Cách giải một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

Phần i :đặt vấn đề 1/ Lý do chọn đề tài: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất cần thiết và quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong đời sống sinh hoạt của loài ngừơi. Toán học xuất hiện từ lâu đời và đã mang lại không ít những thành quả vĩ đại .Ngày nay với sự phát triển của các ngành khoa học cơ bản , các ngành công nghệ then chốt như viễn thông , dầu khí ... đến các lĩnh vực các đều không thể thiếu Toán học và càng không thể thiếu đối với học sinh THCS. Toán học không những cung cấp cho học sinh những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lô gic, một phương pháp luận khoa học. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy nói chung và phương pháp giảng dạy môn Toán cấp THCS nói riêng, để thực hiện điều đó vai trò người thầy hết sức quan trọng. Do đó bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong sách giáo khoa mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển ra và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. Vì vậy tôi luôn suy nghĩ, lựa chọn phương pháp mới đối với bài học mới mà ở đó tính tích cực, tính linh hoạt của tư duy và tính tự lập của các em được thực hiện, các kỹ năng trí tuệ được khêu gợi, yêu cầu tư duy suy ngẫm được nêu cao. Đó chính là phương pháp giúp các em tự nghiên cứu, tự khám phá ra một vấn đề mới, một phương pháp mà người thầy phải định hướng cho học sinh làm theo sao cho nó phải trở thành một "thói quen" trong học Toán. Đây là một phương pháp trái ngược với phương pháp tiếp thu thụ động, khuôn mẫu lệ thuộc. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu, qua nghiên cứu thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh, qua những năm dạy toán ở trường THCS tôi rút ra được một số kinh nghiệm,. đặc biệt là những bài học rút ra sau những năm đuợc đào tạo tại trường Đại học. Vì vậy tôi chọn đề tài: " Cách giải Một số bài Toán liên quan đến phương trình bậc hai” trong trường THCS"( phần đại số). 2- Mục đích nghiên cứu Trang bị cho học sinh một số kiến thức để học tập tốt môn toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai" nói riêng để học sinh ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúng túng, mất hướng giải. Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp khi giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong quá trình dạy học. Củng cố niềm tin cho học sinh khi học môn toán, có ý thức vươn lên học tốt môn toán. Dần dần hình thành năng lực, phát triển tư duy, sáng tạo, hình thành kỹ năng, tính cẩn thận, chính xác cho học sinh. Đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục. 3- Phạm vi - Đối tượng nghiên cứu 3.1. Phạm vi nghiên cứu: Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai đối với học sinh THCS. 3.2. Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh lớp 9 trong giờ luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cuối năm và ôn tập cho các kỳ thi ở trường, thi học sinh giỏi các cấp, thi vào cấp TPTH. 4- Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành: 4.1. Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh. 4.2. Phương pháp tiến hành Thông qua các bài toán cơ bản về những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cho từng dạng. Từ dó, ứng dụng giải các bài tập, chú ý khắc phục một số sai lầm hay gặp và đưa ra một số bài tập vận dụng. Phần ii : Nội dung Chương i: Cơ sở lí luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 1/ Cơ sở lý luận: Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai: a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = 0 trong đó a,b,c R , a 0 b) Các tính chất và định lí 1/ Công thức nghiêm Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 , a 0 và biệt thức = b2- 4ac : * Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= x2= * Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép : x1= x2= - * Nếu < 0 phương trình vô nghiệm 2 / Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 , a 0 và b = 2b’ , ’ = b’2 – ac : * Nếu ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2= * Nếu ’ = 0 phương trình có nghiệm kép x1=x2=- * Nếu ’ < 0 phương trình vô nghiệm 3/ Định lí Vi – ét : * Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (, a 0 ) thì : * Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (, a 0 ) + Nếu a+b+c =0 thi phương trình có một nghiệm x1=1 còn nghiệm kia là x2= + Nếu a- b + c = 0 thi phương trình có một nghiệm x1=-1 còn nghiệm kia là x2=- : 2/ Tình hình thực tiễn Trong đề tài này tôi xin giới thiệu với các bạn "Phương pháp giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong trường THCS" ( phần đại số). Kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận dụng giải nhiều dạng toán và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít.Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những bài toán đơn giản, học sinh trung bình có thể giải nhờ các kiến thức cơ bản sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư duy sáng tạo giải bài toán mới, tập trung "sáng tạo" ra các vấn đề mới. * Khảo sát trước khi áp dụng đề tài Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 40 học sinh từ trung bình đến khá, giỏi, tôi thấy kết quả tiếp thu "phương pháp giải Một số bài bài toán liên quan đến phương trình bậc hai " như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 26 65% 10 25% 3 7,5% 1 2,5% Chương II : Nội dung Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b,c phụ thuộc tham số m 1/ Dạng toán 1 : Biện luận sự có nghuệm của phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( hằng số ) Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac + Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= +Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - + Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a = 0 m = mophương trình (1) trở thành bx +c = 0 (2) - Nếu b0 ( với m = mo) thì (2) có 1 nghiệm x = - cũng là nghiệm của (1) - Nếu b = 0 và c = 0 ( với m = mo) (2) vô định (1) vô định - Nếu b = 0 và c 0 ( với m = mo) (2) vô nghiệm(1) vô định + Nếu a 0 Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac - Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= -Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - - Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên . b/ Ví dụ : VD1 Biện luận sự có nghiệm của phường trình sau theo tham số m x2 – 4x + m = 0 (1) Giải Ta có ’ = b’2 – ac = 4 – m + Nếu ’ > 0 4 – m > 0 m < 4 (1) có hai nghiệm phân biệt x1= ; x2= + Nếu ’ = 0 4 – m = 0 m = 4 (1) có nghiệm kép x1=x2=- = 2 + Nếu ’ < 0 4 – m < 0 m < 4 (1) vô nghiệm Vậy :Với m < 4 phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1= ; x2 = Với m = 4 phương trình có nghiệm kép x1=x2 =2 Với m > 4 phương trình vô nghiệm VD2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) = 0 m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – 4 = 0 x =- = - 2 là nghiệm của (1) *Nếu m +1 0 m - 1 Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có một nghiệm x =-2 Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm (Trong qua trình thực hiện HS có thể mắc sai lầm như sau Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm Như vậy h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - 2 ) 2 / Dạng toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) (Nếu hệ số a là hằng số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải cả (I) và (II) các giá trị của m cần tìm là tất cả các giá tri của m thoả mãm (I) hoặc (II) b/ Ví dụ VD3: Với những giá trị nào của m thì phương trình x2 + 3x – m = 0 có nghiệm Giải Ta có : = b2- 4ac = 9 + 4m Để phương trình trên có nghiệm thì : 0 9 + 4m 0 m - Vậy với m - thi phương trình (4) luôn có nghiệm VD4 Tìm điều kiện của m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = 0 (4) có nghiệm Giải Để phương trình (4) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) Giải (I) ta có m+1=0 m = - 1, và -(2m+1) 0 suy ra m - phương trình có nghiệm Giải (II) Ta có m +10 m -1 = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0 4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m 0 0 m Vậy với m - hoặc m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm 3/Dạng toán 3 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm phân biệt a/ Phưong pháp giải phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b/ Ví dụ VD5: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (5) có hai nghiệm phân biệt Giải Phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Ta có m +3 0 m - 3 và = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m > 0 4m2 +4m + 1 – 4m2 – 12m > 0 - 8m +1 > 0 m < Vậy với m - 3 và m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD6: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì > 0 Thật