Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2009 phần hình học không gian

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 Phần hình học không gian. Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng : 1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất. Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 ) Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a 1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D. 2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N. Đáp số : 1) 2) Góc giữa MP và C1N bằng 900 Bài 3 : D – 2002 : 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ). 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là : ( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0 Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) . Đáp số : 1) 2) m = - 1 / 2 Bài 4 : A – 2003 : 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau. Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện bằng 1200. 2) a) b) Bài 5 : B – 2003 : 1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 8 ) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5. Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng dk là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0. Đáp số : 1 vtcp của dk là Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM. b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 300 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : b) Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn d. Đáp số : Bài 9 :D – 2004 : 1)Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’. BiÕt A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0 a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng B’C vµ AC’ b)Cho a, b thay ®æi nh­ng lu«n tho¶ m·n a + b = 1. T×m a, b ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ AC’ lín nhÊt 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vµ mÆt ph¼ng (P): x + y + z - 2 = 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P) Đáp số : 1) a) b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng khi a = b = 2. 2) Phương trình mặt cầu : Bµi 10 - A 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®­êng th¼ng d: vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. a.T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 2 b.T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng D n»m trong mÆt ph¼ng (P), biÕt D ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d. Đáp số : a) Có 2 điểm : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I’ ( 3 ; - 7 ; 1 ) b) Phương trình tham số của Bµi 11 - B 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 víi A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4) a.T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1, C1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (BCC1B1). b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ song song víi BC1. mÆt ph¼ng (P) c¾t ®­êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN. Đáp số : a) A1 ( 0 ; - 3 ; 4 ) , C1 ( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mặt cầu : b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Tọa độ điểm N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN = Bµi 12. D 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng: d1: vµ d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 song song víi nhau. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2 b.MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch DOAB (O lµ gèc to¹ ®é) Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0. b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => SOAB = 5 Bµi 13- A 2006 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. a.TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ MN. b.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa A’C vµ t¹o víi mÆt ph¼ng Oxy mét gãc a biÕt cosa= Đáp số : a) b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( ). Vì ( Q) chứa A’ và C nên : c + d = 0 và a + b + d = 0. => c = - d = a + b. Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1). Ta có : Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = 2 . ta có ptmp : 2x – y + z – 1 = 0 Với b = -2a : Chọn a = 1 => b = - 2 . ta có ptmp : x – 2y - z + 1 = 0 Bµi 14- B 2006 :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai ®­êng th¼ng : d1: d2: a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song víi d1 vµ d2. b.T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M Î d1, N Î d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 ) Bµi 15- D 2006 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(1; 2; 3) vµ hai ®­êng th¼ng d1: d2: a.T×m to¹ ®é ®iÓm A’ ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®­êng th¼ng d1 b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng D ®i qua A vu«ng gãc víi d1 vµ c¾t d2 Đáp số : a) A’ ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chính tắc của Bµi 16 - A 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d1: vµ d2: a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 chÐo nhau. b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): 7x + y - 4z = 0 vµ c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3) Phương trình chính tắc của d : Bµi 17- B 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa trôc Ox vµ c¾t (S) theo mét ®­êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng 3. b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (P) lín nhÊt Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là => ( Q) : y – 2z = 0. Bµi 18 - D 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) vµ ®­êng th¼ng D: a.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (OAB). b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng D sao cho MA2 + MB2 nhá nhÊt Đáp số : a) Ptđt d : b) M( - 1 ; 0 ; 4 ) Bµi 19 - A 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(2 ;5 ;3) vµ ®­êng th¼ng a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d) b) Viªt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (a) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A tíi (a) lµ lín nhÊt. Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d => H ( 3 ; 1 ; 4 ) b) Là mp đi qua H và vuông góc với AH => ptmp : x – 4y – z + 3 = 0. Bµi 20 - B 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) . a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C b) T×m to¹ ®é M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC. Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0. b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) tại trung điểm I ( 0 ; - 1 ; 1 ) của BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt : Bµi 21- D 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho 4 ®iÓm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D b) T×m to¹ ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : , tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 ) b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 ) Bµi 22 – A 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. §¸p sè : V=3a3Ö15/5 Bµi 23 – B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. §¸p sè V= 9a3/208 Bµi 24 – D 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). §¸p sè V = 4a3/9 d= 2aÖ5/5