Các phương pháp thương dùng để giải phương trình vô tỉ

các phương pháp thương dùng để giải phương trình vô tỉ A- Đặt vấn đề Trong việc học toán ở chương trình THCS việc hệ thống và nắm được các kiến thức một cách có hệ thống và tự phân thành các dạng kiến thức cho bản thân mình đối với học sinh là rất khó chính. Vì vậy tôi có sáng kiến viết hệ thống hoá lại toàn bộ các dạng và phương pháp giải phương trình vô tỉ, giúp học sinh hiểu sâu hơn và có cách nhìn sâu hơn về phương trình vô tỉ và từ đó cũng biết cách làm tương tự đối với các dạng toán khác B - Nội dung chính của đề tài I) Phương pháp biến đổi tương đương A) Lí thuyết b ³ 0 a = b2 a³ 0 , b ³ 0 a + b + 2= c *) Thí dụ áp dụng +) Giải các phương trình sau a) x - = 0 Ta có : x = x = 3 b) x = 0 c) x = 4 d) x = 2 II) Phương pháp đổi biến *) Phương trình dạng : af(x) + b + c = 0 *) Phương pháp Đặt = t ( t³ 0 ) phương trình tương đương với at2 + bt + c = 0 Tìm t bằng cách giải phương trình bậc II *)Thí dụ áp dụng +) Giải các phương trình sau a) x(x + 1) - Đặt = t ( t³ 0 ) Phương trình t2 - t - 2 = 0 t = -1 (Loại) , t = 2 (Nhận) Với t = 2 = 2 x2 + x = 0 x = 0 , x = -1 b) Đặt (t ³ 0 ) 5x2 + 10x + 1 = t2 x2 + 2x = pt t = 7 - t2 + 5t - 36 = 0 t = 4 (nhận), t = -9(loại) Với t = 4 x2 + 2x - 3 = 0 x = 1 , x = -3 *) Dạng (1) trong đó a, b, c, d, n là các hằng số, c > 0, d ¹ 0 *) Phương pháp Điều kiện : a + cx ³ 0 , b - cx ³ 0 Đặt = t ( t ³ 0 ) phương trình đã cho có dạng 2t + d( t2- a - b) = 2n "Tìm t bằng cách giải phương trình bậc hai" +)Thí dụ áp dụng +) Giải các phương trình sau a) Điều kiện : -1 £ x £3 Đặt , ( t ³ 0 ) pt t2 - 2t = 0 t = 0, t = 2 +) Với t = 0 không tồn tại x +) Với t = 2 x=-1, x = 3 b) ( 1 ) Điều kiện : x ³ -1 Đặt : , ( t ³ 0 ) 3x + 2 = t2 - 4 pt ( 1 ) t2 - t - 20 = 0 t = 5 ( nhận ), t = - 4 ( loại ) Với t = 5 2 = 21 - 3x *) Phương trình dạng Trong đó a, b, c, m là hằng số, a ¹ 0 *) Phương pháp Đặt : t = , ( t ³ 0 ) x = t2 + b pt - Xét hai trường hợp : +) t ³ a , thì phương trình trở thành 2t = ct2 + bc + m ct2 - 2t + bc + m = 0 +) 0 £ t £ a thì phương trình trở thành , ct2 - 2a + bc + m = 0 *) Thí dụ áp dụng +) Giải phương trình sau Đặt : , ( t ³ 0 ) Khi đó x = t2 +9 Phương trình trở thành : 6 6 TH1 : Với t ³ 3 pt t2 - 12t + 32 = 0 t = 8 , t = 4 khi t = 4 x = 25 Khi t = 8 x = 73 TH2 : Với 0 £ t £ 3 pt t2 = 4 t = 2 Khi t = 2 x = 13 Vậy phương trình đã cho có 3 n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13 III) Phương pháp đưa về hệ *) Nhận dạng tổng ( hiệu ) các biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào biến *) Phương pháp : đổi biến để đưa về các hệ phương trình cơ bản +) Thí dụ áp dụng +) Giải các phương trình sau a) TXĐ : Đặt : (u, v ³ 0 ) Ta có hệ phương trình x = b) TXĐ : x ³ 1 Đặt và ( b ³ 0 ) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có ; ; Từ đó ta có các nghiệm là : x1= 2 ; x2= 1; x3 = 10 *) Phương trình dạng : x2 + Với a ³ 0 *) Phương pháp Đặt y = ( y ³ 0 ) y2= x + a +) Kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình x2 - y2 + y + x = 0 ( x + y )( x - y + 1 ) = 0 TH1: x = - y Suy ra phương trình có dạng y2+ y - a = 0 " Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai" TH2 : x = y - 1 Suy ra phương trình có dạng y2 - y + 1 - a = 0 "Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai" IV) Phương pháp đánh giá +)Phương đánh giá thường sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai vế để tìm nghiệm *) Các ví dụ áp dụng +) Giải các phương trình sau a) = x2 - 6x + 11 +) Xét (VT)2 = ()2 £ ( 12 + 12)( x - 2 + 4 - x ) = 4 Þ VT £ 2 , VT = 2 x = 3 +) Xét VP = ( x - 3 )2 + 2 ³ 2 , VP = 2 x = 3 Vậy phương trình có nghiệm x = 3 b) Ta có VT = VT = 5 x = -1 Ta có VP = 4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 £ 5 VP = 5 x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 c) ĐK : x > áp dụng bất đẳng cosi cho VT ta được dấu = xẩy ra x = x2 - 4x + 1 = 0 x = 2 , thỏa mãn V) Phương pháp sử dụng nghiệm duy nhất +) Nhận dạng: VT luôn tăng hoặc luôn giảm, vế phải luôn tăng hoặc luôn giảm +) Phương pháp: Mò nghiệm sau đó chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất *) Các ví dụ áp dụng +) Giải phương trình sau ĐK : x ³ - 1 Ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình +) Xét x > 3 Þ ; Þ VT > 3 Þ phương trình không có nghiệm x > 3 +) Xét -1 £ x < 3 thì ; Þ VT < 3 Þ phương trình không có nghiệm -1 £ x < 3 Các bài tập tự luyện về phương trình vô tỉ Giải các phương trình sau 1) 2) 3) 4) 5) x2 + 3x + 1 = (x + 3) 6) 7) 8) 9) 10) ( x - 3 )( x + 1 ) + 4( x - 3 ) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 3x2 + 2x = 30) 31) 32) 33) 34) = 9 35) x3 + 1 = 2 36) x2 + 37) x2 + 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) x2 – 1 = 2x 50) 51) 52)