Các dạng toán phương trình vi phân

CÁC DẠNG TOÁN PHƢƠNG TRèNH VI PHÂN DẠNG 1: Pt vi phõn với biến phõn li Dạng: M(x)dx+N(y)dy=0 Pp: Tớch phõn 2 vế    M(x)dx +   N(y)dy =C là nghiệm TQ Dạng đưa được về biến phõn li: M1(x)N1(y) dx+M2(x) N2(y)dy=0 Pp: chia 2 vế cho N1(y) M2(x) Ngoài ra N1(y) =0 cho ta nghiệm kỡ dị của nghiệm riờng DẠNG 2: PT vi phõn thuần nhất cấp 1. Dạng y’=f(x;y) , trong đú hàm f(x;y) là hàm thuần nhất Pp: Đặt: u= y x => y=u.x (x≠0) =>y’=u’x+u Pt trở thành: u’x+u=f(1; y x ) u’x+u=f(1; u) => u’x= f(1; u) -u du dx x = f(1; u) -u => du f(1;u)-u = dx x là pt phõn li Ngoài ra f(1; u) -u =0 cho nghiệm kỡ dị DẠNG 3: pt đƣa về pt thuần nhất. y’=f ( a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2 ) Pp: ● Nếu C1 2 +C2 2 =0 => C1=C2=0 → PT thuần nhất ● Nếu    a1 a2 b1 b2 =0 , a1x+b1y=k(a2x+b2y) Đặt a2x+b2y = z Xột   C1 2 +C2 2 =0    a1 a2 b1 b2 Đặt   x=x1+k y=y1+l y’ = f      a1x1+b1y1+a1k+b1l+c1 a2x1+b2y1+a2k+b2l+c2 xỏc định k & l :   a1k+b1l+c1=0 a2k+b2l+c2=0 thế vào pt => pt thuần nhất DẠNG 4: Pt vi phõn toàn phần: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 Pp: ĐK để là pt vi phõn toàn phần là ∂M ∂y = ∂N ∂x với mọi (x,y) thuộc TXĐ Nghiệm của pt là: u(x,y) = C Với u(x,y)=    xo x M(x,y)dx +    yo y N(xo,y)dy , hoặc u(x,y)=   xo x M(x,yo)dx+   yo y N(x,y)dy, xo;yo là điểm tựy ý DẠNG 5: Thừa số tớch phõn. Nếu M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 chưa thỏa ∂M ∂y = ∂N ∂x khi đú nhõn 2 vế với hàm à à.M(x,y)dx + à.N(x,y)dy =0  tỡm à: theo ĐK  toàn phần ∂(àM) ∂y = ∂(àN) ∂x  ∂à ∂y .M + ∂M ∂y .à= ∂à ∂x .N+ ∂N ∂x .à ∂      ∂M ∂y - ∂N ∂x = N. ∂à ∂x - M. ∂à ∂y  ∂M ∂y - ∂N ∂x = ∂à à∂x - M ∂à à∂y => ∂M ∂y - ∂N ∂x = N. ∂lnà ∂x - M. ∂lnà ∂y là pt vi phõn đạo hàm riờng Xột ● TH1: à= à(x) → ∂à ∂y =0 → ∂M ∂y - ∂N ∂x = N. ∂lnà ∂x → ∂lnà ∂x = ∂M ∂y - ∂N ∂x N lnà=    ∂M ∂y - ∂N ∂x N dx => à= ℮  ∂M ∂y - ∂N ∂x N dx ● TH2: à= à(y) tương tự ∂lnà ∂y = ∂N ∂x - ∂M ∂y → à=℮  ∂N ∂x - ∂M ∂y M dy DẠNG 6: Phƣơng trỡnh vi phõn tuyến tớnh: y’+p(x).y=q(x) Pp: xỏt định P(x) và q(x) => nghiệm TQ là y=            q(x).℮  P(x)dx dx+C .