác ABC, AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác. Ta chứng minh tam giác ABC cân . Cách 1: Trên tia AD lấy điểm E sao cho DE = AD Ta cĩ : AD = DE (do cách vẽ) BD = DC (do AD là trung tuyến từ đỉnh A của ) (đối đỉnh)Suy ra : (c . g . c) Suy ra : AB = CE (1) Mà (so le trong ) (do AD là phân giác của gĩc A) Nên suy ra cân tại C Suy ra : CE = AC (2) Từ (1) và (2) suy ra AB = AC vậy cân tại A. Cách 2 : Trên tia AD lấy một điểm E sao cho BE = AB (3) Suy ra : cân tại B. Do đĩ ; AD = DE Mà (gt) nên (đối đỉnh) Mặt khác (c. g. c) Suy ra BE = AC (4) Từ (3) và (4) suy ra : AB = AC vậy cân tại A. Cách 3 : Kẻ đường thẳng qua B và song song với AC cắt đường thẳng AD tại E. Ta cĩ : ( so le trong ) ( đối đỉnh ) BD = DC (gt) Suy ra : ( g.c.g) nên AB = BE (5) vì ( so le trong ) (gt) Suy ra : Do đĩ cân tại B. suy ra AB = BE (6) Từ (5) và (6) suy ra AB = AC vậy cân tại A. Cách 4 : Vẽ DH vuơng gĩc với AB (H) DK vuơng gĩc với AC (K ) AD là cạnh chung (gt) Suy ra : (cạnh huyền và gĩc nhọn) Do đĩ : DH = DK Mặt khác BD = DC (gt) Suy ra : (cạnh huyền và cạnh gĩc vuơng) Do đĩ : Vậy cân tại A. Cách 5: Xét hai tam giác ABD và ADC Ta cĩ : AD là cạnh chung hạ từ đỉnh A. BD = DC (gt) Diện tích của tam giác ABD bằng: Diện tích của tam giác ADC bằng: Suy ra : (7) Mặt khác (cạnh huyền và một gĩc nhọn) Suy ra : DH = KH (8) Từ (7) và (8) ta cĩ AB = AC .Vậy cân tại A. Cách 6 : Qua D kẻ đường thẳng cắt AC tại I, cắt đường thẳng đi qua A song song với BC tại E. Ta cĩ : (g. c.g) suy ra : AE = BD mà BD = DC (gt) suy ra : AE = DC xét ta cĩ : (so le trong) (so le trong ) AE = DC (cmt) Suy ra : (g.c.g) Do đĩ : IC = IA (9) Mặt khác (so le trong ) (gt) Suy ra : Do đĩ cân . Suy ra : IA = ID (10) Từ (9) và (10 ) ta cĩ IC = ID Vậy cân tại I. Suy ra : Mặt khác ( đồng vị ) Do đĩ . Vậy cân tại A. Cách 7: Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại I, Cắt đường thẳng đi qua B song song với AD tại E. Ta cĩ : (đồng vị) (đồng vị) BD = CD (gt) suy ra : (g.c.g) do đĩ BE = AD mà (So le trong ) suy ra : (g.c.g) do đĩ : BI = IA (11) ta cĩ : (so le trong) (gt) Suy ra : cân tại I. nên IA = ID (12) Từ (11) và (12) suy ra IB = ID Do đĩ cân tại I. suy ra Mà (đồng vị ) Suy ra : . Do đĩ cân tại A. Bài tốn cịn nhiều cách giải khác nửa nếu ta khai thác vấn đề ở những gĩc độ khác nhau. PHẦN III : KẾT LUẬN . Việc tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán, giúp học sinh luôn khai thác sâu nhất bài toán, đòi hỏi các em phải tìm tòi, nhận xét, phán đoán, nhìn vấn đề ở nhiều khía cạnh khác nhau, để từ đó tổng hợp đưa ra các một cách diễn đạt, cách trình bày lời giải của vấn đề tốt nhất. Thực tế lớp trường tôi năm 2007 – 2008 đã có 80, 7% biết trình bày bài giải bài toán hình học theo các bước : vẽ hình chú thích đầy đủ dữ kiện lên hình – tóm tắt đề bài (ghi giả thuyết và kết luận)- dựa vào dữ kiện mà đầu bài đã cho và hỏi, các em đã thiết lập được sơ đồ phân tích ngược, từ giả thuyết đã cho các em phân tích, suy luận, tìm thêm những điều kiện mới, dữ kiện mà đề bài chưa cho hoặc còn thiếu, để giải quyết được vấn đề nhỏ, để từ đó giải quyết được vấn đề lớn (ở ngoài giấy nháp), rồi sau đó trình bày lại bài giải theo sơ đồ phân tích ngược vào bài làm, cuối cùng kiểm tra lại bài giải, dấu câu và các kí hiệu tốn học. Bên cạnh những học sinh học tốt, vẫn còn 19,3% học sinh do quên kiến thức cũ, không tóm tắt được đề bài, vẽ hình chưa chính xác nên các em gặp khó khăn trong lúc trình bày, tìm lời giải, đặc biệt là các em chưa biết cách trình bày các định lý bằng ký hiệu toán học, đưa đến việc các em trình bày lời giải bằng chữ rất dài, mất thời gian, lời giải chưa hợp lý. Nhưng từ khi áp dụng phương pháp phân tích khai thác bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tìm nhiều lời giải cho một bài toán thì số học sinh hiểu bài, trình bày bài giải ngắn gọn, dễ hiểu, giải quyết được vấn đề, ngày càng tăng lên đạt 86, 2% chỉ còn lại 13,8% học sinh trình bày bài giải chưa hợp lý (trình bày chủ yếu bằng lời, chưa sử dụng ngôn ngữ toán học khi giải hay lời giải chưa chính xác) hoặc tính sai kết quả.Người viết mong rằng qua bài viết này các em sẽ tìm ra nhiều cách giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, để rèn luyện tư duy học toán chính xác, khoa học, tạo bước cơ bản để các em học tiếp lên cao hơn. Cai lậy, ngày 9 tháng 02 năm 2008 Người viết Lê Văn Trí