vậy ta có = (-3)2 – 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 m < Vậy với m < thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt 4/ Dạng toán 4 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm a/ Phương pháp giải Phương trình (1) có một nghiệm khi và chỉ khi hoặc b/ Ví Dụ VD7 : tìm điều kiện của m để phương trình mx2 + (m + 1 )x +3m = 0 (7) có một nghiệm Giải Phương trình (7) có một nghiệm khi và chỉ khi (I) hoặc (II) Giải (I): Giải (II): Ta có m0 và = (m + 1)2 – 4m3m =0 m2 +2m +1 – 12m2 = 0 -11m2 +2m +1 = 0 (*) Có = 12 –(-11)1 = 12 suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt m1= ; m2 = Vậy với hoặc m0 và m1= ; m2 = thì phương trình đã cho có một nghiệm VD8 : Với giá trị nào của m thi phương trình x2 – 2mx +4 = 0 (8) có một nghiệm Giải Phương trình (8) có một nghiệm khi và chỉ khi = 0 m2 – 4 = 0 (m +2 )( m – 2 ) = 0 m = 2 hoặc m = - 2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thi phương trình (8) có một nghiệm 5/ Dạng toán 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì : và P > 0 b/ Ví Dụ VD9: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (9) có hai nghiệm cùng dấu Giải Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi : Ta có = (- 3)2- 4.2 (m + 1 ) 0 9 – 8m – 8 0 - 8m + 1 0 m Và P = > 0 m + 1 > 0 m > - 1 Vậy với -1 < m thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu 6/ Dạng toán 6 : Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ Ví Dụ10: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 – 4x +m = 0 (10) có hai nghiệm dương Giải Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì : (1) 4 – m 0 m 4 (2) m > 0 (3) 4 > 0 m Vậy với 0 < m 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương 7/ Dạng toán 7: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm âm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD11: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (11) có hai nghiệm âm Giải Phương trình (11) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi : (1) (-(2m + 1))2 – 4(m + 3 )m 0 4m2+ 4m + 1 -4m2 – 12m 0 - 8m +1 0 m (2) > 0 m (m + 3 ) > 0 (I) hoặc (II) (I) m > 0 và m + 3 > 0 m > - 3 (II) m < 0 và m + 3 < 0 m < -3 Vậy m(m + 3 ) > 0 m > 0 hoặc m < - 3 (3) < 0 - ( 2m + 1 ) (m + 3 ) < 0 (*) hoặc (**) (*) 2m + 1 > 0 m > - và m + 3 > 0 m > - 3 (**) 2m + 1 < 0 m < - và m + 3 < 0 m < - 3 Vậy -(2m + 1 )( m + 3 ) - hoặc m < - 3 Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ; 0 < m hoặc m < - 3 8/ Dạng toán 8 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm trái dấu a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi :>0 và P < 0 hoặc a.c < 0 b/ Ví Dụ VD12 : Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x2 + 3x + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu Giải Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi : Ta có = 32 - 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 -8m + 1 > 0 m < Và < 0 m + 1 < 0 m < - 1 hoặc 2( m+ 1) < 0 m < - 1 Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD13 : Với giá trị nào của m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = 0 có hai nghiêm trái dấu Giải Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : Ta có ’= (m+1)2 – m(m-1) > 0 m2 + 2m + 1 – m2 + m > 0 3m + 1 > 0 m > - Và P = < 0 < 0 (m-1)m < 0 hoặc hoặc +, +, Vậy với - < m < 0 hoặc 0 < m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu 9/Dạng toán 9 Tìm điều kiện của tham số để (1) có một nghiệm x = x1 tìm nghiệm kia a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có ax12 + bx1+ c = 0 m = mo Thay giá trị m = mo vào (1) x1,x2 Hoặc tính x2= S – x1 hoặc x2 = b/ Ví Dụ VD14 Định m để phương trình x2 +3x – m = 0 có một nghiệm bằng -2 .Tìm nghiệm kia Giải + Do phương trình trên có một nghiệm bằng -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m = 0 4 – 6 – m = 0 m = - 2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có một nghiệm bằng – 2 + Tìm nghiệm còn lại Cách 1 : Thay m = -2 vào (1) ta được x2 + 3x + 2 = 0 Phương trình trên có dạng a-b + c = 0 nên có hai nghiệm -1 và -2 . Vậy nghiệm thứ hai là x = - 1 Cách 2: Ta có x1 + x2 = -3 x2= - 3 – x1 = -3 –(-2) = - 1 Cách 3: Ta có : x1x2= -m = 2 x2 = = - 1 VD15: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 + mx +3 = 0 có một nghiệm bằng 1 ? Tìm nghiệm kia Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + m.1 + 3 = 0 m + 4 = 0 m = - 4 Vậy với m = - 4 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 * Tìm nghiệm còn lại Ta có : x1+x2 = - m = 4 x2 = 4 – x1 = 4 -1 = 3 VD16 : Biết rằng phương trình : x2 + 2(d – 1)x + d2 + 2 = 0 (Với d là tham số ) có một nghiệm x = 1 . Tìm nghiệm còn lại của phương trình này. Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + 2( d- 1 ) 1 + d2 + 2 = 0 d2 + 2d + 1 = 0 (d + 1 )2 = 0 d = - 1 *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – 1 ) = 4 x2 = 4 – x1 = 4 – 1 = 3 x2 = 4 10/Dạng toán 10: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + x2 = (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: 0 (**) và (1) (2) (3) Giải hệ x1,x2 Thay các giá trị của x1 và x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD17 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = 0 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì (1) = (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 và (2) (3) Ta có (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Từ (1) và (2) ta có hệ x2 = - 2(a – 2 ) Thay x2 vào (1) ta được x1 = 3(a – 2 ) Thay x1,x2 vào (2) ta được -2(a – 2 )3(a – 2) = - 2a 6(a – 2 )2 = 2a 6a2 – 24a + 24 = 2a 6a2 – 26a + 24 = 0 3a2 – 13a + 12 = 0 Có = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 = 5 a1 = , a2 = - 3 Vậy với a = hoặc a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD18: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là: (1) ’ = (-4)2 – (m+5) 0 và (2) (3) Ta có ’ 0 (-4)2 –(m + 5) 0 16 - m – 5 0 11 – m 0 m 11 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình x2=- 6 thay x2 vào phương trình (1) ta được x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m + 5 m = -89 kết hợp với (1’) vậy giá trị m cần tìm là : m = -89 VD19 Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = 2 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: ’ = (m- 1 )2 – m(m- 2) 0 và (1) (2) (3) Ta có ’ 0 m2 – 2m +1 – m2 +2m 0 1 0 m (1’) Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình 4x1 = 2 - 2 4x1 = x1= thay x1 vào (3) ta được x2 = Thay x1,x2 vào (2) ta được : . = 3 – 4m = 2m(m-2) 2m2 =3 m = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị m cần tìm là m = 11/Dạng toán 11 Tìm điều kiện của m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = k (*) a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì : 0 và (1) (2) (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4) m .Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD20: Tìm tát cả các giá trị của m để phương trình : x2 +mx +m +7 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 = m2- 4(m + 7) 0 m2 – 4m – 28 0 (+) Ta có : = 10 (1) mà (2) Thay (2) vào (1) ta được : m2 - 2(m+7) = 10 m2 – 2m - 14 = 10 m2 – 2m – 24 = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - 4 Thay các giá trị của m vao (+) ta có : Với m1= 6 thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4 0 Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD21: Hảy xác định các giá trị của m để phương trình : x2 + (m- 2 )x - (m2 + 1) = 0 (I) có hai nghiệm thỏa mãn : 5 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: 0 (m – 2)2 + 4(m2 + 1) 0 m (**) phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt Ta có : (x1+ x2)2 – 2x1.x2 = 5 (1’) trong đó x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m2 + 1 ) thay vào (1’) ta được : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = 5 m2 – 4m + 4 + 2m2 +2 – 5 = 0 3m2 – 4m + 1 = 0 m1 = 1 V m2 = Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : m = 1 V m = VD22: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : =8 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a- 2)2 – 4.1.(-2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Ta có = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = 8 (1) trong đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta được : (a- 2)2 – 2(-2a) = 8 a2 – 4a +4 + 4a = 8 a2 = 4 a = 2 Vậy với a = 2 hoặc a = - 2 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) 12/ Dạng toán 12 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 0 (1’) và = n x1+x2 = nx1.x2 (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD23 Tìm các gia trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn : = (*) Giải Điều kiện để (I) có hai nghiệm là : 0 (m – 1)2 – (m+1)(m-2) 0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 0 - m + 3 0 m 3 (1’) Ta có = 4(x1 + x2) = 7x1x2 (2’) Mà x1+ x2 = và x1x2 = thay vào (2’) ta được : 4 =7 8(m – 1) (m + 1) = 7 (m – 2)( m + 1) ( m - 1) (*’) 8m2 – 8 = 7m2 – 7m – 14 m2 +7m + 6 = 0 m1 = - 1 và m2 = - 6 Kết hợp với (1’) và (*’) vậy giá trị của m cần tìm là : m = - 6 VD24: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : k (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R (1’) Ta có : k x1+ x2 = k x1x2 (*’) Mà x1+ x2 = a – 2 và x1x2 = - 2a Thay vào (*’) ta được : a – 2 = k (- 2a) 2ka + a – 2 = 0 (2k + 1)a– 2 = 0 a = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của a cần tìm là : a = 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện : t (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 0 (1’) và t (x1+x2 )() = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = t (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = t (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD25 Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 4 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: ’ 0 (-4)2 –(m + 5) 0 16 - m – 5 0 11 – m 0 m 11 (1’) Ta có 4 (x1+x2 )() = 4 (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 4 (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 4 (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 4 (1’’) Trong đó x1+x2 =8 , x1.x2 = m + 5 Thay vào (1’’) ta được : 83 – 3.8 (m + 5) = 4 512 – 124 – 24m = 0 388 – 24m = 0 m = Kết hợp với (1’) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD26 : Xác định m để phương trình : x2 + 3x - m +10 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : ’ 0 32 - ( - m + 10) 0 9 + m – 10 0 m – 1 0 m 1 (1’) Ta có : 3 (x1+x2 )() = 3 (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 3 (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 3 (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 3 (1’’) Trong đó x1+x2 =- 3 , x1.x2 = - m + 10 Thay vào (1’’) ta được : (- 3)3 – 3 (-3) (-m + 10) = 3 -27 - 9m + 90 = 3 -9m + 60 = 0 m = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của m cần tìm là : m = 14/Dạng toán 14 : Tìm điều kiện của m để phương trình (1) vô nghiệm a/ Phương pháp giải Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi : (I) hoặc (II) Giải (I) và (II) suy ra giá tri của m cần tìm b/ Ví Dụ VD27: Tìm các giá trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (1) vô nghiệm Giải Phương trình (I) vô nghiệm khi và chỉ khi : (I) hoặc (II) Giải (I) suy ra m =1 và m 2 (2) Giải (II) Ta có: m + 1 0 m -1 và ’ < 0 (m – 1)2 – (m+1)(m-2) <0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 < 0 - m + 3 3 (3) Từ (2) và (3) suy ra Vậy với m =1 và m 2 hoặc m > 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm Bài tập áp dụng : Cho phương trình : (m+3)x2 + 2(m- 1)x + m + 1 = 0 (1) a / Giải và biện luận phương trình (1) b/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm c/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm d/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm đ/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu e/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu g/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương ,hai nghiệm âm h/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -1.Tìm nghiệm kia i/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ,x2 yhoả mãn I1, 2x1 + 3x2 = 5 ; i2, = 3 ; i3, = 8 ;i4 , 9 k/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) vô nghiệm *Kết quả thực nghiệm: Sau khi áp dụng đề tài này tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là học sinh trung bình, khá, giỏi được nâng lên rõ rệt. Qua thống kê số bài kiểm tra của 40 HS tôi thu được kết quả như sau : Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 5 12,5% 17 42,5% 12 30% 6 15,0% phần iii: kết luận Trên đây là một số "Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong trường THCS” mà tôi đã áp dụng vào giảng dạy thực tế hiện nay ở trường THCS trong các buổi bồi dưỡng học sinh mũi nhọn và học sinh giỏi. Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau: - Học sinh tiếp thu bài nhanh, dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn Toán. Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kỹ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh. Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh. Từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải bài toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường. Trong đề t