Các dạng bài tập cơ bản về biến đổi vectơ

Các dạng bài tập cơ bản về biến đổi vectơ Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau. a)- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Vectơ cùng phương với vectơ () khi và chỉ khi co số k sao cho=k b)Hai vectơ bằng nhau: = , cùng hướng và = -Chứng tỏ hai vectơ cùng hướng -Độ dài hai vectơ bằng nhau VD1: Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Tìm các vectơ lần lượt cùng phương với và Tìm các vectơ lần lượt cùng hướng với và Tìm các vectơ ngược hướng với VD2: Cho hình thoi ABCD .Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?vì sao? a) = b) = c) = d) = VD3: Cho tam giác ABC .Từ trung điểm M,N của các cạnh AB,AC vẽ ME BC, NF BC.CMR:= VD4: Cho tam giác ABC cân tại A,trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho D không trùng với A và B ,trên tia đối của tia CA lấy một điểm E sao cho BD= CE ,DE cắt BC tại F. CMR: = Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau. C1: AB= C2: AB = (Với I tuỳ ý) Note: -G là trọng tâm của tam giác ABC++= -G là trọng tâm của tam giác ABC++=(Với O tuỳ ý) VD1: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’.CMR: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : ++=. HD: - Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giac ABC và A’B’C’ ta có: ++=++++++++=3 (vì ++=,++=). -GG’= Vậy: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : ++=. VD2: Cho tam giác ABC .Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B,B’ là điểm đối xứng với B qua C,C’ là điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G. HD: - Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giac ABC và A’B’C’ ta có: ++=++++++++=3 -Mà: ++=2(++)= =GG’ Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G. Dạng III:Chứng minh một đẳng thức về véctơ Các cách thường sử dụng: Biến đổi tương đương,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản ,biến đổi bắc cầu... Kiến thức liên quan: +Sử dụng quy tắc ba điểm: Với ba điểm M,N,P bất kì ta có += +Sử dụng quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có += + Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu là một vectơ đã cho thì ta có =- +Sử dụng tính chất trung điểm: . M là trung điểm đoạn thẳng AB+= . M là trung điểm đoạn thẳng AB+=2(Với O là điểm tuỳ ý) +Sử dụng tính chất trọng tâm: .G là trọng tâm của tam giác ABC++= .G là trọng tâm của tam giác ABC++=(Với O là điểm tuỳ ý) VD1: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì ;I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD . a)CMR: += 2 b)Gọi O là trung điểm của IJ .CMR: +++= c)M là điểm bất kì.CMR: +++=4 HD: a)=++, = +++= 2(Vì I,J là trung điểm của AB ,CD) b) +=2,+=2 +++=(Vì O là trung điểm IJ) c) +++=-+-+-+-= +++=4 VD2: Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần lượt là trọng tâm,trực tâm,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac;AD là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.CMR: a)Tứ giác HBDC là hình bình hành. b)+ += 2 c)++= d) O,G.H thẳng hàng. HD: a)DC AC,BH AC DC//BH;DB AB,CH AB DB// CH HBDC là HBH b)+Gọi A’ là trung điểm của BC= 2(Vì A’O là đường trung bình của AHD) mà += 2+ += 2 ++ += 2-+-+-=-2 ++= VD3: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . a)CMR: = - =-- b)Gọi M là trung điểm của BC .CMR:= - HD: a)G là trung điểm của HB+=2=2-=-(1) Vì=+ (1) =-=-- b) M là trung điểm của BC=(+)=(-+)= - Dạng IV:Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng phương.Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Cho và là hai véc tơ không cùng phương. Với mọi vectơ ta có=m+n(m,nR) Ba điểm A,B,C thẳng hàng =k(k0) Ba điểm A,B,C thẳng hàng = m+nvới m+n =1 VD1: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho = 3,+3=, +=. a)Biểu diễn các vectơ ,,theo các vectơ và b) Biểu diễn các vectơ, theo các vectơ và c)CMR:M,N,P thẳng hàng. HD: a) +==;+3==;= 3=- b) =-=-(1) ;=-=-(2) c)Từ (1), (2) =2 M,N,P thẳng hàng. VD2: Cho tam giác ABC .Gọi I là điểm trên BC kéo dài và IB = 3IC . a) Tính vectơ theo các vectơ và b)Gọi J,K lần lượt là những điểm trên cạnh AC,AB sao cho JA= 2JC,KB=3KA. Tính theo và c)Tính theo và HD: a)gt=3-=3(-)=-+(1) b) gt=,==-=-(2) c) (1), (2) =-=-10-24 VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi = 2, 3+2= a)Tính theo và. b)CMR: =- c)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. HD: a) = 2=2;3+2===-2+(1) b)Gọi M là trung điểm của AC=(+)=- (+)=- c) = 2==--=-+(2). Từ (1), (2) 5=6I,J,G thẳng hàng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Dạng V: Xác định một điểm thoả mãn một hệ thức về vectơ. Cho:O, khi đo tồn tại duy nhất một diểm M sao cho =k(k không đổi) VD1:Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì.CMR: =+- 2không phụ thuộc vào vị chí điểm M.Dựng điểm D sao cho =. HD: +=+- 2=-2=+=2(I là trung điểm của AB) +==2D là đỉnh thứ tư của hbh ACBD. VD2: Cho hai hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M,N thoả mãn: a) --= ; b)+-= + - ; HD: a) --= =+=M đối xứng với A qua C. b) +-= + - +== N là đỉnh thứ tư của hbh DACN. Dạng VI:Tìm quỹ tích. +=với O có định và không đổi thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính . += với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của AB. +=kvới O cố định , không đổi ,kR thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua O và có phương cùng phương với vectơ . +=kvới O,A cố định, kR thì tập hợp điểm M là đường thẳng OA. VD1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn : a) + = - b) + = + c) + = k(-);kR HD: a) + = - 2=(với I là trung điểm của AB) MI=AB.Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bkán kính AB. b) + = +2=2(với J là trung điểm của AC) MI=MJ. Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của IJ. c) + = k(-)=k. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua I và song song với BC VD2: Cho tứ giác ABCD. a)Xác định điểm O sao cho : +4=2. b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức + 4-2=3 HD: a) +4=23=2-4=2-2=4=(I là tđ của BD) O là đỉnh thứ tư của hbh BIEO với E xác định bởi =. b) + 4-2=33++4-2=3 3=3MO=MA. Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA. Bài tập làm thêm A.Tự luận: 1. Cho bốn điểm M,N,P,Q bất kì .CM các đẳng thức sau: a)++= b) +=+ c) +=+ 2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F . CMR: a)+ +=++ b) +=+ 3. Cho tứ giác ABCD .Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD;O là trung điểm của IJ. CMR: +++= 4.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. CMR: 2 = + = + 5.Cho tam giác ABC .Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ , CARS. CMR: ++=. 6.Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. a)CMR: +++++=. b)Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD,AF,DE. CMR: = . 7.Cho tam giác ABC và hai điểm I,F cho bởi:+3=;+2+3=. CMR:I,F,B thẳng hàng. 8. Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D sao cho =,gọi E là điểm thoả mãn: 4+2+3=. a)Tính theo và. b)CMR: A,E,D thẳng hàng. 9. Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần lượt là trọng tâm,trực tâm,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac;AA’ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.CMR: a)+= b)+ += 2 c) O,G.H thẳng hàng. 10.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. CMR: Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. 11.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. a) Dựng các điểm M,N sao cho =,=. b) CMR: = 12.Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: -+=. 13.Cho tam giác ABC. a)Tìm điểm I thoả mãn: 2+ = . b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: 2+= ++ 14.Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3 BI và F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Tính , theo ,. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính theo ,. 15.Cho tam giác ABC. Xác định vị chí điểm M sao cho: ++2= 16. Cho tam giác ABC. a) Xác định vị chí điểm M sao cho: +2= b) Xác định vị chí điểm N sao cho: + 2 = 17. Cho tam giác ABC cố định và điểm M di động. CMR: a)+4-5không phụ thuộc vào vị chí điểm M. b) +2-3 không phụ thuộc vào vị chí điểm M. 18. Cho tam giác ABC. a)Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính theo , b)Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi := và =. Tính , theo , c)CMR: P, Q, R thẳng hàng. B.Trắc nghiệm: 1.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Hệ thức nào dưới đây là đúng? A. +=2 B. +=+ C. += D. += 2.Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng của B qua G. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. = - B. = - C. = - D. = + 3.Cho tam giác ABC, có thể xác định bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là A, B, C? A. 3 B. 6 C. 4 D. 9 4.Cho bốn điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng? A. -=- B. +=- C. +=+ D. +=+ 5.Cho hình vuông ABCD. Câu nào sau đây đúng? A. = B. = C. = D. = 6.cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a.Độ dài của + bằng bao nhiêu? A. a B. a C. 2a D. a 7)Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4.Véctơ +có độ dài là? A. 2 B. 2 C. 4 D. 8)Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.H là trung điểm của cạnh BC. Vectơ -có độ dài bằng bao nhiêu? A. B. C. D. 9) Cho tam giác ABC vuông tại A.G là trọng tâm của tam giác, BC=12. Vectơ + có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2 B. 2 C. 8 D. 4 10).Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai? A. +=2 B. +=2 C. +=2 D. 2++= 11) Cho tam giác ABC và điểm I sao cho = 2. Đẳng thức nao sau đây đúng? A. =- B. =+ C. =-- D. =-+2 12) Cho tam giác ABC và điểm I sao cho + 2=. Đẳng thức nao sau đây đúng? A. =- B. =+ C. =-- D. =-+2 14)Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. =- B. =+ C. =- D. =-+ 15) Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. = + B. =+ C. = - D. =- 16) Cho các mệnh đề sau: a) Hai véctơ đối nhau thì cùng hướng và có độ dài bằng nhau. b) Hai véctơ đối nhau thì có giá trùng nhau. c) Hai véctơ đối nhau thì cùng phương và có độ dài bằng nhau. d) Hai véctơ cùng phương và có độ dài bằng nhau thì đối nhau. Hỏi có mấy mệnh đề đúng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17)Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. = B. = C. = D. = 18)Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào dưới đây đúng? A. = B. =2 C. = D. = 19)Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và Cvới AB=2a, CB=5a. Độ dài vectơ bằng bao nhiêu? A. 7a B. 3a C. D. 10a2 20)Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB=3a, CD=6a. Khi đó +bằng bao nhiêu? A. 9a B. 3a C. -3a D. 0 21)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó +bằng bao nhiêu? A. 2a B. 2a C. a D. 0 22)Cho ba điểm bất kì A,B,C. Đẳng thức nào dưới đây đúng? A. =- B. =- C. - = D. -= 23)Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị -bằng bao nhiêu? A. 2a B. a C. a D. 24)Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai? A. 3=++ B. 3=++ C. 3=++ D. 3=++ 25)Cho điểm B nằm giũa hai điểm A và C, với AB=2a và AC=6a. Đẳng thức nào dưới đây đúng? A. = B. = -2 C. = 4 D. = -2 26)Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu =-3thì đẳng thức nào dưới đây đúng? A. =4 B. =-4 C. =2 D. =-2 27)Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB? A. OA=OB B. = C. = D. += 28)Nếu G là trọng tâm tam giấc A, B, C thì đẳng thức nào dưới đây đúng? A. =+ B. =+ C. =+ D. =+ 29)Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào dưới dây đúng? A. ++= B. - ++= C. + -= D. 2+ += 30)