Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2009

1 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng : 1 2 1 2 : ; : 2 2 3 4 1 2 x t x y z d d y t z t            1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất. Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 ) Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a 1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D. 2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N. Đáp số : 1) 1 1 6 ( , ) 6 a d A B B D  2) Góc giữa MP và C1N bằng 90 0 Bài 3 : D – 2002 : 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ). 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là : ( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0 Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) . Đáp số : 1) 6 34 ( , ( )) 17 d A DBC  2) m = - 1 / 2 Bài 4 : A – 2003 : 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện  , ' ,B A C D . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau. Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện  , ' ,B A C D bằng 1200. 2) a) 2 ' 4 BDA M a b V  b) 1 a b  Bài 5 : B – 2003 : 1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 22) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 8 ) và điểm C sao cho (0;6;0)AC   . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5. Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng dk là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : ( ) : 3 2 0 ; ( ) : 1 0P x ky z Q kx y z        Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0. Đáp số : 1 vtcp của dk là 2 1 2, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1u n n k k k k k                 Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM. b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 300 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : 2 6 / 3 b) 2ABMB SABM SAMNV V V   Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d : 3 2 1 1 4 x t y t z t           . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn d. Đáp số : 4 2 4 ' : 3 2 1 x y z d       Bài 9 :D – 2004 : 1)Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’. BiÕt A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0 a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng B’C vµ AC’ b)Cho a, b thay ®æi nh­ng lu«n tho¶ m·n a + b = 1. T×m a, b ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ AC’ lín nhÊt 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vµ mÆt ph¼ng (P): x + y + z - 2 = 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P) Đáp số : 1) a) 1 1 2 2 ( , ) ab d B C AC a b   b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2. 2) Phương trình mặt cầu : 2 2 2( 1) ( 1) 1x y z     Bµi 10 - A 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®­êng th¼ng 3d: 1 3 3 1 2 1 x y z      vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. a.T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 2 b.T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng  n»m trong mÆt ph¼ng (P), biÕt  ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d. Đáp số : a) Có 2 điểm : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I’ ( 3 ; - 7 ; 1 ) b) Phương trình tham số của : 1 4 x t y z t         Bµi 11 - B 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 víi A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4) a.T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1, C1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (BCC1B1). b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ song song víi BC1. mÆt ph¼ng (P) c¾t ®­êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN. Đáp số : a) A1 ( 0 ; - 3 ; 4 ) , C1 ( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mặt cầu : 2 2 2 576( 3) 25 x y z    b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Tọa độ điểm N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN = 17 2 Bµi 12. D 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng: d1: 1 2 1 3 1 2 x y z      vµ d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : 2 0 ; ( ) : 3 12 0x y z x y        a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 song song víi nhau. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2 b.MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch OAB (O lµ gèc to¹ ®é) Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0. b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => SOAB = 5 Bµi 13- A 2006 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. a.TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ MN. b.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa A’C vµ t¹o víi mÆt ph¼ng Oxy mét gãc  biÕt cos= 1 6 Đáp số : a) 2 ( ' , ) 4 d A C MN  b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2 0a b c   ). Vì ( Q) chứa A’ và C nên : c + d = 0 và a + b + d = 0. => c = - d = a + b. Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 4Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1). Ta có : 2 2 2 21 1 cos 26 6( ) a ba b b aa b a b               Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = 2 . ta có ptmp : 2x – y + z – 1 = 0 Với b = -2a : Chọn a = 1 => b = - 2 . ta có ptmp : x – 2y - z + 1 = 0 Bµi 14- B 2006 :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai ®­êng th¼ng : d1: 1 1 2 1 1 x y z     d2: 1 1 2 2 x t y t z t          a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song víi d1 vµ d2. b.T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M  d1, N  d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 ) Bµi 15- D 2006 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(1; 2; 3) vµ hai ®­êng th¼ng d1: 2 2 3 2 1 1 x y z      d2: 1 1 1 1 2 1 x y z      a.T×m to¹ ®é ®iÓm A’ ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®­êng th¼ng d1 b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng  ®i qua A vu«ng gãc víi d1 vµ c¾t d2 Đáp số : a) A’ ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chính tắc của 1 1 3 : 1 3 5 x y z        Bµi 16 - A 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d1: 1 2 2 1 1 x y z     vµ d2: 1 2 1 3 x t y t z         a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 chÐo nhau. b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): 7x + y - 4z = 0 vµ c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3) Phương trình chính tắc của d : 2 1 5 1 3 7 1 4 7 1 4 x y z x y z hay            Bµi 17- B 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa trôc Ox vµ c¾t (S) theo mét ®­êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng 3. b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (P) lín nhÊt Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là , (0; 1; 2)n i OI        => ( Q) : y – 2z = 0. 5Bµi 18 - D 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) vµ ®­êng th¼ng : 1 2 1 1 2 x y z     a.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (OAB). b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng  sao cho MA2 + MB2 nhá nhÊt Đáp số : a) Ptđt d : 2 2 2 1 1 x y z     b) M( - 1 ; 0 ; 4 ) Bµi 19 - A 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(2 ;5 ;3) vµ ®­êng th¼ng 2 2 12 1 :)(    zyx d a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d) b) Viªt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng () chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A tíi () lµ lín nhÊt. Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d => H ( 3 ; 1 ; 4 ) b) Là mp đi qua H và vuông góc với AH => ptmp : x – 4y – z + 3 = 0. Bµi 20 - B 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) . a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C b) T×m to¹ ®é M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC. Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0. b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : 2 2 2 ( ; ; ) ( ) (2;3; 7) M x y z P M MA MB MC      Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) tại trung điểm I ( 0 ; - 1 ; 1 ) của BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt : 2 2 3 0 (2;3; 7)1 1 1 2 4 x y z Mx y z             Bµi 21- D 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho 4 ®iÓm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D b) T×m to¹ ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : 2 2 2 3 3 3 0x y z x y z      , tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 ) b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 ) Bài 22 – A 2009: Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Đáp số :   31 1 3a 3 3a 15 V a 2a 2a 3 2 55         2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng 1 : x 1 y z 9 1 1 6     ; 2 : x 1 y 3 z 1 2 1 2       . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Đáp số :M (0; 1; -3) hay M 18 53 3 ; ; 35 35 35       6Bài 23 – D 2009: Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Đáp số: d(A,IBC) 3 2 3 4 3 2 2 5 3 9 52 5 5 IABC IBC V a a a S a     2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 2 y 2 z 1 1 1      và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng . Đáp số: x 3 y 1 z 1 1 2 1       Bài 24 – B 2009: Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Đáp số: V= 39 208 a  2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Đáp số: Pt () : x 3 y 0 z 1 26 11 2      