Chủ đề hình học : Tính số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng (Mức độ nâng cao – Lớp 6) Năm học 2008 - 2009

A. Mục tiêu: - Giới thiệu cho HS cách tính số giao điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng vẽ được. - HS biết cách tính giao điểm của các đường thẳng, các đoạn thẳng cho trước. - Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo của HS B. Chuẩn bị : Thực hiện trong 6 tiết. Ôn tập các kiến thức về đường thẳng , về đoạn thẳng Các bài tập mẫu, các bài tập minh hoạ C. Hoạt động dạy – học Hoạt động 1: Các kiến thức cần nhớ Cách viết thông thường Hình vẽ Kí hiệu Điểm M M Đường thẳng a a Điểm A thuộc đường thẳng b A b Điểm B không thuộc đường thẳng c + Hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói chúng cắt nhau. Điểm chung được gọi là giao điểm Ví dụ: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M M là điểm chung hay giao điểm của hai đường thẳng là M + Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. + Ta cũng có hai đoạn thẳng cắt nhau, đoạn thẳng cắt đường thẳng, đoạn thẳng cắt tia, hai tia cắt nhau. + Hai đường thẳng không có bất cứ điểm chung nào gọi là hai đường thẳng song song. + Ba đường thẳng phân biệt cùng đi qua một điểm (ba đường thẳng chỉ có một điểm chung) gọi là ba đường thẳng đồng quy. Mở rộng: Có n đường thẳng (n ≥ 3) cùng đi qua một điểm gọi là n đường thẳng đồng quy. Hoạt động 2: Một số ví dụ Ví dụ 1 : a) Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hãy vẽ hình và cho biết có tất cả bao nhiêu đường thẳng? b) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? c) Cho 100 điểm trong đó chỉ có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Hướng dẫn – Giải GV HS a) Cho một HS vẽ hình trên bảng *GV hướng dẫn HS vẽ hình, đếm đường thẳng, ghi tên đường thảng có quy luật. Cách vẽ: Qua điểm A ta vẽ lần lượt các đường thẳng đi qua 4 điểm B, C, D, E còn lại Qua điểm B ta vẽ lần lượt các đường thẳng đi qua 3 điểm C, D, E còn lại. Qua điểm C ta vẽ lần lượt các đường thẳng đi qua 2 điểm D, E còn lại. Qua điểm D ta vẽ đường thẳng đi qua điểm E còn lại Cách đếm và viết tên các đường thẳng: Lấy chữ A ghép với 4 chữ B, C, D, E còn lại. Lấy chữ B ghép với 3 chữ C, D, E còn lại. Lấy chữ C ghép với 2 chữ D, E còn lại. Cuối cùng là DE. b) Với 100 điểm chúng ta không vẽ hình mà dựa vào kinh nghiệm vẽ hình, đếm hình, ghi tên hình ở câu a để tính số đường thẳng vẽ được ở câu b này. +Hãy đề xuất cách tính số đường thẳng ở câu b này. * GV hướng dẫn: +Ta chọn 1 điểm bất kì trong 100 điểm đã cho, nối điểm đó với 99 điểm còn lại. Khi đó ta được bao nhiêu đường thẳng ? +Với 100 điểm thì ta có bao nhiêu cách chọn như vậy? +Khi đó số đường thẳng vẽ được là bao nhiêu? +Nhưng làm như vậy thì mỗi đường thảng đã được tính bao nhiêu lần. Do đó thực tế là vẽ được bao nhiêu đường thẳng? *GV trình bày hoàn chỉnh lời giải. Bài toán tổng quát : Nếu cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì ta kẻ được bao nhiêu đường thẳng ? *Với cách lập luận tương tự như vậy hãy giải bài toán tổng quát. c) Bài toán này có hai cách giải: Cách 1: Ta giả sử 100 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là 4950 đường thẳng. Vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng sẽ giảm đi bao nhiêu đường thẳng? Vì sao? *Hoàn chỉnh lời giải. Số đường thẳng là 4948. Cách 2: Ta chia 100 điểm đã cho thành 2 tập hợp : Tập hợp A gồm có ba điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại. + Ta đi tính: Số đường thẳng vẽ được bởi các điểm của tập hợp A. Số đường thẳng vẽ được bởi tập hợp các điểm của tập hợp B. Số đường thẳng vẽ được bởi 3 điểm của tập hợp A với 97 điểm của tập hợp B. +Tính tổng của các đường thảng vẽ được. *HS vẽ hình và nêu: Có tất cả 10 đường thẳng là : AB. AC, AD. AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE +HS nêu đề xuất. + Có 99 đường thẳng + Có 100 cách chọn như vậy +100.99 đường thẳng +Mỗi đường thẳng được tính 2 lần, nên số đường thẳng chỉ là 100.99 : 2 Giải Chọn 1 điểm bất kì trong 100 điểm đã cho, nối điểm đó với 99 điểm còn lại ta được 99 đường thẳng. Làm tương tự như vậy đối với 100 điểm ta có 100.99 đường thẳng, nhưng như vậy mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần, nên số đường thẳng vẽ được là 100.99 : 2 = 4950 đường thẳng. Vậy số đường thẳng kẻ được sẽ là 4950 đường thẳng. +Một HS thực hiện lời giải trên bảng và cho kết quả: n(n – 1) : 2 đường thẳng + HS thảo luận và nêu được: Giảm đi 2 đường thẳng. Vì nếu ba điểm đó không thẳng hàng thì qua ba điểm đó vẽ được 3 đường thảng, nhưng do ba điểm đó thẳng hàng nên qua ba điểm đó chỉ vẽ được 1 đường thẳng, tức là giảm đi 2 đường thẳng. +HS chú ý nghe hướng dẫn rồi thực hiện lời giải: Ta chia 100 điểm đã cho thành 2 tập hợp : Tập hợp A gồm có ba điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại. Đối với ba điểm của tập hợp A vẽ được 1 đường thẳng. Đối với 97 điểm của tập hợp B vẽ được: 97.96 : 2 = 4656 đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được bởi 3 điểm của tập hợp A với 97 điểm của tập hợp B là 97.3 đường thẳng. Vậy tổng số các đường thẳng vẽ được là: 1 + 4656 + 291 = 4948(đường thẳng) Ví dụ 2: Cho 4 đường thẳng. Hỏi số giao điểm của các đường thẳng đó là bao nhiêu? Nhận xét: Đọc đề bài ta cần hiểu rằng đề bài không nêu ra các đường thẳng này có cắt nhau hay không cắt nhau, vì vậy ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra. Hướng dẫn – Giải +Hãy chỉ ra các trường hợp có thể xảy ra, vẽ hình minh họa cho từng trường hợp đó. *GV xác nhận những trường hợp HS đưa ra đúng rồi hướng dẫn HS xét và vẽ hình theo từng trường hợp. a) Cả 4 đường thẳng đồng quy Có 1 giao điểm b)Có đúng ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song Có 3 giao điểm - Không có hai đường thẳng nào song song Có 4 giao điểm. c)Không có ba đường thẳng nào đồng quy - Bốn đường thẳng đôi một song song với nhau Có 0 giao điểm - Có đúng 3 đường thẳng song Có 3 giao điểm - Có hai cặp đường thẳng song song Có 4 giao điểm - Có đúng một cặp đường thẳng song song Có 5 giao điểm - Không có hai đường thẳng nào song song Có 6 giao điểm. +HS thảo luận và nêu các trường hợp xảy ra, lớp bổ sung. +HS ghi từng trường hợp và vẽ hình minh họa a) Cả 4 đường thẳng đồng quy b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song - Không có hai đường thẳng nào song song c)Không có ba đường thẳng nào đồng quy - Bốn đường thẳng đôi một song song với nhau - Có đúng 3 đường thẳng song - Có hai cặp đường thẳng song song - Có đúng một cặp đường thẳng song song - Không có hai đường thẳng nào song song Ví dụ 3: Cho n điểm (n 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng? b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng? c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng. Hướng dẫn – Giải a) Cách lập luận để tính số đoạn thẳng như thế nào? b) Trường hợp có đúng ba điểm thẳng hàng thì số đoạn thẳng có thay đổi không? c) Đã biết số đoạn thẳng, thì dùng công thức nào để tính được số điểm đã cho. *Chú ý rằng n(n – 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ta cần biến đổi 2. 1770 thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp để tìm n. Nháp: 2.1770 = 3540 - Để có tích là số có 4 chữ số thì dự đoán hai số tự nhiên liên tiếp đó phải là các số có hai chữ số. - Dự đoán một số có hai chữ số chẳng hạn là 30, lấy 3540 chia cho 30 xem thương như thế nào, để thay đổi số dự đoán cho đến khi nhận được kết quả. *Cách khác: Sử dụng dấu hiệu chia hết để viết số 2.1770 thành tích 2.1770 = 2.2.885 = 2.2.3.295 = 2.2.3.5.59 = 60.59 +Lập luận tương tự như đối với đường thẳng: *HS thực hiện lời giải a) Chọn một điểm bất kì trong n điểm đã cho, nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng, nhưng như vậy mỗi đoạn thẳng đã tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n(n – 1):2 đoạn thẳng. b) Tuy có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi do đó số đoạn thẳng vẫn là n(n – 1) : 2 đoạn thẳng c) Do có n điểm nên số đoạn thẳng vẽ được là n(n – 1) : 2. Mà đã biết có 1770 đoạn thẳng nên ta có: n(n – 1) : 2 = 1770 n( n – 1) = 2 . 1770 n(n – 1) = 2.2.3.5.59 = 60 .59 n= 60 Hoạt động 3: Vận dụng – Luyện tập Bài 1: Cho 100 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Hỏi có bao đường thẳng được kẻ? *HS thực hiện lời giải trên bảng Giải Ta chia 100 điểm đã cho thành 2 tập hợp :Tập hợp A bao gồm 5 điểm thẳng hàng, tập hợp B bao gồm 95 điểm còn lại. - Số đường thẳng kẻ được từ các điểm của tập hợp A là 1 - Số đường thẳng kẻ được từ các điểm của tập hợp B là 95.94:2 = 4465 - Số đường thẳng kẻ được từ các điểm của tập hợp A đối với các điểm của tập hợp B là: 5 .95 = 475 Vậy số đường thẳng kẻ được sẽ là : 1+ 4465 + 475 = 4941( đường thẳng). Bài tập 2: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. *HS thực hiện lời giải Giải Ta có mỗi đường thẳng cắtt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm. Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, nhưng như vậy mỗi giao điểm được tính hai lần, do đó số giao điểm chỉ có là 101.100:2 = 5050 giao điểm. Bài tập 3: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết số giao điểm tạo thành là 780 giao điểm . Tính số đường thẳng ? *HS thực hiện lời giải Giải Vì trong n đường thẳng không có ba đường thẳng nào đồng quy nên số giao điểm được tạo thành là n(n – 1) : 2. Theo đề bài có 780 giao điểm nên ta có n(n – 1) : 2 = 780 n(n - 1) = 2.780 = 2.2.390 = 2.2.10.39 = 40.39 n = 40. Bài tập 4: Cho 100 đường thẳng trong đó có đúng ba đường thẳng song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm được tạo thành ? *Hướng dẫn: Chia 100 đường thẳng này thành hai tập hợp như bài tập 1 để tính gia điểm. HS thực hiện lời giải Giải Ta chia 100 đường thẳng đã cho thành 2 tập hợp: Tập hợp A bao gồm ba đường thẳng song song, tập hợp B bao gồm 97 đường thẳng còn lại. - Số giao điểm được tạo thành từ các đường thẳng của tập hợp A là 0 giao điểm. - Số giao điểm được tạo thành từ các đường thẳng của tập hợp là : 97 . 96 : 2 = 4656 (giao điểm) - Số giao điểm của các đường thẳng của tập hợp A với các đường thẳng của tập hợp B là: 3 . 97 = 291 (giao điểm) Vậy số giao điểm tạo thành là: 0 + 4656 + 291 = 4947 (giao điểm) Bài tập 4: Cho 10 điểm. Nối từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng nếu trong các điểm đã cho : a) Không có ba điểm nào thẳng hàng. b) Có đúng ba điểm thẳng hàng. Giải a) Chọn một điểm bất kì trong 10 điểm đã cho, nối điểm đó với từng điểm trong 9 điểm còn lại, ta vẽ được 9 đoạn thẳng. Làm như vậy với 10 điểm, ta được 10.9 đoạn thẳng, nhưng như vậy mỗi đoạn thẳng đã tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 10.9:2 = 45 đoạn thẳng. b) Tuy có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi do đó số đoạn thẳng vẫn là 45 đoạn thẳng. Bài tập 5: Cho n điểm. Nối từng cặp trong hai trong n điểm đó tạo thành các đoạn thẳng. a) Tính n biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng? b) Số đoạn thẳng có thể là 160 được không? Giải a) Do có n điểm nên số đoạn thẳng vẽ được là n(n – 1) : 2. Mà đã biết có 435 đoạn thẳng nên ta có: n(n – 1) : 2 = 435 n( n – 1) = 2 . 435 = 2.3.145 = 2.3.5.29 = 30.29 n = 30 Vậy có 30 điểm b) Theo câu a ta có: n(n – 1) : 2 = 160 n(n – 1) = 2.160 = 2.2.80 = 2.2.2.40 = 2.2.2.2.20 = 2.2.2.2.2.10 Mà 2.2.2.40 = 8.40 ; 2.2.2.2.20 = 16.20 ; 2.2.2.2.2.10 = 32.10. Điều này suy ra số 2.160 không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, tức là không có n(n – 1) = 2.160. Vậy không thể có trường hợp có 160 đoạn thẳng. Hoạt động 4: Kiểm tra 30 phút (Đề kiểm tra được in ở trang riêng) Trường THCS Tây Đô Bài kiểm tra môn hình học 6 Chủ đề tự chọn: Tính số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng – Mức độ nâng cao Thời gian làm bài 30 phút ..................... Họ và tên học sinh : .............................................................................................................................................................................................. Lớp : ....................................... Năm học 2008 – 2009 Điểm Nhận xét của giáo viên (Học sinh làm bài trực tiếp vào tờ giấy này) Bài 1: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm, ta kẻ một đường thẳng. a) Tính số đường thẳng theo n. b) áp dụng công thức ở câu a hãy tính số đường thẳng vẽ được khi n = 20 c) Tính n biết số đường thẳng vẽ được là 105 Bài làm ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ Bài 2: Cho 10 điểm. Nối từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng nếu trong số các đoạn thẳng đã cho: a) Không có 3 điểm nào thẳng hàng. b) Có đúng 3 điểm thẳng hàng. Bài làm : ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................ ...............................................................................................................................................................................................................................