℮ -   P(x)dx DẠNG 7: pt bộcnuly: y’+P(x).y=q(x).y α Pp:  α=1 α=0 ta được pt vi phõn thuần nhất   α≠0 α≠1 chia 2 vế pt cho yα Pt: y α .y’+P(x).y 1-α =q(x) Đặt z=y1-α dz dx =(1-α).y-α .y’ => y -α .y’= z’ 1-α Thế vào pt z’ 1-α +P(x).z=q(x)  z’+(1-α).P(x).z=(1-α).q(x) là pt vi phõn thuần nhất DẠNG 8: pt lagrăng y=g(y’).x+h(y’) Pp: đặt y’=p pt: y=g(p)x+h(p) y’=g’(p) dp dx .x+g(p)+h’(p). dp dx  p-g(p)= [ ]g’(p).x+h’(p) dp dx coi x là hàm của p dx dp = x.g’(p)+h’(p) p-g(p) tỡm x qua p Cũn y=g(p)x+b(p) Đường cong tỡm được cho dưới dạng tham số   x=A(p) y=y(p).A(p)+h(p) DẠNG 10: pt klờrụ y=xy’+h(y’) là pt đặt biệt của lagrăng Pp: đặt y’=p PHƢƠNG TRèNH VI PHÂN GIẢM CẤP ĐƢỢC DẠNG 1: y”=f(x) vế phải chỉ chứa x Pp: tớch phõn liờn tiếp 2 lần DẠNG 2: y”=f(x,y) vế phải khụng chứa y Pp: Đặt y’= P=> y’=f(x,p) là pt cấp 1, hàm phải tỡm là P(x). DẠNG 3: y’=f(y,y”) vế phải khụng chứa x Pp: đặt y’=P coi P là hàm của y y”x2 =P’y.y’x=P’P thế vào PHƢƠNG TRèNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Dạng: a1(x)y”+a2(x)y’+a3(x)y=g(x) ( )a1(x)y”≠0 Vỡ a1(x)≠0 nờn pt viết lại là y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) là pt vi phõn khụng thuần nhất Khi f(x)=0 thỡ pt y”+P(x)y’+q(x)y=0 là pt thuần nhất PHƢƠNG TRèNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG DẠNG pt khụng thuần nhất cấp 2 hệ số hằng: y”+Py’+qy=f(x)  Pp: xột pt tn y”+Py’+qy=0  Xột pt đặc trưng: k2+pk+q=0 (*) ■Tỡm nghiệm của : (*) cú 2 no pb k1,k2 thỡ y =C1e k 1x +C2e k 2x (*) cú no kộp k1,2 thỡ y =C1e k 1x +x.C2e k 2x (*) cú no phức k=α+-ιβ => y =e αx ( )C1cosβx+C2sinβx (*) cú 2 no phức k=α+-ιβ => y =e αx ( )C1cosβx+C2sinβx +e αx ( )C3cosβx+C4sinβx ■Tỡm một nghiệm riờng y* của  nghiệm TQ của  là y= y +y* Cú 2 cỏch tỡm y* ●Cỏch 1: tỡm nghiệm y*=C1(x)y1+C2(x)y2 trong đú C1(x), C2(x) là nghiệm của hệ   C’ 1y1+C’2y2=0 C’ 1y’1+C’2y’2=f(x) ●Cỏch 2: Dựng khi f(x) đặt biệt. Cú 2 trường hợp ▪TH1: f(x)=℮ αx .P(x)  α≠k1, k2 => y*=℮ αx .Q(x)  α≡ 1 no đơn => y*= x℮ αx .Q(x)  α≡ k1≡k2 => y*=x 2℮αx .Q(x) bậc của Q(x)=P(x) ▪TH2: f(x)= e αx ( )P1(x)cosβx+P2(x)sinβx Xột α+-ιβ  α+-ιβ khụng trựng với nghiệm của (*) =>y*=eαx ( )Q1(x)cosβx+Q2(x)sinβx , Q1(x);Q2(x)là đa thức bậc bằng bậc lớn nhất trong P1(x) và P2(x)  α+-ιβ≡ với nghiệm của (*) => y*=x.eαx ( )Q1(x)cosβx+Q2(x)sinβx ■